Wzory matematyczne na maturze — pełna ściąga (PDF)

Wzory matematyczne na maturze są podzielone na dwie kategorie: te, które dostajesz w karcie wzorów CKE, i te, które musisz znać na pamięć, bo nikt ci ich nie poda. Różnica między 60% a 90% z arkusza często leży właśnie tutaj — w wiedzy, którą wzorów uczyć się gruntownie, a które wystarczy umieć szybko znaleźć na karcie. W tym poradniku zbieramy wszystkie kluczowe wzory z matematyki na maturę 2026 — uporządkowane tematycznie, z krótkim komentarzem kiedy używać, i z wyraźnym zaznaczeniem co masz “za darmo”, a czego musisz nauczyć się sam. Na końcu znajdziesz wersję do druku, żeby mieć ściągę zawsze pod ręką w trakcie powtórek.

Co znajdziesz w karcie wzorów CKE — i czego tam nie ma

Karta wzorów to dwustronny arkusz, który CKE rozdaje razem z zestawem zadań. Nie musisz jej drukować ani przynosić — będzie na ławce. Znajdziesz w niej:

Dział	Co jest w karcie CKE
Algebra	Wzór na deltę i pierwiastki równania kwadratowego, wzory Viète’a, wzory skróconego mnożenia (do trzeciej potęgi)
Funkcje	Wzór na wierzchołek paraboli, postaci funkcji kwadratowej
Ciągi	Wyraz ogólny i suma ciągu arytmetycznego i geometrycznego
Trygonometria	Wartości funkcji dla 30°, 45°, 60°, jedynka trygonometryczna, wzory redukcyjne
Geometria płaska	Pola wszystkich podstawowych figur, twierdzenie Pitagorasa, twierdzenie sinusów i cosinusów
Geometria przestrzenna	Pola powierzchni i objętości graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka, kuli
Geometria analityczna	Odległość punktów, równanie prostej, okręgu
Statystyka i prawdopodobieństwo	Wzory na średnią, wariancję, prawdopodobieństwo klasyczne, kombinatoryka (kombinacje, wariacje)

Czego w karcie NIE ma:

• wzorów logarytmicznych ($\log_a b$, zamiana podstawy, suma logarytmów)
• wzorów na pochodne i całki (na poziomie podstawowym ich nie ma w programie, ale przy rozszerzeniu — uczysz się sam)
• pełnej listy wzorów trygonometrycznych (np. wzory na sumę kątów, wzory na sin/cos podwojonego kąta — częściowo są, częściowo nie)
• wzoru na ciąg silnia, kombinacji w pełni wyłożonych
• wzorów na sumę szeregu geometrycznego nieskończonego (przy rozszerzeniu)

Innymi słowy: karta CKE zabezpiecza ci ok. 70% potrzebnych wzorów, ale resztę musisz uzupełnić nauką. Jeśli jeszcze nie masz spójnego planu pracy z matematyką, zacznij od poradnika jak przygotować się do matury z matematyki — tam masz harmonogram tygodniowy.

Wskazówka: Karta CKE jest wydrukowana drobnym drukiem i pełna wzorów. Na egzaminie nie chcesz jej czytać po raz pierwszy w życiu — przejrzyj ją 5-6 razy w trakcie powtórek, żeby od razu wiedzieć “wzór X jest w prawym dolnym rogu strony 2”.

Algebra — wzory, które musisz mieć w głowie

Równanie kwadratowe i delta

Dla równania $ax^2 + bx + c = 0$ (gdzie $a \neq 0$):

$\Delta = b^2 - 4ac$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

Jeśli $\Delta > 0$ — dwa pierwiastki, $\Delta = 0$ — jeden pierwiastek podwójny $x = -\frac{b}{2a}$, $\Delta < 0$ — brak pierwiastków rzeczywistych.

Wzory Viète’a

Dla równania kwadratowego z pierwiastkami $x_1, x_2$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

To wzory ratunkowe — gdy w zadaniu pojawia się “suma pierwiastków” albo “iloczyn pierwiastków” bez liczenia każdego z osobna.

