🧮
Poziom rozszerzony Formuła 2023 Przedmiot dodatkowy Tylko otwarte

Egzamin maturalny z matematyki
poziom rozszerzony 2026

Egzamin dla kandydatów na studia techniczne (politechniki, AGH, ekonomia, fizyka, informatyka). 10–14 zadań otwartych — rachunek różniczkowy, dowody, optymalizacja z pochodną, analiza parametryczna, własność Darboux. Plus Egzamin Live — symulacja arkusza z timerem, edytorem LaTeX, autosavem i oceną AI według surowszych kryteriów CKE PR.

⏱️
180 min
czas egzaminu
🎯
50 pkt
maksymalna liczba
🚪
brak
progu zdawalności
📝
10–14
zadań otwartych
∫
pochodne
i optymalizacja
🤖
AI CKE
ocena w 1–2 min
Wypróbuj Egzamin Live → Zobacz strukturę arkusza ↓

Egzamin dla kandydatów na studia techniczne

Matematyka rozszerzona to przedmiot dodatkowy, ale praktycznie obowiązkowy dla każdego, kto planuje studia techniczne lub ścisłe: politechnika, AGH, informatyka, fizyka, matematyka, ekonomia, finanse, statystyka, inżynieria, automatyka, robotyka, mechatronika. Na większości tych kierunków matematyka PR jest najwyżej ważonym przedmiotem w rekrutacji — często × 2 lub × 3.

Egzamin trwa 180 minut i ma 50 punktów. Wszystkie zadania są OTWARTE — brak ABCD, brak prawda/fałsz, brak fill-blank. 10–14 zadań, każde za 2, 3, 4, 5 lub 6 punktów. Każde wymaga pełnego zapisu rozumowania: obliczeń, przekształceń, uzasadnień.

Tematy z PP rozszerzono o: rachunek różniczkowy (pochodne, optymalizacja z pochodną), granice ciągów (twierdzenie o trzech ciągach, zbieżne szeregi geometryczne), własność Darboux (istnienie miejsca zerowego), wzory Viète\'a (analiza parametryczna), zaawansowaną trygonometrię (wzory sumy, podwojonego kąta), prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa, schemat Bernoullego, kombinatorykę z symbolem Newtona.

Brak progu zdawalności — wystarczy do egzaminu przystąpić, by zaliczyć obowiązek z dodatkowego rozszerzonego. Ale wynik liczy się w rekrutacji. Średnia krajowa na PR: ~40–50%. Wynik 60% = top 30% maturzystów, 80% = top 15%. Każdy punkt podnosi miejsce w rankingu rekrutacyjnym.

📑 STRUKTURA ARKUSZA

Cztery obszary tematyczne, 50 punktów, 180 minut

Obszar II (Funkcje + rachunek różniczkowy) dominuje — 18 pkt z 50, czyli ponad 1/3 arkusza. To tu są pochodne, optymalizacja, własność Darboux i zaawansowana trygonometria.

𝑥
13
punktów
Obszar I

Algebra

Liczby, wyrażenia, równania z parametrami

3–4 zadania

Logarytmy (zamiana podstawy), dzielenie wielomianów, wzory Viète'a, równania kwadratowe z parametrami, nierówności z wartością bezwzględną, dowody algebraiczne nierówności i podzielności.

∫
18
punktów
Obszar II

Funkcje + rachunek różniczkowy

Funkcje, ciągi, trygonometria, optymalizacja z pochodną

4–6 zadań

POCHODNE (sumy, iloczynu, ilorazu, funkcji złożonej), granice ciągów, twierdzenie o trzech ciągach, zbieżne szeregi geometryczne, równania trygonometryczne z funkcjami sumy/podwojonego kąta, własność Darboux, OPTYMALIZACJA z rachunkiem różniczkowym.

△
14
punktów
Obszar III

Geometria

Planimetria, geometria analityczna, stereometria

3–4 zadania

Dowody geometryczne (czworokąty wpisane/opisane, podobieństwa), wektory, równania okręgów z parametrami, przekroje sześcianu i ostrosłupów, kąty dwuścienne, odległość punktu od płaszczyzny, twierdzenie sinusów.

P
5
punktów
Obszar IV

Prawdopodobieństwo

Kombinatoryka, prawdopodobieństwo warunkowe, Bayes

1–2 zadania

Schemat Bernoullego (powtarzane próby), prawdopodobieństwo warunkowe, WZÓR BAYESA, kombinatoryka z symbolem Newtona, zaawansowane zliczanie z regułą mnożenia + dodawania.

⏱️ Sugerowany rozkład 180 minut (10–14 zadań × ~12–18 min)

0:00 – 0:10 Przejrzenie wszystkich 10–14 zadań — strategia kolejności mapa
0:10 – 1:00 Krótkie odpowiedzi (math_pr_short) — granice, Bernoulli, logarytmy ~8–12 pkt
1:00 – 2:10 Wieloetapowe (math_pr_extended) — trygonometria, geometria analityczna, stereometria ~15–20 pkt
2:10 – 2:30 Dowód (math_pr_proof) — algebra lub geometria ~5 pkt
2:30 – 2:55 Optymalizacja + parametr — najtrudniejsze, najwięcej punktów ~8–12 pkt
2:55 – 3:00 Korekta — wzory Viète'a, dziedziny w równaniach trygonometrycznych +3–5 pkt

Krytyczne: NIE zostawiaj dowodu i optymalizacji na ostatnie 20 minut. To zadania wymagające koncentracji i strategii. Zostaw je na 60–90 minut przed końcem, gdy umysł jest jeszcze świeży.

