Egzamin maturalny z matematyki
poziom rozszerzony 2027

~3–4 zadania

Obliczenie z zapisem rozumowania. Granica ciągu, prawdopodobieństwo Bernoullego, krótkie przekształcenie logarytmiczne, proste zliczanie kombinatoryczne. Zwykle 1 zasadnicza trudność.

Etapy punktacji w serwisie: 3 pkt — poprawne. 2 pkt — pokonano zasadnicze trudności, ale nie dokończono. 1 pkt — istotny postęp. 0 pkt — brak postępu lub błędna metoda.

~3–5 zadań

Wieloetapowe rozumowanie z pełnym zapisem. Równania trygonometryczne w przedziale [−π, π], geometria analityczna (okręgi + wektory), stereometria (przekroje, kąty dwuścienne), ciągi geometryczne zbieżne — szeregi nieskończone.

Etapy punktacji w serwisie: 5 pkt — pełne. 4 pkt — zasadnicze trudności + usterki. 3 pkt — zasadnicze trudności + błędy. 2 pkt — istotny postęp. 1 pkt — niewielki postęp. 0 pkt — brak.

~2–3 zadania

W arkuszach serwisu jest co najmniej jeden dowód. Dowód monotoniczności (definicyjnie LUB z pochodną — oba sposoby akceptowane), dowód nierówności algebraicznej, dowód geometryczny (podobieństwa, czworokąty wpisane), własność Darboux (istnienie miejsca zerowego). Sprawdzenie kilku przykładów = 0 pkt!

Etapy punktacji w serwisie: 6 pkt — pełne. 5 pkt — bezbłędnie pokonano zasadnicze trudności + usterki. 4 pkt — bezbłędnie zasadnicze + niedokończone. 3 pkt — zasadnicze z błędami. 2 pkt — istotny postęp. 1 pkt — niewielki postęp. 0 pkt — sprawdzenie przykładów lub brak.

~1 zadanie

W arkuszach serwisu jest co najmniej jedno zadanie optymalizacyjne z rachunkiem różniczkowym. 4 etapy: (1) pochodna funkcji, (2) miejsca zerowe pochodnej, (3) badanie znaku pochodnej i monotoniczności, (4) wartość optymalna. UWAGA: pochodna ilorazu to nie „iloraz pochodnych”.

Etapy punktacji w serwisie: 6 pkt — pełne. 5 pkt — bezbłędnie + usterki w wartości optymalnej. 4 pkt — pochodna + miejsca zerowe + monotoniczność. 3 pkt — pochodna + miejsca zerowe. 2 pkt — sama pochodna. 1 pkt — wzór z pochodną. 0 pkt — błędna pochodna lub brak.

~1–2 zadania

Równanie/nierówność z parametrem `m`. Wyznaczasz wszystkie wartości parametru spełniające zadane warunki. Wykorzystujesz: dyskryminantę (Δ > 0), wzory Viète'a (x₁+x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a), nierówności z parametrem, części wspólne zbiorów.

Etapy punktacji w serwisie: 6 pkt — pełna analiza. 5 pkt — bezbłędnie zasadnicze + usterki. 4 pkt — bezbłędnie zasadnicze + niedokończone. 3 pkt — zasadnicze z błędami (np. zły znak Viète). 2 pkt — istotny postęp (np. Δ + jeden warunek). 1 pkt — sama Δ. 0 pkt — brak.

W zadaniu optymalizacyjnym liczysz pochodną funkcji V(h) = 25h³/(h²−25). Piszesz V′(h) = (25h³)′ / (h²−25)′ = 75h² / 2h. To zupełnie błędny wzór i cała optymalizacja idzie źle.

Jak unikać: Poprawny wzór: (f/g)′ = (f′g − fg′) / g². Dla V(h) = 25h³/(h²−25): V′(h) = (75h²(h²−25) − 25h³·2h) / (h²−25)² = 25h²(h²−75) / (h²−25)². Wzór na pochodną ilorazu znajdziesz w karcie „Wybrane wzory matematyczne”, ale warto znać go na pamięć.

Rozwiązujesz sin(2x) = cos x, czyli 2sin x·cos x = cos x. Dzielisz obustronnie przez cos x i dostajesz sin x = 1/2 — ale gubisz rozwiązania x = π/2 + kπ, dla których cos x = 0 i równanie jest spełnione (0 = 0). Bywa też odwrotnie: w 3cos²x + √3·sin(2x) − 3sin²x = 0 dla cos x = 0 lewa strona wynosi −3, więc dzielenie przez cos²x niczego nie gubi — ale to trzeba sprawdzić i zapisać. Pominięte rozwiązania obniżają ocenę.

