📐 MatematykaPP+PR

Liczby i działania — zadania maturalne

Liczby rzeczywiste na maturze: działania, procenty, potęgi, pierwiastki, logarytmy, wartość bezwzględna i proste dowody podzielności.

Zacznij ćwiczyć: Liczby i działania → Jak działa quiz ↓

Konto zakładasz w minutę · pełny dostęp od 49 zł/mies.

Sprawdzian z liczb i działań z odpowiedziami →

zadań w katalogu: 139; zadań w katalogu
typów zadań: 11; typów zadań

Quiz w Matury Online — pytanie z tematu „Liczby i działania” (Matematyka) po sprawdzeniu odpowiedzi, z wynikiem i wyjaśnieniem

Quiz w aplikacji Matury Online — pytanie z tematu „Liczby i działania” i wyjaśnienie po odpowiedzi

Quiz · Liczby i działania

„Liczby i działania” w Quizie — jak ćwiczysz

139 pytań z tego działu w jednym miejscu. Wybierasz je filtrem, po każdej odpowiedzi widzisz wyjaśnienie, a quiz sam dobiera trudność i wraca do Twoich błędów.

Quiz w Matury Online — panel „Filtruj” z zaznaczonym tematem „Liczby i działania”, typy zadań i trudność 1–5, pod spodem pytanie z tego tematu

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wybierasz dział, typ zadania — np. zamknięte, obliczenia, dowód — i trudność 1–5. Przy każdej opcji widzisz, ile pytań zostaje w puli.
Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Od razu wiesz, czy dobrze — i dlaczego. Zadania otwarte ocenia AI według zasad oceniania CKE, z punktacją częściową.
Powtórki pytań, na których się mylisz

Pytanie z błędem wraca po kilku dniach z plakietką „Powtórka”. Powtórki zajmują najwyżej 30% sesji; wyłączasz je jednym przełącznikiem.
Trudność dobiera się do Ciebie

Quiz liczy Twój poziom z ostatnich odpowiedzi i podsuwa pytania, przy których trafiasz ok. 70% — nie za łatwe, nie za trudne.

11 typów zadań — Liczby i działania

z 19 typów w całym quizie · liczba pytań · filtr „Typ” w quizie

Zamknięte (A–D) 73
Tabela danych 14
Otwarte 10
Prawda/Fałsz 10
Uzupełnij 10
Obliczenia 6
Wielokrotny wybór 4
Uporządkuj 4
Dopasuj 3
Praca z tekstem 3
Wykres 2

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Zaznaczasz odpowiedź, klikasz „Sprawdź” i widzisz, która była poprawna i dlaczego. Możesz też odsłonić odpowiedź bez rozwiązywania albo pominąć pytanie.

Wypróbuj bez logowania

Kilka pytań z bazy z działu „Liczby i działania” — kliknij odpowiedź i sprawdź.

Ćwicz dział „Liczby i działania” w Quizie → darmowe konto: 5 pytań dziennie · bez dziennego limitu od 49 zł/mies.

Wprowadzenie

Liczby i działania na maturze

Dział I podstawy programowej „Liczby rzeczywiste” ma w zakresie podstawowym dziewięć wymagań: działania w zbiorze liczb rzeczywistych (w tym potęgowanie, pierwiastkowanie i logarytmowanie), proste dowody dotyczące podzielności i reszt z dzielenia, własności pierwiastków dowolnego stopnia, prawa działań na potęgach, monotoniczność potęgowania, przedziały liczbowe, wartość bezwzględną z równaniami typu |x + 4| = 5, zastosowania praktyczne (procent składany, lokaty, kredyty) oraz wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi.

Zakres rozszerzony dodaje jedno wymaganie: wzór na zamianę podstawy logarytmu. Wzory na potęgi, logarytmy, wartość bezwzględną i procent składany są w „Wybranych wzorach matematycznych”, z których korzysta się na egzaminie.

Przed maturą

Powtórka z liczb i działań krok po kroku

1

Odśwież wzory

Zacznij od: Mnożenie potęg, Dzielenie potęg, Potęga potęgi i 9 kolejnych pozycji.
Pełna lista
2

Sprawdź, co umiesz

8 umiejętności do odhaczenia, od „Działania na liczbach rzeczywistych” po „Zamiana podstawy logarytmu (poziom rozszerzony)”.
Lista umiejętności
3

Uważaj na typowe błędy

7 pułapek, np. „Po podwyżce o 25% wystarczy obniżyć o 25%, żeby wrócić do ceny początkowej”. Przy każdej jest poprawna wersja i wyjaśnienie.
Typowe błędy
4

Sprawdź się

Najpierw krótki quiz, potem pełny sprawdzian z całego zakresu.