∫
5 typów zadań otwartych · 50 punktów · 100% arkusza

Wyłącznie zadania otwarte — pełny tok rozumowania

Ocena za ETAPY rozwiązania (CKE rubryka punktacji). Każde zadanie wymaga pełnego zapisu obliczeń. Wynik bez zapisu = 0 pkt, niedokończone rozwiązanie z poprawnymi etapami = częściowe punkty.

✏️

Krótka odpowiedź otwarta

math_pr_short

2–3 pkt ~3–4 zadania

Obliczenie z zapisem rozumowania. Granica ciągu, prawdopodobieństwo Bernoullego, krótkie przekształcenie logarytmiczne, proste zliczanie kombinatoryczne. Zwykle 1 zasadnicza trudność.

📋 Etapy punktacji CKE

3 pkt — poprawne. 2 pkt — pokonano zasadnicze trudności, ale nie dokończono. 1 pkt — istotny postęp. 0 pkt — brak postępu lub błędna metoda.

📝

Rozszerzona odpowiedź wieloetapowa

math_pr_extended

3–5 pkt ~3–5 zadań

Wieloetapowe rozumowanie z pełnym zapisem. Równania trygonometryczne w przedziale [−π, π], geometria analityczna (okręgi + wektory), stereometria (przekroje, kąty dwuścienne), ciągi geometryczne zbieżne — szeregi nieskończone.

📋 Etapy punktacji CKE

5 pkt — pełne. 4 pkt — zasadnicze trudności + usterki. 3 pkt — zasadnicze trudności + błędy. 2 pkt — istotny postęp. 1 pkt — niewielki postęp. 0 pkt — brak.

🔍

Dowód / Wykaż

math_pr_proof

3–6 pkt ~2–3 zadania

OBOWIĄZKOWE — minimum jeden dowód w arkuszu. Dowód monotoniczności (definicyjnie LUB z pochodną — oba sposoby akceptowane), dowód nierówności algebraicznej, dowód geometryczny (podobieństwa, czworokąty wpisane), własność Darboux (istnienie miejsca zerowego). Sprawdzenie kilku przykładów = 0 pkt!

📋 Etapy punktacji CKE

6 pkt — pełne. 5 pkt — bezbłędnie pokonano zasadnicze trudności + usterki. 4 pkt — bezbłędnie zasadnicze + niedokończone. 3 pkt — zasadnicze z błędami. 2 pkt — istotny postęp. 1 pkt — niewielki postęp. 0 pkt — sprawdzenie przykładów lub brak.

📊

Optymalizacja z pochodną

math_pr_optimization

4–6 pkt ~1 zadanie

OBOWIĄZKOWE — minimum jedno zadanie optymalizacyjne z rachunkiem różniczkowym. 4 etapy: (1) pochodna funkcji, (2) miejsca zerowe pochodnej, (3) badanie znaku pochodnej i monotoniczności, (4) wartość optymalna. UWAGA: pochodna ilorazu jako „iloraz pochodnych" = 0 pkt za całość!

📋 Etapy punktacji CKE

6 pkt — pełne. 5 pkt — bezbłędnie + usterki w wartości optymalnej. 4 pkt — pochodna + miejsca zerowe + monotoniczność. 3 pkt — pochodna + miejsca zerowe. 2 pkt — sama pochodna. 1 pkt — wzór z pochodną. 0 pkt — błędna pochodna lub brak.

𝑚

Analiza parametryczna

math_pr_parametric

4–6 pkt ~1–2 zadania

Równanie/nierówność z parametrem `m`. Wyznaczasz wszystkie wartości parametru spełniające zadane warunki. Wykorzystujesz: dyskryminantę (Δ > 0), wzory Viète'a (x₁+x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a), nierówności z parametrem, części wspólne zbiorów. Najtrudniejsze pojęciowo zadania w arkuszu.

📋 Etapy punktacji CKE

6 pkt — pełna analiza. 5 pkt — bezbłędnie zasadnicze + usterki. 4 pkt — bezbłędnie zasadnicze + niedokończone. 3 pkt — zasadnicze z błędami (np. zły znak Viète). 2 pkt — istotny postęp (np. Δ + jeden warunek). 1 pkt — sama Δ. 0 pkt — brak.

