📐 MatematykaPP+PR

Algebra — zadania maturalne

Q: Czy na maturze są zadania na dowodzenie?

Tak, na obu poziomach. Informator CKE podaje, że wśród zadań egzaminacyjnych znajdą się zadania na dowodzenie, wymagające przeprowadzenia dowodu matematycznego. Podstawa programowa wymienia m.in. proste dowody podzielności liczb całkowitych (dział I, pkt 2) i dowody geometryczne (dział VIII, pkt 11). Indukcji matematycznej w podstawie nie ma.

Q: Czy równania wykładnicze i logarytmiczne są na maturze?

Podstawa programowa (Dz.U. 2024 poz. 1019) nie ma osobnego wymagania o równaniach wykładniczych ani logarytmicznych, także w zakresie rozszerzonym. Wymaga natomiast działań na potęgach i logarytmach (dział I) oraz posługiwania się funkcją wykładniczą i logarytmiczną w zastosowaniach praktycznych (dział V, pkt 14).

Q: Jak oceniane są zadania otwarte?

Według Informatora CKE rozwiązanie musi pokazywać pełny tok rozumowania. Punkty przyznaje się za etapy: za pokonanie zasadniczych trudności zadania co najmniej połowę punktów, a komplet za rozwiązanie doprowadzone poprawnie do końca. W serwisie odpowiedzi otwarte ocenia AI i wskazuje krok, w którym jest błąd.

Q: Jak zrobić powtórkę z algebry przed maturą?

Sprawdza się taka kolejność. 1) Zacznij od równań liniowych i kwadratowych; są etapem zadań z większości działów. 2) Wzory skróconego mnożenia ćwicz w obie strony: rozwijanie nawiasu i zwijanie do nawiasu. 3) Nierówność kwadratową rozwiązuj z rysunkiem paraboli: miejsca zerowe, kierunek ramion, znak między pierwiastkami i poza nimi. Na koniec sprawdź się w quizie z algebry, a potem w pełnym sprawdzianie.

Wyrażenia algebraiczne, równania, nierówności i układy równań: co jest na poziomie podstawowym, a co dopiero na rozszerzonym.

Zacznij ćwiczyć: Algebra → Jak działa quiz ↓

Konto zakładasz w minutę · pełny dostęp od 49 zł/mies.

Sprawdzian z algebry z odpowiedziami →

zadań w katalogu: 131; zadań w katalogu
typów zadań: 14; typów zadań

Quiz w Matury Online — pytanie z tematu „Algebra” (Matematyka) po sprawdzeniu odpowiedzi, z wynikiem i wyjaśnieniem

Quiz w aplikacji Matury Online — pytanie z tematu „Algebra” i wyjaśnienie po odpowiedzi

Quiz · Algebra

„Algebra” w Quizie — jak ćwiczysz

131 pytań z tego działu w jednym miejscu. Wybierasz je filtrem, po każdej odpowiedzi widzisz wyjaśnienie, a quiz sam dobiera trudność i wraca do Twoich błędów.

Quiz w Matury Online — panel „Filtruj” z zaznaczonym tematem „Algebra”, typy zadań i trudność 1–5, pod spodem pytanie z tego tematu

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wybierasz dział, typ zadania — np. zamknięte, obliczenia, dowód — i trudność 1–5. Przy każdej opcji widzisz, ile pytań zostaje w puli.
Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Od razu wiesz, czy dobrze — i dlaczego. Zadania otwarte ocenia AI według zasad oceniania CKE, z punktacją częściową.
Powtórki pytań, na których się mylisz

Pytanie z błędem wraca po kilku dniach z plakietką „Powtórka”. Powtórki zajmują najwyżej 30% sesji; wyłączasz je jednym przełącznikiem.
Trudność dobiera się do Ciebie

Quiz liczy Twój poziom z ostatnich odpowiedzi i podsuwa pytania, przy których trafiasz ok. 70% — nie za łatwe, nie za trudne.

14 typów zadań — Algebra

z 19 typów w całym quizie · liczba pytań · filtr „Typ” w quizie

Zamknięte (A–D) 158
Otwarte 98
Obliczenia 51
Uzupełnij 47
Dopasuj 45
Wielokrotny wybór 42
Tabela danych 34
Prawda/Fałsz 32
Wykres 30
Znajdź błąd 7
Luki w tekście 5
Praca z tekstem 3
Dowód — kolejność 3
Uporządkuj 1

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Zaznaczasz odpowiedź, klikasz „Sprawdź” i widzisz, która była poprawna i dlaczego. Możesz też odsłonić odpowiedź bez rozwiązywania albo pominąć pytanie.