Wzory skróconego mnożenia

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Te dwa ostatnie — suma i różnica sześcianów — często ratują w zadaniach z rozkładem wielomianów na czynniki.

Potęgi i pierwiastki

Wzór	Komentarz
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	mnożenie potęg o tej samej podstawie
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	dzielenie potęg
$(a^m)^n = a^{mn}$	potęga potęgi
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$	ujemny wykładnik
$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$	wykładnik ułamkowy = pierwiastek
$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$	pierwiastek z potęgi
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ (dla $a, b \geq 0$)	mnożenie pierwiastków

Logarytmy

Tych wzorów w karcie CKE praktycznie nie ma — naucz się ich na pamięć:

$\log_a 1 = 0, \quad \log_a a = 1$ $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$ $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ $\log_a x^n = n \log_a x$ $\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} \quad \text{(zmiana podstawy)}$

Funkcje — od liniowej po wykładnicze

Funkcja liniowa

Postać kierunkowa: $y = ax + b$, gdzie $a$ — współczynnik kierunkowy, $b$ — wyraz wolny.

• równoległość: $a_1 = a_2$
• prostopadłość: $a_1 \cdot a_2 = -1$

Wzór na współczynnik kierunkowy z dwóch punktów $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$:

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Funkcja kwadratowa

Trzy postaci, każda do innego celu:

Postać	Wzór	Kiedy używać
ogólna	$f(x) = ax^2 + bx + c$	gdy masz dane współczynniki
kanoniczna	$f(x) = a(x-p)^2 + q$	gdy potrzebujesz wierzchołka $(p, q)$
iloczynowa	$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$	gdy znasz miejsca zerowe

Wierzchołek paraboli $(p, q)$:

$p = -\frac{b}{2a}, \quad q = -\frac{\Delta}{4a} = f(p)$

Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

$f(x) = a^x$ (gdzie $a > 0, a \neq 1$) — funkcja wykładnicza. $f(x) = \log_a x$ — funkcja logarytmiczna (funkcja odwrotna do wykładniczej).

Kluczowe własności na maturze:

• monotoniczność: rosnąca dla $a > 1$, malejąca dla $0 < a < 1$
• punkt przecięcia z osią OY (wykładnicza): zawsze $(0, 1)$
• punkt przecięcia z osią OX (logarytmiczna): zawsze $(1, 0)$

Geometria płaska — pola, kąty, twierdzenia

Pola figur podstawowych

Figura	Wzór na pole
Kwadrat	$P = a^2$
Prostokąt	$P = a \cdot b$
Trójkąt	$P = \frac{1}{2} a \cdot h$
Trójkąt (Heron)	$P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, gdzie $s = \frac{a+b+c}{2}$
Trójkąt z kątem	$P = \frac{1}{2} a b \sin\gamma$
Równoległobok	$P = a \cdot h$
Romb	$P = \frac{1}{2} d_1 d_2$ (z przekątnych)
Trapez	$P = \frac{a+b}{2} \cdot h$
Koło	$P = \pi r^2$
Wycinek koła	$P = \frac{\alpha}{360°} \pi r^2$ (kąt w stopniach)

Twierdzenia ratunkowe

Twierdzenie Pitagorasa (tylko trójkąt prostokątny):

$a^2 + b^2 = c^2$

Twierdzenie sinusów (każdy trójkąt):

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$

gdzie $R$ — promień okręgu opisanego.

Twierdzenie cosinusów (każdy trójkąt):

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Twierdzenie Talesa — gdy proste przecinają ramiona kąta, dzielą je w równych proporcjach.

W zadaniach geometrycznych z zadań otwartych na maturze najczęściej pojawia się kombinacja: Pitagoras + Tales + jeden ze wzorów na pole. Naucz się szybko rozpoznawać, który wzór pasuje do danej sytuacji.