⚠️

Obowiązkowe typy zadań w KAŻDYM arkuszu PR

CKE wymaga, by w każdym arkuszu PR znalazły się:

  • Co najmniej jeden DOWÓD — algebraiczny (nierówność, podzielność, monotoniczność) lub geometryczny (podobieństwa, czworokąty wpisane). 3–6 pkt.
  • Co najmniej jedno zadanie OPTYMALIZACYJNE z pochodną — 4–6 pkt. Tu testuje się rachunek różniczkowy.
  • Co najmniej jedno zadanie z WŁASNOŚCIĄ DARBOUX lub GRANICĄ CIĄGU — 2–5 pkt.
  • Co najmniej jedno zadanie z PARAMETREM — 4–6 pkt. Wzory Viète\'a + analiza Δ + nierówności + części wspólne.
  • Co najmniej jedno zadanie z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA — schemat Bernoullego, prawdopodobieństwo warunkowe lub wzór Bayesa. 3–4 pkt.
📚 TEMATY PR

46+ tematów z rozszerzonej podstawy programowej

Cały zakres wiedzy ponad PP — z naciskiem na rachunek różniczkowy, dowody, analizę parametryczną i prawdopodobieństwo warunkowe.

𝑙𝑜𝑔

Logarytmy + wielomiany

4 tematy
▸ Zamiana podstawy logarytmu, równania logarytmiczne
▸ Dzielenie wielomianów, twierdzenie o pierwiastkach całkowitych
▸ Dwumian Newtona — (a+b)ⁿ
▸ Rozkład wielomianów na czynniki
𝑚

Równania z parametrami

5 tematów
▸ Równania i nierówności wielomianowe z parametrem
▸ Wzory Viète'a: x₁+x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a
▸ Analiza liczby rozwiązań w zależności od parametru
▸ Warunki Δ > 0, znaki miejsc zerowych
▸ Układy równań z parametrami — oznaczoność
f′

Rachunek różniczkowy

6 tematów
▸ Pochodna funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym
▸ Pochodna sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu
▸ Pochodna funkcji złożonej (reguła łańcuchowa)
▸ Interpretacja geometryczna pochodnej (styczna)
▸ Interpretacja fizyczna pochodnej (prędkość)
▸ Badanie monotoniczności funkcji za pomocą pochodnej
lim

Granice i ciągi

5 tematów
▸ Granice ciągów — twierdzenie o granicach
▸ Twierdzenie o trzech ciągach
▸ Zbieżne szeregi geometryczne — suma
▸ Ciągi z parametrem
▸ Własność Darboux — istnienie miejsca zerowego
sin

Trygonometria zaawansowana

6 tematów
▸ Miara łukowa kąta
▸ Wzory na sin/cos sumy i różnicy kątów
▸ Wzór na tg sumy i różnicy kątów
▸ Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego
▸ Równania trygonometryczne (zaawansowane)
▸ Twierdzenie sinusów (rozwiązywanie trójkątów)
△

Geometria — dowody

5 tematów
▸ Dowody geometryczne (podobieństwa)
▸ Czworokąty wpisane w okrąg
▸ Czworokąty opisane na okręgu
▸ Twierdzenie Stewarta, Ptolemeusza (opcjonalnie)
▸ Zaawansowane zastosowania podobieństwa
📍

Geometria analityczna

5 tematów
▸ Punkty wspólne prostej i okręgu
▸ Punkty wspólne dwóch okręgów
▸ Wektory — dodawanie, mnożenie przez skalar
▸ Długość wektora, kąt między wektorami
▸ Równanie okręgu z parametrami
🧊

Stereometria zaawansowana

5 tematów
▸ Przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych
▸ Kąty między odcinkami w bryłach
▸ Kąty dwuścienne między ścianami
▸ Odległość punktu od płaszczyzny
▸ Pole powierzchni / objętość przekrojów
🎲

Kombinatoryka + prawdopodobieństwo

5 tematów
▸ Permutacje, kombinacje, wariacje (z powtórzeniami i bez)
▸ Symbol Newtona — własności
▸ Prawdopodobieństwo warunkowe
▸ Schemat Bernoullego (powtarzane próby)
▸ Wzór Bayesa
💡

Strategia: top 5 obszarów do mistrzostwa

Pareto na PR: (1) Pochodne i optymalizacja — przewija się przez 4–6 pkt w każdym arkuszu, kluczowe dla rekrutacji technicznej. (2) Wzory Viète\'a i parametry — 4–6 pkt, najbardziej powtarzalny schemat zadań. (3) Dowody algebraiczne — 3–6 pkt, prawie zawsze podzielność lub nierówność. (4) Trygonometria z funkcjami sumy — równania w przedziale, 3–5 pkt. (5) Schemat Bernoullego i Bayes — 3–4 pkt, łatwe punkty dla kogoś kto zna wzór. Z tymi pięcioma masz pewne 20–25 pkt, czyli 40–50% — średnia krajowa.

🎯 STRATEGIA

Jak rozegrać 180 minut na PR — 6 kroków

Plan, który stosują uczniowie zdający na 70%+ — od skanowania arkusza po korektę wzorów Viète\'a.

1

Przejrzyj arkusz w 10 min

10 min

Tylko 10–14 zadań, ale każde wymaga 10–25 min pracy. Szybkie skanowanie: zaznacz ✓ (umiem), ? (sprawdzę), × (zostawiam na koniec). Zacznij od ✓ — łatwych punktów. Dowód i optymalizacja zostaw na środek/koniec.