Wypróbuj bez logowania

Kilka pytań z bazy z działu „Algebra” — kliknij odpowiedź i sprawdź.

Ćwicz dział „Algebra” w Quizie → darmowe konto: 5 pytań dziennie · bez dziennego limitu od 49 zł/mies.

Wprowadzenie

Algebra na maturze

Algebra w podstawie programowej to trzy działy: wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności oraz układy równań.

Zakres podstawowy obejmuje wzory skróconego mnożenia na (a + b)², (a − b)² i a² − b², działania na wielomianach, wyłączanie jednomianu przed nawias, mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych, nierówności liniowe, równania i nierówności kwadratowe, równania wielomianowe zapisane w postaci iloczynowej oraz układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Zakres rozszerzony dodaje dzielenie wielomianu przez dwumian x − a, rozkład na czynniki, pierwiastki całkowite wielomianu, wzory na a³ ± b³ i (a ± b)ⁿ, wzory Viète’a, równania i nierówności wymierne, z wartością bezwzględną i z parametrem oraz układy z równaniem kwadratowym.

Równań wykładniczych i logarytmicznych, układów z trzema niewiadomymi ani indukcji matematycznej podstawa nie wymienia.

Przed maturą

Powtórka z algebry krok po kroku

1

Odśwież wzory

Zacznij od: Wyróżnik trójmianu kwadratowego, Pierwiastki przy Δ > 0, Postać iloczynowa trójmianu (Δ ≥ 0) i 9 kolejnych pozycji.
Pełna lista
2

Sprawdź, co umiesz

8 umiejętności do odhaczenia, od „Równania i nierówności liniowe” po „Wzory Viète’a i parametr (poziom rozszerzony)”.
Lista umiejętności
3

Uważaj na typowe błędy

8 pułapek, np. „(a + b)² = a² + b²”. Przy każdej jest poprawna wersja i wyjaśnienie.
Typowe błędy
4

Sprawdź się

Najpierw krótki quiz, potem pełny sprawdzian z całego zakresu.

Quiz z algebry Sprawdzian z algebry Rozwiąż zadania z bazy

Zakres materiału

Algebra — co musisz umieć

Wymagania szczegółowe podstawy programowej z matematyki: działy II „Wyrażenia algebraiczne”, III „Równania i nierówności” i IV „Układy równań” w zakresie podstawowym i rozszerzonym (Dz.U. 2024 poz. 1019).

1
Równania i nierówności liniowe
Przekształcenia równoważne, równania sprzeczne i tożsamościowe, nierówności liniowe z jedną niewiadomą (III.1–3).
2
Równania i nierówności kwadratowe
Δ = b² − 4ac, pierwiastki x₁ = (−b − √Δ)/(2a) i x₂ = (−b + √Δ)/(2a); nierówność odczytuje się z położenia paraboli względem osi (III.4).
3
Wzory skróconego mnożenia
Poziom podstawowy: (a + b)², (a − b)², a² − b² (II.1). Poziom rozszerzony: a³ + b³, a³ − b³, aⁿ − bⁿ, (a + b)ⁿ i (a − b)ⁿ (II, zakres rozszerzony, pkt 5).
4
Układy równań
Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, interpretacja geometryczna układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych, zadania tekstowe (IV.1–2). Poziom rozszerzony: układy z równaniem kwadratowym.
5
Wielomiany
Poziom podstawowy: działania na wielomianach i równania W(x) = 0 w postaci iloczynowej (II.2, III.5). Poziom rozszerzony: dzielenie przez dwumian x − a, rozkład przez wyłączanie czynnika i grupowanie, pierwiastki całkowite, nierówności wielomianowe.
6
Wyrażenia wymierne
Poziom podstawowy: mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych (II.4). Poziom rozszerzony: dodawanie i odejmowanie oraz równania i nierówności wymierne sprowadzane do liniowych lub kwadratowych.

Pokaż pozostałe 2

7
Wartość bezwzględna
Poziom podstawowy: równania typu |x + 4| = 5 (I.7). Poziom rozszerzony: równania i nierówności z wartością bezwzględną (III, zakres rozszerzony, pkt 4).
8
Wzory Viète’a i parametr (poziom rozszerzony)
x₁ + x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a; liczba rozwiązań równania w zależności od parametru, znaki rozwiązań, położenie w przedziale (III, zakres rozszerzony, pkt 3 i 5).