Quiz z liczb i działań Sprawdzian z liczb i działań Rozwiąż zadania z bazy

Zakres materiału

Liczby i działania — co musisz umieć

Wymagania szczegółowe podstawy programowej z matematyki: dział I „Liczby rzeczywiste”, pkt 1–9 w zakresie podstawowym oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu w zakresie rozszerzonym (Dz.U. 2024 poz. 1019).

1
Działania na liczbach rzeczywistych
Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie i logarytmowanie w zbiorze liczb rzeczywistych (I.1).
2
Dowody podzielności
Proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np. że iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez 24 (I.2).
3
Potęgi i pierwiastki
Prawa działań na potęgach i pierwiastkach, związek pierwiastkowania z potęgowaniem: a^m/n = ⁿ√(aᵐ) dla a ≥ 0, a⁻ⁿ = 1/aⁿ dla a ≠ 0; pierwiastki stopnia nieparzystego z liczb ujemnych, np. ³√(−8) = −2 (I.3, I.4).
4
Monotoniczność potęgowania
Jeśli x < y i a > 1, to aˣ < aʸ; jeśli x < y i 0 < a < 1, to aˣ > aʸ. Służy do porównywania potęg o tej samej podstawie (I.5).
5
Przedziały i wartość bezwzględna
Przedziały liczbowe na osi; |x| jako odległość liczby x od zera; równania typu |x + 4| = 5 (I.6, I.7).
6
Procenty i procent składany
Podwyżki i obniżki jako mnożenie przez (1 + p/100) albo (1 − p/100); procent składany, zyski z lokat i koszty kredytów: Kₙ = K₀·(1 + p/100)ⁿ (I.8).

Pokaż pozostałe 2

7
Logarytmy
logₐb = c dokładnie wtedy, gdy aᶜ = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0); wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi (I.9).
8
Zamiana podstawy logarytmu (poziom rozszerzony)
log_b c = logₐc / logₐb — jedyne dodatkowe wymaganie działu I w zakresie rozszerzonym.

Typowe błędy

Tu łatwo stracić punkty

Typowe błędy rachunkowe i poprawne przekształcenie obok każdego z nich.

✗ Błąd

Po podwyżce o 25% wystarczy obniżyć o 25%, żeby wrócić do ceny początkowej.

✓ Poprawnie

Po podwyżce o 25% trzeba obniżyć o 20% (1/1,25 = 0,8).

Dlaczego: Procenty liczą się od nowej bazy. 100 → 125 → po obniżce o 25%: 125·0,75 = 93,75, nie 100.

✗ Błąd

Dwie obniżki po 10% to łącznie obniżka o 20%.

✓ Poprawnie

Dwie obniżki po 10% to obniżka o 19% (0,9 · 0,9 = 0,81).

Dlaczego: Procenty składane nie sumują się liniowo. Druga obniżka liczy się od już obniżonej ceny.

✗ Błąd

√(a² + b²) = a + b

✓ Poprawnie

√(a² + b²) ≠ a + b w ogólności.

Dlaczego: To nie jest twierdzenie Pitagorasa „w drugą stronę”. Sprawdź a=b=1: √2 ≈ 1,41, ale a+b = 2.

✗ Błąd

Suma dwóch liczb niewymiernych jest niewymierna.

✓ Poprawnie

Suma dwóch niewymiernych może być wymierna.

Dlaczego: Przykład: √2 + (−√2) = 0 ∈ ℚ. Albo (3−√2) + √2 = 3.

Pokaż pozostałe 3

✗ Błąd

log₂(8) + log₂(4) = log₂(8+4) = log₂(12)

✓ Poprawnie

log₂(8) + log₂(4) = log₂(8·4) = log₂(32)

Dlaczego: Suma logarytmów = logarytm iloczynu, nie sumy. log(a) + log(b) = log(ab).

✗ Błąd

2⁻³ = −8

✓ Poprawnie

2⁻³ = 1/8

Dlaczego: Ujemny wykładnik to odwrotność, nie zmiana znaku. a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

✗ Błąd

√2 · √3 = √5

✓ Poprawnie

√2 · √3 = √6

Dlaczego: Iloczyn pierwiastków: √a · √b = √(a·b), nie √(a+b).

Do zapamiętania

Wzory i własności do powtórzenia

Bez tych nie ma o czym mówić.