2

Krótkie odpowiedzi otwarte

40–50 min

Zadania math_pr_short za 2–3 pkt. Granice ciągów, prawdopodobieństwo Bernoullego, proste przekształcenia logarytmiczne. Idą szybko, dają pewne 8–12 pkt. Pisz CAŁY tok rozumowania — bez tego AI/egzaminator nie da punktów.

3

Wieloetapowe (extended)

60–70 min

Równania trygonometryczne, geometria analityczna, ciągi zbieżne. Każde 3–5 pkt. Strategia: dla równań trygonometrycznych — NIE dziel przez cos(x) bez rozpatrzenia cos(x) = 0! Dla podnoszenia do kwadratu — sprawdź rozwiązania obce.

4

Dowód — strukturalnie

20–25 min

KAŻDY arkusz ma dowód. Wybierz metodę PRZED pisaniem: (a) definicyjna — założenie + obliczenie + wniosek, (b) z pochodną — pochodna + uzasadnienie znaku + wniosek o monotoniczności, (c) przez sprzeczność, (d) indukcja. NIGDY nie sprawdzaj przykładów — to nie jest dowód.

5

Optymalizacja + parametr

40–50 min

Najtrudniejsze (4–6 pkt każde). Optymalizacja: pochodna (UWAGA na iloraz!) → miejsca zerowe → znak pochodnej → wartość. Parametr: Δ → Viète → nierówności → część wspólna. Pisz każdy etap osobno — etapowość = punkty.

6

Korekta — 15–20 min na końcu

15–20 min

Sprawdź: czy w równaniu trygonometrycznym uwzględniłeś WSZYSTKIE rozwiązania w danym przedziale. Czy w optymalizacji uzasadniłeś, że minimum lokalne = globalne. Czy w Viète'cie znaki: −b/a (NIE b/a) i c/a. Realne +3–5 pkt.

⚠️ PUŁAPKI PR

7 błędów specyficznych dla rozszerzenia

Pierwsza pułapka odbiera punkty z całej optymalizacji — niezależnie jak dobrze policzyłeś dalsze kroki.

∕

Pochodna ilorazu jako „iloraz pochodnych"

0 PKT ZA CAŁOŚĆ

W zadaniu optymalizacyjnym liczysz pochodną funkcji V(h) = 25h³/(h²−25). Piszesz V′(h) = (25h³)′ / (h²−25)′ = 75h² / 2h. KATASTROFA — to zupełnie błędny wzór. Optymalizacja = 0 pkt automatycznie, mimo że dalszy ciąg byłby poprawny.

✅ Jak unikać

Poprawny wzór: (f/g)′ = (f′g − fg′) / g². Dla V(h) = 25h³/(h²−25): V′(h) = (75h²(h²−25) − 25h³·2h) / (h²−25)² = 25h²(h²−75) / (h²−25)². Naucz się tego wzoru tak, by recytować go ze snu. 1 zapomniana minuska = 4–6 pkt straconych.

÷

Dzielenie przez cos(x) bez rozpatrzenia cos(x) = 0

−2 pkt (max n−2)

Rozwiązujesz 3cos²x + √3·sin(2x) − 3sin²x = 0. Dzielisz obustronnie przez cos²x, dostajesz tg²x + … Ale NIE rozważyłeś przypadku cos(x) = 0! Może zgubiłeś rozwiązania x = π/2, x = −π/2 (gdzie cos x = 0 i pierwotne równanie też się spełnia). CKE odejmuje 2 pkt z 5.

✅ Jak unikać

Przed dzieleniem przez funkcję trygonometryczną zawsze sprawdź, czy może być zero. Najpierw: czy x = π/2 + kπ spełnia równanie? Jeśli tak — zapisz te rozwiązania, dopiero potem dziel. Alternatywnie: użyj wzorów sin/cos sumy (sin 2x = 2 sin x cos x), które nie wymagają dzielenia.

✗

Dowód przez sprawdzenie kilku przykładów

KATASTROFA

Zadanie: „Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 i b > 0 takich że b ≠ a/2 prawdziwa jest nierówność (a+2b)³ > 8a²b + 16ab²". Piszesz: „Dla a=1, b=2: 125 > 16+64 ✓. Dla a=2, b=1: 64 > 32+32 ✓. Stąd nierówność prawdziwa". 0 pkt — to nie dowód, to sprawdzenie skończenie wielu przypadków z nieskończonej liczby.

✅ Jak unikać

Dowód = przekształcenie ważne dla DOWOLNYCH a, b spełniających założenia. Przekształcasz: (a+2b)³ − 8a²b − 16ab² = ... = a(a−2b)² > 0 (bo a > 0 i (a−2b)² > 0 z założenia b ≠ a/2). Jeden dowód dla wszystkich a, b — to dopiero dowód.

Δ

Brak warunku Δ > 0 w zadaniach z parametrem

−1 do −3 pkt

Zadanie: „Wyznacz m, dla których x² + 2mx + 2m − 1 = 0 ma dwa różne rozwiązania spełniające warunek …". Idziesz prosto do warunku z Viète'a, zapominasz że dla DWÓCH RÓŻNYCH rozwiązań musi być Δ > 0. Tracisz 1–3 pkt za niekompletną analizę.

