Rachunek różniczkowy (tylko poziom rozszerzony): granice funkcji, pochodna i jej interpretacja, monotoniczność, równanie stycznej i zadania optymalizacyjne.
Konto zakładasz w minutę · pełny dostęp od 49 zł/mies.
Sprawdzian z rachunku różniczkowego z odpowiedziami →
Quiz · Rachunek różniczkowy
107 pytań z tego działu w jednym miejscu. Wybierasz je filtrem, po każdej odpowiedzi widzisz wyjaśnienie, a quiz sam dobiera trudność i wraca do Twoich błędów.
Wybierasz dział, typ zadania — np. zamknięte, obliczenia, dowód — i trudność 1–5. Przy każdej opcji widzisz, ile pytań zostaje w puli.
Od razu wiesz, czy dobrze — i dlaczego. Zadania otwarte ocenia AI według zasad oceniania CKE, z punktacją częściową.
Pytanie z błędem wraca po kilku dniach z plakietką „Powtórka”. Powtórki zajmują najwyżej 30% sesji; wyłączasz je jednym przełącznikiem.
Quiz liczy Twój poziom z ostatnich odpowiedzi i podsuwa pytania, przy których trafiasz ok. 70% — nie za łatwe, nie za trudne.
Zaznaczasz odpowiedź, klikasz „Sprawdź” i widzisz, która była poprawna i dlaczego. Możesz też odsłonić odpowiedź bez rozwiązywania albo pominąć pytanie.
Kilka pytań z bazy z działu „Rachunek różniczkowy” — kliknij odpowiedź i sprawdź.
Wprowadzenie
Rachunek różniczkowy to zakres rozszerzony działu XIII podstawy programowej.
Obejmuje sześć wymagań: obliczanie granic funkcji (także jednostronnych), stosowanie własności Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego, definicję pochodnej z jej interpretacją geometryczną i fizyczną, obliczanie pochodnej funkcji potęgowej oraz pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej, badanie monotoniczności funkcji za pomocą pochodnej oraz zadania optymalizacyjne.
Na poziomie podstawowym z tego działu jest tylko optymalizacja opisana funkcją kwadratową, bez pochodnej. Całek, drugiej pochodnej, wypukłości i punktów przegięcia podstawa nie wymienia. Karta wzorów zawiera reguły różniczkowania, tabelę pochodnych wybranych funkcji i równanie stycznej.
Przed maturą
Zacznij od: Pochodna funkcji potęgowej, Pochodna funkcji stałej i liniowej, Pochodna funkcji kwadratowej i 9 kolejnych pozycji.
Pełna lista8 umiejętności do odhaczenia, od „Granice funkcji” po „Zadania optymalizacyjne”.
Lista umiejętności7 pułapek, np. „(x²)' = x”. Przy każdej jest poprawna wersja i wyjaśnienie.
Typowe błędyNajpierw krótki quiz, potem pełny sprawdzian z całego zakresu.
Zakres materiału
Wymagania szczegółowe podstawy programowej z matematyki: dział XIII „Optymalizacja i rachunek różniczkowy”, zakres rozszerzony, pkt 1–6 (Dz.U. 2024 poz. 1019).
Granica funkcji w punkcie i w nieskończoności, granice jednostronne. Przy wyrażeniu typu 0/0 skraca się wspólny czynnik, np. granica (x² − 4)/(x − 2) przy x → 2 jest równa granicy x + 2, czyli 4 (XIII, pkt 1).
Funkcja ciągła w przedziale domkniętym, która na jego końcach przyjmuje wartości różnych znaków, ma w tym przedziale miejsce zerowe. Tak uzasadnia się istnienie rozwiązania równania (XIII, pkt 2).
f'(x₀) to granica ilorazu różnicowego (f(x₀ + h) − f(x₀))/h przy h → 0. Geometrycznie: współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie x₀. Fizycznie: prędkość chwilowa, gdy funkcja opisuje położenie (XIII, pkt 3).
(xʳ)' = r·xʳ⁻¹ dla wykładnika rzeczywistego r, np. (x³)' = 3x², (√x)' = 1/(2√x), (1/x)' = −1/x² (XIII, pkt 4).
(f ± g)' = f' ± g', (c·f)' = c·f', (f·g)' = f'·g + f·g', (f/g)' = (f'·g − f·g')/g² dla g(x) ≠ 0, [g(f(x))]' = g'(f(x))·f'(x). Wszystkie są w karcie wzorów (XIII, pkt 4).
Jeśli f'(x) > 0 w przedziale, funkcja jest w nim rosnąca; jeśli f'(x) < 0 — malejąca. Tam, gdzie pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, funkcja ma maksimum lokalne, a z ujemnego na dodatni — minimum lokalne (XIII, pkt 5).
y = f'(x₀)·(x − x₀) + f(x₀). Przykład: styczna do wykresu y = x² w punkcie x₀ = 3: f(3) = 9, f'(3) = 6, więc y = 6(x − 3) + 9 = 6x − 9. Wzór jest w karcie wzorów.