Geometria przestrzenna — bryły

Pola powierzchni i objętości

Bryła	Pole powierzchni $P_c$	Objętość $V$
Sześcian o krawędzi $a$	$6a^2$	$a^3$
Prostopadłościan $a \times b \times c$	$2(ab + bc + ac)$	$abc$
Walec ($r$, $h$)	$2\pi r^2 + 2\pi rh$	$\pi r^2 h$
Stożek ($r$, $h$, tworząca $l$)	$\pi r^2 + \pi rl$	$\frac{1}{3} \pi r^2 h$
Kula o promieniu $r$	$4\pi r^2$	$\frac{4}{3} \pi r^3$
Ostrosłup	$P_p + P_b$	$\frac{1}{3} P_p \cdot h$
Graniastosłup	$2 P_p + P_b$	$P_p \cdot h$

gdzie $P_p$ — pole podstawy, $P_b$ — pole powierzchni bocznej.

W stożku tworząca $l$ spełnia: $l^2 = r^2 + h^2$ (Pitagoras w przekroju osiowym). To wzór, który ratuje większość zadań ze stożkiem.

Geometria analityczna

Sytuacja	Wzór
Odległość punktów $A=(x_1, y_1)$, $B=(x_2, y_2)$	$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
Środek odcinka $AB$	$S = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
Równanie prostej przez 2 punkty	$\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$
Równanie okręgu o środku $(a, b)$ i promieniu $r$	$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
Odległość punktu $P=(x_0, y_0)$ od prostej $Ax+By+C=0$	$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Trygonometria — wartości i tożsamości

Wartości dla kątów charakterystycznych

Kąt	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$
$\sin$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	—

Tożsamości podstawowe

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \quad \text{(jedynka trygonometryczna)}$

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \quad \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$

Wzory redukcyjne — algorytm zamiast pamiętania

Wzory redukcyjne ($\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha$ itd.) można zapamiętać, ale szybciej jest stosować algorytm:

1. Sprawdź, w której ćwiartce leży kąt — wyznacz znak ($+$ lub $-$).
2. Sprawdź, jakim kątem jest “punkt odniesienia” (90° czy 180°) — gdy 90°/270° → funkcja zmienia się na “konazwę” (sin → cos), gdy 180°/360° → funkcja zostaje ta sama.

Wzory na sumę i różnicę

Te wzory są częściowo w karcie CKE, ale dla rozszerzenia naucz się ich na pamięć:

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$

Ciągi — arytmetyczny i geometryczny

Ciąg arytmetyczny

Wyraz ogólny: $a_n = a_1 + (n-1)d$, gdzie $d$ — różnica.

Suma $n$ pierwszych wyrazów:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Ciąg geometryczny

Wyraz ogólny: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, gdzie $q$ — iloraz ($q \neq 0$).

Suma $n$ pierwszych wyrazów (dla $q \neq 1$):

$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$

Suma szeregu geometrycznego nieskończonego zbieżnego ($|q| < 1$) — to wzór dla rozszerzenia:

$S = \frac{a_1}{1 - q}$

Statystyka i prawdopodobieństwo

Statystyka opisowa

Pojęcie	Wzór
Średnia arytmetyczna	$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$
Wariancja	$\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$
Odchylenie standardowe	$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Mediana	środkowy wyraz w uporządkowanym ciągu

Prawdopodobieństwo klasyczne

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$

gdzie $|A|$ — liczba zdarzeń sprzyjających, $|\Omega|$ — wszystkie możliwe.

Prawdopodobieństwo warunkowe (rozszerzenie):

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$

Kombinatoryka

Wzór	Co liczy
$n!$	permutacje (kolejność $n$ elementów)
$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$	wariacje bez powtórzeń (kolejność ważna)
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$	kombinacje (kolejność nieważna)
$n^k$	wariacje z powtórzeniami

Zasada decyzyjna: kolejność ważna i bez powtórzeń → wariacja, kolejność ważna i z powtórzeniami → potęga, kolejność nieważna → kombinacja, wszystkie elementy → permutacja (silnia).

Co warto na rozszerzeniu — wzory dodatkowe

Jeśli zdajesz matematykę rozszerzoną, dochodzą:

Pochodne podstawowe:

$(x^n)' = n x^{n-1}$ $(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x$ $(e^x)' = e^x, \quad (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Zasady różniczkowania:

$(f + g)' = f' + g'$ $(f \cdot g)' = f'g + fg'$ $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

Pochodna funkcji złożonej (reguła łańcuchowa):

$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Pochodne wykorzystasz głównie do badania ekstremów funkcji i punktów przegięcia. To są zadania 5- i 6-punktowe — duża pula punktów w arkuszu rozszerzonym.