✅ Jak unikać

Parametr ZAWSZE = 3 warunki: (1) Δ > 0 (lub ≥ 0 jeśli dopuszczasz podwójne pierwiastki), (2) wzory Viète'a dla sumy/iloczynu, (3) warunki z treści zadania. Wynik = część wspólna wszystkich trzech zbiorów wartości m. Pomiń jakikolwiek = strata punktów.

✓

Brak uzasadnienia że minimum lokalne = globalne

−1 pkt

Optymalizacja: liczysz pochodną, znajdujesz miejsce zerowe h₀, sprawdzasz że f′(h) < 0 dla h < h₀ i f′(h) > 0 dla h > h₀ → minimum lokalne. Podajesz wartość. Brakuje argumentu, że to MINIMUM GLOBALNE w dziedzinie (a nie tylko lokalne). −1 pkt za niekompletność.

✅ Jak unikać

Po znalezieniu minimum lokalnego napisz: „Funkcja jest malejąca na (a, h₀) i rosnąca na (h₀, b), więc h₀ jest punktem minimum lokalnego i jednocześnie globalnego w dziedzinie (a, b)". Jedno zdanie, 1 pkt.

𝑥₁𝑥₂

Wzory Viète'a z błędnym znakiem

−2 do −3 pkt

Dla ax² + bx + c = 0 zapisujesz x₁+x₂ = b/a (bez minusa) lub x₁·x₂ = −c/a (z minusem). Pamiętaj że to NIE jest błąd rachunkowy — to błąd merytoryczny w stosowaniu wzoru. Tracisz 2–3 pkt z 4–6.

✅ Jak unikać

Wykuj na pamięć: x₁+x₂ = −b/a (MINUS!), x₁·x₂ = c/a (bez minusa). Pamięć trik: w sumie znak się ODWRACA (z +b w równaniu na −b/a w sumie), w iloczynie znak ZOSTAJE (z +c w równaniu na +c/a w iloczynie). Lub zapisz wzory na karteczce z permitowanymi pomocami przed wejściem.

∈

Rozwiązanie poza przedziałem w równaniu trygonometrycznym

−1 pkt

Zadanie: „Rozwiąż 2sin x = 1 w przedziale [−π, π]". Liczysz: x = π/6 + 2kπ lub x = 5π/6 + 2kπ dla k ∈ ℤ. Podajesz wszystkie rozwiązania dla k ∈ ℤ. Ale zadanie pyta o przedział [−π, π]! Powinno być TYLKO x = π/6 i x = 5π/6. −1 pkt za rozwiązanie poza przedziałem.

✅ Jak unikać

Po znalezieniu ogólnego rozwiązania ZAWSZE sprawdź dziedzinę z treści zadania. Wstaw k = −1, 0, 1 i wybierz tylko te x, które są w danym przedziale. Wypisz konkretnie: „W przedziale [−π, π] rozwiązaniami są x = π/6 i x = 5π/6".

🤖 EGZAMIN LIVE

Symulacja arkusza PR — krok po kroku

Tak jak na prawdziwym egzaminie: 180-minutowy timer, autosave, oryginalne arkusze generowane przez AI, ocena każdego z 10–14 zadań osobno według surowszych kryteriów CKE PR.

1

Wybierz arkusz z matematyki PR

System pokazuje dostępne arkusze PR i automatycznie generuje nowe, gdy zostaje Ci ostatni. Bez limitu.

Każdy arkusz jest oryginalny — Claude Sonnet pisze go od zera według blueprintu zgodnego z informatorami CKE: 50 pkt, 10–14 zadań WYŁĄCZNIE OTWARTYCH, 4 obszary, obowiązkowy dowód, obowiązkowa optymalizacja z pochodną, obowiązkowy parametr lub Darboux. Konteksty (fizyka, ekonomia, geometria zaawansowana) zmieniają się między arkuszami.

Dostępne arkusze — Matematyka PR
🧮

Arkusz #9 — Matematyka PR NEW

Optymalizacja stożka · 180 min · 50 pkt · wygenerowany dziś

›
🧮

Arkusz #8 — Matematyka PR

Parametr + Viète · 180 min · 50 pkt · 2 dni temu

›
🧮

Arkusz #7 — Matematyka PR

Własność Darboux · 180 min · 50 pkt · 5 dni temu

›
+ kolejne generowane w tle
2

Pisz z edytorem LaTeX rozszerzonym

Sticky pasek na górze: zegar 180-minutowy (czerwony <5 min), progress bar, liczba odpowiedzi. Boczna nawigacja: 10–14 zadań z kolorowymi kropkami i etykietami typów (Dowód, Optymalizacja, Z parametrem).

Edytor MathLive z symbolami PR: ∫, lim, ∂/∂x, ∇, ≪, ≫, Σ, ∀, ∃, π, ∞. Pochodne i granice w jednym kliknięciu. Dla dowodów: linie pomocnicze („Z założenia …", „Z twierdzenia …", „Stąd …") strukturyzujące rozumowanie.

Autosave co 30 sekund — kluczowe przy 25-minutowych zadaniach. Padnie WiFi przy pochodnej ilorazu — wszystko czeka po powrocie.