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ: Mnożenie potęg; w karcie wzorów CKE
aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ: Dzielenie potęg; w karcie wzorów CKE
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ: Potęga potęgi; w karcie wzorów CKE
a⁻ⁿ = 1/aⁿ: Potęga o wykładniku ujemnym (a ≠ 0); w karcie wzorów CKE
a^m/n = ⁿ√(aᵐ): Potęga o wykładniku wymiernym (a ≥ 0); w karcie wzorów CKE
√a · √b = √(ab): Iloczyn pierwiastków (a, b ≥ 0); w karcie w postaci (a·b)ʳ = aʳ·bʳ
√(a²) = |a|: Pierwiastek z kwadratu; w karcie wzorów CKE
logₐ(xy) = logₐx + logₐy: Logarytm iloczynu; w karcie wzorów CKE
logₐ(x/y) = logₐx − logₐy: Logarytm ilorazu; w karcie wzorów CKE
logₐ(xʳ) = r·logₐx: Logarytm potęgi; w karcie wzorów CKE
a^logₐb = b: Potęga o wykładniku logarytmicznym; w karcie wzorów CKE
Kₙ = K₀·(1 + p/100)ⁿ: Procent składany (kapitalizacja roczna); w karcie wzorów CKE

Przykłady z bazy

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Liczby i działania”

Poniżej 5 prawdziwych zadań z bazy — każde innego typu.

🔢 Liczby i działania ◉ Zamknięte (A–D) ⚫⚫⚪⚪⚪ Łatwe Autorskie · PP 1 pkt

Liczba $2^{10} \cdot 2^{- 7}$ jest równa:

8

2^{17}

2^{- 3}

16

Rozwiąż na platformie →

🔢 Liczby i działania ✎ Otwarte ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie 🤖 Ocena AI Autorskie · PP 2 pkt

Przedstaw liczbę $12 + 27$ w postaci $a 3$ , gdzie $a$ jest liczbą naturalną. Zapisz pełny tok obliczeń.

Rozwiąż samodzielnie — AI sprawdzi krok po kroku →

🔢 Liczby i działania ⚖ Prawda/Fałsz ⚫⚫⚪⚪⚪ Łatwe Autorskie · PP 3 pkt

Oceń prawdziwość stwierdzeń:

Liczba $0, (3)$ (ułamek okresowy) jest liczbą niewymierną.

P F

Iloczyn liczb niewymiernych $2$ i $8$ jest liczbą niewymierną.

P F

Każda liczba niewymierna jest liczbą całkowitą.

P F

Rozwiąż na platformie →

🔢 Liczby i działania ▦ Tabela danych ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie 🤖 Ocena AI Autorskie · PP 3 pkt

W sklepie obniżono ceny trzech produktów (dane: opracowanie własne).

Produkt	Cena przed obniżką	Cena po obniżce
A	80 zł	68 zł
B	120 zł	108 zł
C	50 zł	45 zł

O ile procent obniżono cenę produktu A?

O ile procent obniżono cenę produktu B?

Który produkt zdaniem tabeli obniżono procentowo najbardziej? (podaj literę)

Rozwiąż samodzielnie — AI sprawdzi krok po kroku →

🔢 Liczby i działania ☑ Wielokrotny wybór ⚫⚫⚪⚪⚪ Łatwe Autorskie · PP 1 pkt

Które z poniższych liczb są liczbami pierwszymi? Zaznacz wszystkie poprawne.

2

7

9

21

15

Rozwiąż na platformie →

Jak się uczyć

Strategia opanowania działu

Kroki w kolejności, w jakiej naprawdę warto je wykonać.

1
Zacznij od praw działań na potęgach i pierwiastkach; każdy wzór sprawdź raz na liczbach, np. 2³·2² = 2⁵ = 32.
2
Zmiany procentowe zapisuj jako mnożenie: podwyżka o 5% to ·1,05, obniżka o 5% to ·0,95. Kolejne zmiany mnoży się przez siebie.
3
Logarytm sprowadzaj do definicji: logₐb = c oznacza aᶜ = b.
4
W równaniu z wartością bezwzględną narysuj oś liczbową: |x + 4| = 5 to punkty odległe o 5 od −4, czyli x = 1 lub x = −9.
5
W dowodach podzielności zapisz liczbę ogólnie (np. n, n + 1, n + 2) i wskaż czynnik, przez który dzieli się wyrażenie; sprawdzenie kilku przykładów nie jest dowodem.
6
Przed egzaminem przejrzyj „Wybrane wzory matematyczne” (wartość bezwzględna, potęgi i pierwiastki, logarytmy), żeby wiedzieć, co jest w karcie, a czego trzeba nauczyć się samemu.

FAQ

FAQ — Liczby i działania

Ile zadań z „Liczby i działania” jest na maturze podstawowej?