1) Oznacz zmienną i zapisz jej dziedzinę. 2) Wyraź badaną wielkość jako funkcję jednej zmiennej. 3) Oblicz pochodną i jej miejsca zerowe. 4) Zbadaj znak pochodnej, żeby uzasadnić, że to wartość największa lub najmniejsza. 5) Zapisz odpowiedź (XIII, pkt 6).
Typowe błędy
Typowe błędy rachunkowe i poprawne przekształcenie obok każdego z nich.
(x²)' = x
(x²)' = 2x
Dlaczego: Wzór (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ wymaga pomnożenia przez wykładnik: (x²)' = 2x, (x³)' = 3x², (x¹⁰)' = 10x⁹.
(f·g)' = f'·g'
(f·g)' = f'·g + f·g'
Dlaczego: Pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych. Sprawdzenie: (x·x)' = (x²)' = 2x, a iloczyn pochodnych to 1·1 = 1.
((2x + 1)³)' = 3(2x + 1)²
((2x + 1)³)' = 3(2x + 1)²·2 = 6(2x + 1)²
Dlaczego: W pochodnej funkcji złożonej mnoży się jeszcze przez pochodną funkcji wewnętrznej; tutaj (2x + 1)' = 2.
Jeśli f'(x₀) = 0, to funkcja ma w x₀ ekstremum
Ekstremum jest tam, gdzie pochodna zmienia znak; samo f'(x₀) = 0 nie wystarcza
Dlaczego: Dla f(x) = x³ mamy f'(x) = 3x² i f'(0) = 0, ale pochodna jest dodatnia po obu stronach zera, więc funkcja jest rosnąca i nie ma ekstremum.
(f/g)' = (f·g' − f'·g)/g²
(f/g)' = (f'·g − f·g')/g²
Dlaczego: W liczniku pierwsza jest pochodna licznika razy mianownik. Odwrócenie kolejności zmienia znak wyniku.
Granica (x + 1)/x przy x → +∞ jest równa 0
Granica jest równa 1, bo (x + 1)/x = 1 + 1/x
Dlaczego: Po podzieleniu licznika i mianownika przez x zostaje 1 + 1/x; do zera dąży tylko składnik 1/x.
W zadaniu optymalizacyjnym wystarczy rozwiązać równanie f'(x) = 0
Trzeba jeszcze uzasadnić, że w znalezionym punkcie funkcja przyjmuje wartość największą lub najmniejszą w swojej dziedzinie
Dlaczego: Zbadaj znak pochodnej w całej dziedzinie zmiennej, która wynika z treści zadania. Informator CKE wymaga pełnego toku rozumowania.
Do zapamiętania
Bez tych nie ma o czym mówić.
Przykłady z bazy
Poniżej 4 prawdziwych zadań z bazy — każde innego typu.
Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie
Pochodna funkcji wynosi 1.
P FPochodna funkcji stałej wynosi 0.
P FPochodna funkcji wynosi .
P FPochodna sumy funkcji jest sumą pochodnych.
P FJak się uczyć
Kroki w kolejności, w jakiej naprawdę warto je wykonać.
Zacznij od pochodnej funkcji potęgowej i wielomianów; to podstawa wszystkich dalszych rachunków.
Przed różniczkowaniem zapisz pierwiastki i ułamki jako potęgi: √x = x1/2, 1/x² = x⁻².
W funkcji złożonej nazwij funkcję wewnętrzną i zewnętrzną, a wynik pomnóż przez pochodną wewnętrznej.
Monotoniczność: wyznacz miejsca zerowe pochodnej, podziel dziedzinę na przedziały i ustal znak pochodnej w każdym z nich.
Styczna: oblicz f(x₀) i f'(x₀), a potem wstaw do wzoru z karty.
Optymalizacja: zacznij od rysunku i dziedziny zmiennej; na końcu uzasadnij, że znaleziona wartość jest największa albo najmniejsza.
FAQ
Wiedza z działu „Rachunek różniczkowy” przyda Ci się też tutaj:
107 zadań z tego działu w quizie z wyjaśnieniami, powtórkami i oceną AI krok po kroku. Subskrypcja odblokowuje cały katalog i pozostałe przedmioty — anulujesz, kiedy chcesz.
Pełny dostęp od 49 zł/mies. · jednorazowo 59 zł na 30 dni (BLIK / Przelewy24 / Google Pay / Apple Pay / Revolut / Karta) · subskrypcję anulujesz w 1 kliknięciu
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane przypomnienia o nauce).