Typowe błędy

Tu łatwo stracić punkty

Typowe błędy rachunkowe i poprawne przekształcenie obok każdego z nich.

✗ Błąd

(a + b)² = a² + b²

✓ Poprawnie

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Dlaczego: W kwadracie sumy jest podwojony iloczyn 2ab; wyrazów mieszanych nie ma tylko w iloczynie (a − b)(a + b) = a² − b². Sprawdź: (1+2)² = 9, a 1²+2² = 5.

✗ Błąd

√(a + b) = √a + √b

✓ Poprawnie

√(a + b) ≠ √a + √b w ogólności

Dlaczego: Klasyczna pułapka. Sprawdź a=9, b=16: √25 = 5, ale √9+√16 = 3+4 = 7. Pierwiastek rozbija się tylko nad iloczynem (√(ab) = √a·√b), nie nad sumą.

✗ Błąd

log(x+y) = log(x) + log(y)

✓ Poprawnie

log(xy) = log(x) + log(y); log(x+y) nie upraszcza się

Dlaczego: Logarytm rozbija się nad iloczynem, nie nad sumą. log(8·4) = log(8)+log(4), ale log(8+4) nie ma żadnej prostej formy.

✗ Błąd

Rozwiązanie x² = 7 to x = √7

✓ Poprawnie

Rozwiązanie x² = 7 to x = √7 lub x = −√7

Dlaczego: Równanie x² = k dla k > 0 ma dwa rozwiązania: √k i −√k. Sprawdź obie liczby: (√7)² = 7 ✓, (-√7)² = 7 ✓.

Pokaż pozostałe 4

✗ Błąd

Rozwiązaniami równania (x² − 4)/(x − 2) = 0 są x = 2 i x = −2

✓ Poprawnie

Dziedzina: x ≠ 2, więc rozwiązaniem jest tylko x = −2

Dlaczego: Równanie wymierne V(x)/W(x) = 0 spełniają te miejsca zerowe licznika, dla których mianownik jest różny od zera (poziom rozszerzony). Dziedzinę zapisuje się przed rozwiązaniem.

✗ Błąd

Nierówność 2/(x-1) ≥ 0 → x ≥ 1

✓ Poprawnie

Nierówność 2/(x-1) ≥ 0 → x > 1 (bez równości)

Dlaczego: Mianownik nie może być 0. Dla x=1 wyrażenie jest niezdefiniowane. Punkty mianownikowe są zawsze wyłączone z dziedziny.

✗ Błąd

Rozwiązując (x-2)(x+1) ≥ 0 → x ∈ ⟨-1, 2⟩

✓ Poprawnie

Rozwiązując (x-2)(x+1) ≥ 0 → x ∈ (-∞, -1⟩ ∪ ⟨2, +∞)

Dlaczego: Parabola w górę jest ujemna między pierwiastkami, dodatnia poza nimi. Zaznacz znaki na osi: + | - | +. Dla ≥ 0 bierzemy „+” — zewnątrz.

✗ Błąd

|x| < 3 → x < 3

✓ Poprawnie

|x| < 3 → -3 < x < 3

Dlaczego: Wartość bezwzględna mierzy odległość od zera. |x|<3 oznacza punkty bliżej niż 3 od zera, czyli blisko zera, nie tylko „z lewej strony 3”. Pamiętaj o dolnym ograniczeniu.

Do zapamiętania

Wzory i własności do powtórzenia

Bez tych nie ma o czym mówić.

Δ = b² − 4ac: Wyróżnik trójmianu kwadratowego; w karcie wzorów CKE
x₁ = (−b − √Δ)/(2a), x₂ = (−b + √Δ)/(2a): Pierwiastki przy Δ > 0; w karcie wzorów CKE
a(x − x₁)(x − x₂): Postać iloczynowa trójmianu (Δ ≥ 0); w karcie wzorów CKE
(a + b)² = a² + 2ab + b²: Kwadrat sumy; w karcie wzorów CKE
(a − b)² = a² − 2ab + b²: Kwadrat różnicy; w karcie wzorów CKE
a² − b² = (a − b)(a + b): Różnica kwadratów; w karcie wzorów CKE
x₁ + x₂ = −b/a: Wzór Viète’a na sumę (Δ ≥ 0); poziom rozszerzony; w karcie wzorów CKE
x₁·x₂ = c/a: Wzór Viète’a na iloczyn (Δ ≥ 0); poziom rozszerzony; w karcie wzorów CKE
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²): Suma sześcianów; poziom rozszerzony; w karcie wzorów CKE
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²): Różnica sześcianów; poziom rozszerzony; w karcie wzorów CKE
|x − a| ≤ r ⇔ a − r ≤ x ≤ a + r: Nierówność z wartością bezwzględną (r ≥ 0); poziom rozszerzony; w karcie wzorów CKE
|x − a| ≥ r ⇔ x ≤ a − r ∨ x ≥ a + r: Nierówność z wartością bezwzględną (r ≥ 0); poziom rozszerzony; w karcie wzorów CKE

Przykłady z bazy

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Algebra”

Poniżej 4 prawdziwych zadań z bazy — każde innego typu.