CKE nie podaje podziału punktów na działy. Informator CKE określa cały arkusz: na poziomie podstawowym 180 minut i 50 punktów, z czego połowa za zadania zamknięte i połowa za otwarte; na poziomie rozszerzonym 180 minut, 50 punktów i wyłącznie zadania otwarte. Zadania z tego działu bywają też etapem zadań z innych działów.

Czy logarytmy są na maturze podstawowej?

Tak. Podstawa programowa (Dz.U. 2024 poz. 1019) wymaga w zakresie podstawowym stosowania związku logarytmowania z potęgowaniem oraz wzorów na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi. W zakresie rozszerzonym dochodzi wzór na zamianę podstawy logarytmu. Osobnego wymagania o równaniach wykładniczych i logarytmicznych w podstawie nie ma.

Jak liczyć kolejne podwyżki i obniżki?

Każda zmiana o p% to mnożenie przez (1 + p/100) albo (1 − p/100). Podwyżka o 5% to ·1,05, obniżka o 5% to ·0,95; kilka zmian po kolei to iloczyn tych czynników. Dla lokaty z roczną kapitalizacją odsetek karta wzorów podaje Kₙ = K₀·(1 + p/100)ⁿ.

Czy na maturze z matematyki można używać kalkulatora?

Tak. Informator CKE i komunikat dyrektora CKE o przyborach na 2027 r. wymieniają: linijkę, cyrkiel, kalkulator prosty oraz „Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki”.

Jak oceniane są zadania otwarte?

Według Informatora CKE rozwiązanie musi pokazywać pełny tok rozumowania. Punkty przyznaje się za etapy: za pokonanie zasadniczych trudności zadania co najmniej połowę punktów, a komplet za rozwiązanie doprowadzone poprawnie do końca. W serwisie odpowiedzi otwarte ocenia AI i wskazuje krok, w którym jest błąd.

Jak zrobić powtórkę z liczb i działań przed maturą?

Sprawdza się taka kolejność. 1) Zacznij od praw działań na potęgach i pierwiastkach; każdy wzór sprawdź raz na liczbach, np. 2³·2² = 2⁵ = 32. 2) Zmiany procentowe zapisuj jako mnożenie: podwyżka o 5% to ·1,05, obniżka o 5% to ·0,95. 3) Logarytm sprowadzaj do definicji: logₐb = c oznacza aᶜ = b. Na koniec sprawdź się w quizie z liczb i działań, a potem w pełnym sprawdzianie.

Liczby i działania do matury 2027

139 zadań z tego działu w quizie z wyjaśnieniami, powtórkami i oceną AI krok po kroku. Subskrypcja odblokowuje cały katalog i pozostałe przedmioty — anulujesz, kiedy chcesz.

Liczby i działania — zacznij ćwiczyć Ćwicz za darmo — 5 pytań dziennie

Pełny dostęp od 49 zł/mies. · jednorazowo 59 zł na 30 dni (BLIK / Przelewy24 / Google Pay / Apple Pay / Revolut / Karta) · subskrypcję anulujesz w 1 kliknięciu

Liczby i działania — zadania maturalne

„Liczby i działania” w Quizie — jak ćwiczysz

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Powtórki pytań, na których się mylisz

Trudność dobiera się do Ciebie

11 typów zadań — Liczby i działania

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Wypróbuj bez logowania

Liczby i działania na maturze

Powtórka z liczb i działań krok po kroku

Odśwież wzory

Sprawdź, co umiesz

Uważaj na typowe błędy

Sprawdź się

Liczby i działania — co musisz umieć

Działania na liczbach rzeczywistych

Dowody podzielności

Potęgi i pierwiastki

Monotoniczność potęgowania

Przedziały i wartość bezwzględna

Procenty i procent składany

Logarytmy

Zamiana podstawy logarytmu (poziom rozszerzony)

Tu łatwo stracić punkty

Wzory i własności do powtórzenia

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Liczby i działania”

Liczba 210⋅2−7 jest równa:

Przedstaw liczbę 12​+27​ w postaci a3​, gdzie a jest liczbą naturalną. Zapisz pełny tok obliczeń.

Oceń prawdziwość stwierdzeń:

W sklepie obniżono ceny trzech produktów (dane: opracowanie własne).

Które z poniższych liczb są liczbami pierwszymi? Zaznacz wszystkie poprawne.

Strategia opanowania działu

FAQ — Liczby i działania

Powiązane działy

Liczby i działania do matury 2027

Liczba $2^{10} \cdot 2^{- 7}$ jest równa:

Przedstaw liczbę $12 + 27$ w postaci $a 3$ , gdzie $a$ jest liczbą naturalną. Zapisz pełny tok obliczeń.