⏱ 1:38:42
Zakończ
ALG.
1. Oblicz
2. Dowód
3. Param.
FUN.
7. Mono.
8. Tryg.
9. Opt.
9 Optymalizacja · 4 pkt 🤖 AI

Objętość V stożka jako funkcja wysokości h: V(h) = (π/3)·(25h³)/(h²−25) dla h ∈ (5, +∞). Wyznacz wysokość stożka o najmniejszej objętości.

V′(h) = (π/3)·[(75h²)(h²−25) − 25h³·2h] / (h²−25)²
V′(h) = (π/3)·25h²(h² − 75) / (h²−25)²
V′(h) = 0 ⇔ h² = 75 ⇔ h = 5√3
Dla h ∈ (5, 5√3): V′ < 0 → malejąca
Dla h ∈ (5√3, +∞): V′ > 0 → rosnąca
h = 5√3 — minimum globalne
∫ lim ∂ √ π ∞ Σ ≤
← Poprzednie Zapisano · 3s temu Następne →
3

Zakończ z oceną AI (brak trybu szybkiego)

Na PR wszystkie zadania są otwarte — nie ma zadań zamkniętych do oceny natychmiast. Każde wymaga oceny AI.

Pełna ocena AI (12 kredytów): Claude Sonnet ocenia każde z 10–14 zadań osobno według ETAPÓW PUNKTACJI CKE 2/3/4/5/6 pkt. Specjalne promptery dla dowodów (rozróżnia przykład vs pełne przekształcenie), optymalizacji (sprawdza wzór ilorazu!), analizy parametrycznej (Δ + Viète + części wspólne). Pełne wyjaśnienie etapów + rekomendacje. ~1–2 min.

Alternatywnie — zakończ bez oceny (0 kredytów). Wyniki czekają w dashboardzie, uruchamiasz pełną ocenę AI kiedy chcesz.

🧮

Zakończyć egzamin?

Odpowiedziałeś na 11 z 12 zadań.

⚠ 1 zadanie bez odpowiedzi — zostanie 0 pkt

🤖 Zakończ i oceń z AI
💎 12 kredytów ~1–2 min
⚡ Zakończ bez oceny
0 kredytów · AI uruchomisz później
← Wróć do egzaminu
4

Wyniki według etapów punktacji CKE

Najpierw podsumowanie: wynik procentowy + porównanie ze średnią krajową (~40–50% na PR). Wskazanie pozycji w rankingu (top 15% / 30% / 50%).

Każdy obszar osobno: algebra, funkcje + rachunek różniczkowy, geometria, prawdopodobieństwo. Widzisz dokładnie, gdzie tracisz najwięcej.

Potem każde zadanie osobno — Twoje rozwiązanie vs wzorcowe, pełne wyjaśnienie ETAPÓW punktacji. Dla dowodu: czy uznano za pełny dowód, czy tylko przekształcenie pośrednie. Dla optymalizacji: ile etapów pokonano (pochodna / miejsca zerowe / monotoniczność / wartość).

🎯
Wynik
62%
31/50 pkt · top 30% maturzystów
Średnia krajowa PR: ~45%
Algebra (parametry) 8/13
Funkcje + pochodne 12/18
Geometria 8/14
Prawdopodobieństwo 3/5
Kluczowe zadania
Dowód algebraiczny 3/3 ✓
Optymalizacja 3/4
Parametr 3/5
Darboux 3/3 ✓
✅ Mocne strony
Dowody, Darboux, schemat Bernoullego
→ Do poprawy
Brak uzasadnienia globalności w optymalizacji, części wspólne w parametrach

Co dostajesz w Egzaminie Live PR

8 funkcji dedykowanych poziomowi rozszerzonemu — z edytorem symboli matematycznych i specjalnymi prompterami AI dla dowodów i optymalizacji.

⏱️

Wall-clock timer 180 min

Czas leci nawet gdy zamkniesz przeglądarkę. Auto-submit gdy minie. Sticky pasek u góry: zegar + progress bar + liczba odpowiedzi.

💾

Autosave co 30 sekund

Każda linijka pochodnej, każdy krok dowodu zapisywany w tle. Padnie WiFi — wszystko czeka po powrocie z tym samym timerem. Krytyczne przy 25-minutowych zadaniach optymalizacyjnych.

∂

Edytor LaTeX z symbolami PR

MathLive z paskiem dla rozszerzenia: ∫, lim, ∂/∂x, ∇, ≪, ≫, ≈, ∀, ∃, ⊂, ∈, π, ∞, Σ. Pochodne i granice w jednym kliknięciu. Podgląd LaTeX na żywo.

📐

Linie pomocnicze do dowodów

W dowodach geometrycznych edytor podpowiada często używane konstrukcje: „Z założenia że …", „Z twierdzenia Talesa wynika …", „Stąd otrzymujemy …". Strukturyzuje rozumowanie krok po kroku.

🤖

Ocena AI według CKE PR

Claude Sonnet ocenia każde z 10–14 zadań osobno według ETAPÓW PUNKTACJI 2/3/4/5/6 pkt. Specjalnie zbudowane promptery dla dowodów (przykład vs przekształcenie), optymalizacji (wzór ilorazu!), analizy parametrycznej (Δ + Viète + części wspólne).