Jak ułożyć własną ściągę — wersja PDF do druku

Ściąga, której się NIE uczysz, jest bezużyteczna. Polecamy metodę “3 warstwy”:

1. Warstwa 1 (jedna strona A4): tylko 20 wzorów, które wracają na każdym arkuszu — delta, Pitagoras, pola podstawowych figur, ciąg arytmetyczny, jedynka trygonometryczna. Tę kartkę noś w piórniku i przeglądaj 2-3 razy dziennie.
2. Warstwa 2 (4 strony A4): wszystkie wzory z tego poradnika, uporządkowane tematycznie. Przerabiaj raz w tygodniu, otaczaj kółkiem wzory, których nie pamiętasz “spod ołówka”.
3. Warstwa 3 (twoje błędy): osobny notes na wzory, których za pierwszym razem nie zastosowałeś — zapisuj zadania, w których ich potrzebowałeś, i jak je rozwiązałeś.

Jeśli chcesz ćwiczyć zadania z matematyki z natychmiastową informacją zwrotną, na matury-online.pl masz ponad 9 000 zadań CKE z lat 2015-2025, z rozwiązaniami krok po kroku — algorytm dobiera ci zadania pod konkretne luki w wiedzy, więc nie marnujesz czasu na powtarzanie tego, co już umiesz. Cena: 49 zł/mies., dostęp do 11 przedmiotów.

Uwaga: Karta wzorów CKE jest zaktualizowana co kilka lat. Sprawdź aktualną wersję na cke.gov.pl przed maturą — drobne różnice w sposobie zapisu mogą zmylić w pierwszej chwili. Najnowsza karta dla Formuły 2023 obowiązuje na maturze 2026.

Najczęstsze błędy w stosowaniu wzorów

1. Zapomniany znak minus w delcie ujemnej — $\Delta = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49$, łatwo pomylić z $25 - 24 = 1$.
2. Niespójne jednostki — pole w $\text{cm}^2$, długość w $\text{m}$. Stała pułapka w zadaniach z bryłami.
3. Pierwiastek z sumy — $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$! Pierwiastek “wchodzi” tylko w iloczyn, nie w sumę.
4. Logarytm ujemnej liczby — $\log_a x$ istnieje tylko dla $x > 0$. To częsta dziedzina, której maturzyści nie sprawdzają.
5. Pomylenie wariacji z kombinacją — gdy w zadaniu jest “ile sposobów ustawienia w kolejce” (wariacja), a uczeń liczy “ile sposobów wyboru” (kombinacja).

Wzory matematyczne to fundament — bez nich nie zdasz matury. Ale samo ich znanie też nie wystarczy: musisz wiedzieć, kiedy którego użyć. To kwestia powtarzalnego treningu na zadaniach z poprzednich lat. Sprawdź też harmonogram matury 2026, żeby wiedzieć, ile dokładnie czasu masz na powtórki, i progi zdania matury, żeby celować w realistyczny wynik.

Podsumowanie

Wzory matematyczne na maturze to nie tysiące formuł, tylko około 80 kluczowych — z czego połowę dostajesz w karcie CKE, a drugą połowę musisz znać na pamięć. Algebra, funkcja kwadratowa, geometria z Pitagorasem i sinusami, ciągi i prosta statystyka — to 80% punktów na arkuszu podstawowym. Jeśli te wzory masz w głowie i potrafisz je zastosować w typowym zadaniu, jesteś w stanie zdać maturę z przewagą. Jeśli zdajesz rozszerzenie, dodatkowo musisz opanować pochodne, wzory na sumy kątów i kombinatorykę warunkową. Wracaj do tej ściągi raz w tygodniu w trakcie powtórek — i koniecznie przejrzyj kartę CKE przed egzaminem, żeby wiedzieć, gdzie szukać czego. Powodzenia. Więcej w poradniku pełnego przygotowania do matury 2026.