🔢 Algebra ◉ Zamknięte (A–D) ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie Autorskie · PP 1 pkt

Liczby $a$ i $b$ spełniają warunki $a - b = 3$ oraz $a + b = 7$ . Wartość wyrażenia $a^{2} - b^{2}$ jest równa:

A 10

B 4

C 49

D 21

Rozwiąż na platformie →

🔢 Algebra ✎ Otwarte ⚫⚫⚪⚪⚪ Łatwe 🤖 Ocena AI Autorskie · PP 2 pkt

W klasie jest 28 uczniów, a dziewcząt jest o 4 więcej niż chłopców. Ułóż równanie i oblicz, ilu chłopców jest w klasie.

Rozwiąż samodzielnie — AI sprawdzi krok po kroku →

🔢 Algebra ⚖ Prawda/Fałsz ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie Autorskie · PP 1 pkt

Oceń prawdziwość stwierdzeń.

Równanie $3 x - 6 = 3 (x - 2)$ jest tożsamościowe.

P F

Równanie $x + 1 = x + 1$ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

P F

Równanie $2 (x + 3) = 2 x + 7$ nie ma rozwiązań.

P F

Rozwiąż na platformie →

🔢 Algebra ☑ Wielokrotny wybór ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie Autorskie · PP 1 pkt

Które liczby są rozwiązaniami równania $x^{3} - x = 0$ ?

2

0

- 2

1

3

- 1

Rozwiąż na platformie →

Jak się uczyć

Strategia opanowania działu

Kroki w kolejności, w jakiej naprawdę warto je wykonać.

1
Zacznij od równań liniowych i kwadratowych; są etapem zadań z większości działów.
2
Wzory skróconego mnożenia ćwicz w obie strony: rozwijanie nawiasu i zwijanie do nawiasu.
3
Nierówność kwadratową rozwiązuj z rysunkiem paraboli: miejsca zerowe, kierunek ramion, znak między pierwiastkami i poza nimi.
4
W równaniach i nierównościach wymiernych najpierw zapisz, dla jakich x mianownik jest różny od zera, a na końcu sprawdź rozwiązania z tym warunkiem.
5
Poziom rozszerzony, wielomiany: najpierw wyłączanie czynnika i grupowanie; gdy nie działają, szukaj pierwiastka całkowitego wśród dzielników wyrazu wolnego i dziel przez x − a.
6
Poziom rozszerzony, parametr: zapisz osobno warunek na współczynnik przy x², warunek na Δ i warunki dodatkowe (np. ze wzorów Viète’a), a potem wyznacz część wspólną.
7
W zadaniach „wykaż, że” zapisuj każde przekształcenie i wniosek; Informator CKE wymaga pełnego toku rozumowania.

FAQ

FAQ — Algebra

Ile zadań z algebry jest na maturze podstawowej?

CKE nie podaje podziału punktów na działy. Informator CKE określa cały arkusz: na poziomie podstawowym 180 minut i 50 punktów, z czego połowa za zadania zamknięte i połowa za otwarte; na poziomie rozszerzonym 180 minut, 50 punktów i wyłącznie zadania otwarte. Zadania z tego działu bywają też etapem zadań z innych działów.

Jak nauczyć się rozwiązywać równania z parametrem?

To wymaganie zakresu rozszerzonego. Schemat: 1) sprawdź osobno przypadek, w którym współczynnik przy x² jest równy zero (równanie przestaje być kwadratowe); 2) oblicz Δ jako wyrażenie z parametrem; 3) zapisz warunek na liczbę rozwiązań (Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0); 4) dopisz warunki dodatkowe, np. ze wzorów Viète’a na znaki rozwiązań; 5) wyznacz część wspólną wszystkich warunków.

Czy na maturze są zadania na dowodzenie?

Tak, na obu poziomach. Informator CKE podaje, że wśród zadań egzaminacyjnych znajdą się zadania na dowodzenie, wymagające przeprowadzenia dowodu matematycznego. Podstawa programowa wymienia m.in. proste dowody podzielności liczb całkowitych (dział I, pkt 2) i dowody geometryczne (dział VIII, pkt 11). Indukcji matematycznej w podstawie nie ma.