⚡

Brak trybu szybkiego

Na PR WSZYSTKIE zadania są otwarte — nie ma zadań zamkniętych do oceny natychmiast. Każde wypracowanie wymaga oceny AI (12 kredytów). Tryb szybki niedostępny.

📂

Historia + porównywanie PP vs PR

Każdy ukończony egzamin w dashboardzie. Porównujesz wyniki PP vs PR. Widzisz, w którym obszarze (algebra/funkcje/geometria/prawdopodobieństwo) tracisz najwięcej — i które tematy ćwiczyć.

∞

Nielimitowane arkusze PR

System generuje nowe arkusze, gdy zostają Ci 1–2 niewidziane. Każdy oryginalny — z obowiązkowym dowodem, optymalizacją z pochodną, zadaniem z parametrem. Konteksty (fizyka, ekonomia, geometria zaawansowana) zmieniają się między arkuszami.

Powiązane materiały

🔢
Matma podstawa
PP — obowiązkowy, 30% próg
🎯
Testy z matematyki
Pojedyncze zadania, AI dobiera
📄
Arkusze CKE PR
PDF-y 2023–2026
🎓
Pozostałe przedmioty
Wszystkie 15 egzaminów

Najczęściej zadawane pytania

Czym egzamin z matematyki rozszerzonej różni się od podstawowego?
To inny egzamin pod każdym względem. PP: 27–39 zadań, 50% zamknięte (ABCD, P/F), 50% otwarte; PR: 10–14 zadań WYŁĄCZNIE OTWARTYCH. PP trwa 180 min, PR trwa 180 min — ale na PR każde zadanie wymaga 10–25 min pracy. PP ma próg zdawalności 30% (obowiązkowy), PR jest przedmiotem DODATKOWYM bez progu zdawalności. PR zawiera tematy nieobecne na PP: rachunek różniczkowy (pochodne, optymalizacja z pochodną), granice ciągów, własność Darboux, wzory Viète'a, prawdopodobieństwo warunkowe, wzór Bayesa, schemat Bernoullego, zaawansowana trygonometria. Wynik PR liczy się w rekrutacji na studia techniczne — na politechnikach i AGH często z wagą ×2 lub ×3.
Czy egzamin z matematyki rozszerzonej ma próg zdawalności?
NIE. Matematyka rozszerzona jest przedmiotem DODATKOWYM, do którego zdający przystępują dobrowolnie (jako wymagany minimum 1 dodatkowy rozszerzony lub jako kolejny dodatkowy). Wystarczy do niego przystąpić, by zaliczyć obowiązek z dodatkowego rozszerzonego — nawet wynik 0% pozwala otrzymać świadectwo dojrzałości. ALE: wynik liczy się w rekrutacji na studia. Średnia krajowa na PR z matematyki to ok. 40–50% — wynik 60% już Cię ustawia powyżej średniej, 80% to top 15% maturzystów.
Dlaczego na rozszerzeniu są tylko zadania otwarte?
Bo rozszerzenie testuje UMIEJĘTNOŚĆ ROZUMOWANIA, nie szybką rozpoznawalność wzorców. Zadania zamknięte (ABCD, P/F) sprawdzają, czy wiesz że dane stwierdzenie jest prawdziwe. Zadania otwarte sprawdzają, czy potrafisz UDOWODNIĆ, że jest prawdziwe — pokazując pełny tok rozumowania. To umiejętność krytyczna na studiach technicznych, gdzie pisze się dowody, wyprowadzenia, analizy. Każde zadanie wymaga pełnego zapisu obliczeń — sam wynik nie wystarczy. Dlatego na PR liczy się ETAPOWOŚĆ: pokonano zasadnicze trudności = ≥ połowa punktów, istotny postęp = ok. 1/3 punktów.
Czym są „zasadnicze trudności" w kryteriach CKE?
„Zasadnicze trudności" to kluczowy etap rozumowania, bez którego nie można dojść do poprawnego rozwiązania. Dla każdego typu zadania są inne. W optymalizacji: poprawne obliczenie POCHODNEJ + miejsc zerowych pochodnej + badanie monotoniczności. W dowodach: pełne PRZEKSZTAŁCENIE algebraiczne ważne dla dowolnych elementów. W analizie parametrycznej: poprawne wyznaczenie Δ > 0 ORAZ warunków Viète'a. Jeśli pokonasz zasadnicze trudności, dostaniesz min. POŁOWĘ punktów z zadania, nawet jeśli nie dokończysz rachunków. Stąd strategia: zostawić dokończenie skomplikowanego rachunku na drugą iterację, ale pokonać zasadnicze trudności od razu.
Czy mogę używać kalkulatora i tablic matematycznych?
TAK — na egzaminie PR możesz używać tych samych narzędzi co na PP: kalkulator PROSTY (4 działania + pierwiastek, BEZ funkcji trygonometrycznych, BEZ pamięci), linijka, cyrkiel, kątomierz, „Wybrane wzory matematyczne" wydane przez CKE. Tablice CKE zawierają wzory dla PR: pochodne podstawowych funkcji, wzory Viète'a, wzory na sin/cos sumy i podwojonego kąta, twierdzenie sinusów, wzór dwumianowy Newtona, schemat Bernoullego. ZAWSZE sprawdzaj wzór w tablicach przed użyciem — zapomnienie znaku w Viète'cie kosztuje 2–3 pkt.