Jak unikać: Przed dzieleniem przez funkcję trygonometryczną zawsze sprawdź, czy może być zero. Najpierw: czy x = π/2 + kπ spełnia równanie? Jeśli tak — zapisz te rozwiązania, dopiero potem dziel. Alternatywnie: przenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz cos x przed nawias — cos x·(2sin x − 1) = 0 — wtedy nic nie gubisz.

Zadanie: „Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a > 0 i b > 0 takich że b ≠ a/2 prawdziwa jest nierówność (a+2b)³ > 8a²b + 16ab²”. Piszesz: „Dla a=1, b=2: 125 > 16+64 ✓. Dla a=3, b=1: 125 > 72+48 ✓. Stąd nierówność prawdziwa”. 0 pkt — to nie dowód, to sprawdzenie skończenie wielu przypadków z nieskończonej liczby.

Jak unikać: Dowód = przekształcenie ważne dla DOWOLNYCH a, b spełniających założenia. Przekształcasz: (a+2b)³ − 8a²b − 16ab² = ... = (a−2b)²(a+2b) > 0 (bo a+2b > 0 i (a−2b)² > 0 z założenia b ≠ a/2). Jeden dowód dla wszystkich a, b — to dopiero dowód.

Zadanie: „Wyznacz m, dla których x² + 2mx + 2m − 1 = 0 ma dwa różne rozwiązania spełniające warunek …”. Idziesz prosto do warunku z Viète'a, zapominasz że dla DWÓCH RÓŻNYCH rozwiązań musi być Δ > 0. Tracisz punkty za niekompletną analizę.

Jak unikać: W takim zadaniu zwykle są 3 warunki: (1) Δ > 0 (lub ≥ 0 jeśli dopuszczasz podwójne pierwiastki), (2) wzory Viète'a dla sumy/iloczynu, (3) warunki z treści zadania. Wynik = część wspólna wszystkich trzech zbiorów wartości m. Pomiń jakikolwiek = strata punktów.

Optymalizacja: liczysz pochodną, znajdujesz miejsce zerowe h₀, sprawdzasz że f′(h) < 0 dla h < h₀ i f′(h) > 0 dla h > h₀ → minimum lokalne. Podajesz wartość. Brakuje argumentu, że to MINIMUM GLOBALNE w dziedzinie (a nie tylko lokalne). Brak tego uzasadnienia to niekompletne rozwiązanie.

Jak unikać: Po znalezieniu minimum lokalnego napisz: „Funkcja jest malejąca na (a, h₀) i rosnąca na (h₀, b), więc h₀ jest punktem minimum lokalnego i jednocześnie globalnego w dziedzinie (a, b)”. Jedno zdanie wystarczy.

Dla ax² + bx + c = 0 zapisujesz x₁+x₂ = b/a (bez minusa) lub x₁·x₂ = −c/a (z minusem). Pamiętaj że to NIE jest błąd rachunkowy — to błąd merytoryczny w stosowaniu wzoru.

Jak unikać: Wykuj na pamięć: x₁+x₂ = −b/a (MINUS!), x₁·x₂ = c/a (bez minusa). Pamięć trik: w sumie znak się ODWRACA (z +b w równaniu na −b/a w sumie), w iloczynie znak ZOSTAJE (z +c w równaniu na +c/a w iloczynie). Wzory Viète’a są też w karcie „Wybrane wzory matematyczne”.

Zadanie: „Rozwiąż 2sin x = 1 w przedziale [−π, π]”. Liczysz: x = π/6 + 2kπ lub x = 5π/6 + 2kπ dla k ∈ ℤ. Podajesz wszystkie rozwiązania dla k ∈ ℤ. Ale zadanie pyta o przedział [−π, π]! Powinno być TYLKO x = π/6 i x = 5π/6. Rozwiązania poza przedziałem to błąd.

Jak unikać: Po znalezieniu ogólnego rozwiązania ZAWSZE sprawdź dziedzinę z treści zadania. Wstaw k = −1, 0, 1 i wybierz tylko te x, które są w danym przedziale. Wypisz konkretnie: „W przedziale [−π, π] rozwiązaniami są x = π/6 i x = 5π/6”.