Czy równania wykładnicze i logarytmiczne są na maturze?

Podstawa programowa (Dz.U. 2024 poz. 1019) nie ma osobnego wymagania o równaniach wykładniczych ani logarytmicznych, także w zakresie rozszerzonym. Wymaga natomiast działań na potęgach i logarytmach (dział I) oraz posługiwania się funkcją wykładniczą i logarytmiczną w zastosowaniach praktycznych (dział V, pkt 14).

Jak oceniane są zadania otwarte?

Według Informatora CKE rozwiązanie musi pokazywać pełny tok rozumowania. Punkty przyznaje się za etapy: za pokonanie zasadniczych trudności zadania co najmniej połowę punktów, a komplet za rozwiązanie doprowadzone poprawnie do końca. W serwisie odpowiedzi otwarte ocenia AI i wskazuje krok, w którym jest błąd.

Jak zrobić powtórkę z algebry przed maturą?

Sprawdza się taka kolejność. 1) Zacznij od równań liniowych i kwadratowych; są etapem zadań z większości działów. 2) Wzory skróconego mnożenia ćwicz w obie strony: rozwijanie nawiasu i zwijanie do nawiasu. 3) Nierówność kwadratową rozwiązuj z rysunkiem paraboli: miejsca zerowe, kierunek ramion, znak między pierwiastkami i poza nimi. Na koniec sprawdź się w quizie z algebry, a potem w pełnym sprawdzianie.

Algebra — zadania maturalne

„Algebra” w Quizie — jak ćwiczysz

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Powtórki pytań, na których się mylisz

Trudność dobiera się do Ciebie

14 typów zadań — Algebra

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Wypróbuj bez logowania

Algebra na maturze

Powtórka z algebry krok po kroku

Odśwież wzory

Sprawdź, co umiesz

Uważaj na typowe błędy

Sprawdź się

Algebra — co musisz umieć

Równania i nierówności liniowe

Równania i nierówności kwadratowe

Wzory skróconego mnożenia

Układy równań

Wielomiany

Wyrażenia wymierne

Wartość bezwzględna

Wzory Viète’a i parametr (poziom rozszerzony)

Tu łatwo stracić punkty

Wzory i własności do powtórzenia

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Algebra”

Liczby $a$ i $b$ spełniają warunki $a - b = 3$ oraz $a + b = 7$ . Wartość wyrażenia $a^{2} - b^{2}$ jest równa:

W klasie jest 28 uczniów, a dziewcząt jest o 4 więcej niż chłopców. Ułóż równanie i oblicz, ilu chłopców jest w klasie.

Oceń prawdziwość stwierdzeń.

Które liczby są rozwiązaniami równania $x^{3} - x = 0$ ?

Strategia opanowania działu

FAQ — Algebra

Powiązane działy

Algebra do matury 2027

Algebra — zadania maturalne

„Algebra” w Quizie — jak ćwiczysz

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Powtórki pytań, na których się mylisz

Trudność dobiera się do Ciebie

14 typów zadań — Algebra

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Wypróbuj bez logowania

Algebra na maturze

Powtórka z algebry krok po kroku

Odśwież wzory

Sprawdź, co umiesz

Uważaj na typowe błędy

Sprawdź się

Algebra — co musisz umieć

Równania i nierówności liniowe

Równania i nierówności kwadratowe

Wzory skróconego mnożenia

Układy równań

Wielomiany

Wyrażenia wymierne

Wartość bezwzględna

Wzory Viète’a i parametr (poziom rozszerzony)

Tu łatwo stracić punkty

Wzory i własności do powtórzenia

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Algebra”

Liczby a i b spełniają warunki a−b=3 oraz a+b=7. Wartość wyrażenia a2−b2 jest równa:

W klasie jest 28 uczniów, a dziewcząt jest o 4 więcej niż chłopców. Ułóż równanie i oblicz, ilu chłopców jest w klasie.

Oceń prawdziwość stwierdzeń.

Które liczby są rozwiązaniami równania x3−x=0?

Strategia opanowania działu

FAQ — Algebra

Powiązane działy

Algebra do matury 2027

Liczby $a$ i $b$ spełniają warunki $a - b = 3$ oraz $a + b = 7$ . Wartość wyrażenia $a^{2} - b^{2}$ jest równa:

Które liczby są rozwiązaniami równania $x^{3} - x = 0$ ?