Co to jest własność Darboux i jak ją stosować?
Własność Darboux to twierdzenie: jeśli funkcja f jest CIĄGŁA na przedziale [a, b] i f(a)·f(b) < 0 (czyli ma różne znaki na końcach), to istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że f(c) = 0. Innymi słowy: jeśli zmieniasz znak, to musisz „przejść przez zero". Stosowanie w zadaniu „Wykaż, że równanie x³ − 2x + 1 = 0 ma rozwiązanie w przedziale (0, 1)": (1) Pokazujesz że f(x) = x³ − 2x + 1 jest ciągła (wielomian → ciągła). (2) Liczysz f(0) = 1 > 0 i f(1) = 0 < 0… ALE czekaj, f(1) = 0! Więc x = 1 jest rozwiązaniem, koniec. Inne zadanie: (1) f ciągła, (2) f(0) i f(1) różnych znaków, (3) z własności Darboux: istnieje c ∈ (0, 1) takie, że f(c) = 0. To wszystko — 3 pkt.
Czy AI potrafi ocenić dowód matematyczny?
Tak, i to z bardzo dużą precyzją. Claude Sonnet ma specjalnie zbudowany prompt do oceny dowodów na PR, który rozróżnia: (1) sprawdzenie kilku przykładów = 0 pkt (nawet jeśli wszystkie się zgadzają), (2) poprawne przekształcenie algebraiczne bez uzasadnienia = istotny postęp, (3) pełne przekształcenie + uzasadnienie = zasadnicze trudności lub poprawne. AI rozumie też różne metody dowodu: definicyjna, z pochodną, indukcja, przez sprzeczność, własność Darboux. Sprawdza, czy uzasadnienie jest LOGICZNIE POPRAWNE i czy obejmuje WSZYSTKIE elementy z założeń. Po ocenie dostajesz wskazanie, co poprawne, co brakuje, co poprawić.
Jak długie powinno być rozwiązanie zadania na PR?
Zależy od typu zadania, ale orientacyjnie: math_pr_short (2–3 pkt) — pół strony, 8–15 linii. math_pr_extended (3–5 pkt) — strona, 15–25 linii. math_pr_proof (3–6 pkt) — strona–półtora, 20–35 linii z pełnym uzasadnieniem. math_pr_optimization (4–6 pkt) — półtora strony, 25–40 linii (pochodna + miejsca zerowe + monotoniczność + wartość). math_pr_parametric (4–6 pkt) — półtora strony, 25–40 linii (Δ + Viète + nierówności + część wspólna). Zwięzłość jest plusem, ale NIE kosztem etapów — każdy etap rozumowania musi być widoczny.
Ile kosztuje pełna ocena egzaminu PR w aplikacji?
Pełna ocena AI całego egzaminu (10–14 zadań otwartych + ogólny feedback CKE) kosztuje 12 kredytów — mniej niż PP (15 kredytów), bo arkusz jest krótszy w liczbie zadań (choć każde głębsze). W subskrypcji Premium (49 zł/mies.) dostajesz miesięczną pulę kredytów wystarczającą na regularne pisanie próbnych egzaminów. Nie ma trybu szybkiego — na PR wszystkie zadania są otwarte i wymagają oceny AI. Możesz natomiast ZAKOŃCZYĆ egzamin bez oceny (0 kredytów) i uruchomić AI później z dashboardu, kiedy będziesz miał czas.
Czy aplikacja działa też dla matematyki na poziomie podstawowym?
Tak — matematyka na poziomie podstawowym (PP) jest dostępna jako osobny landing pod adresem /egzamin/matematyka-podstawowa. PP różni się od PR strukturalnie: zawiera ZADANIA ZAMKNIĘTE (ABCD, P/F, wybór wielokrotny — 25 pkt) oraz krótsze zadania otwarte (25 pkt). Bez rachunku różniczkowego, bez własności Darboux, bez wzoru Bayesa. PP jest OBOWIĄZKOWY dla wszystkich maturzystów, PR jest dobrowolny ale wymagany w rekrutacji na studia techniczne. Możesz pisać obydwa równolegle w aplikacji — wyniki porównujesz w dashboardzie.
🧮

Wypróbuj Egzamin Live z matematyki rozszerzonej

Nielimitowane arkusze z obowiązkowym dowodem, optymalizacją z pochodną i analizą parametryczną. Wall-clock timer 180 min, autosave co 30s, edytor LaTeX z symbolami PR (∫ lim ∂ Σ), ocena AI w 1–2 min według surowszych kryteriów CKE PR — z rozróżnieniem dowodu vs przykładów, sprawdzaniem wzoru pochodnej ilorazu, kompletności wzorów Viète\'a.

Premium 49 zł/mies. · 12 kredytów AI na pełną ocenę · brak trybu szybkiego (wszystko otwarte)

Rozpocznij darmowo →