📐 MatematykaPP+PR

Kombinatoryka — zadania maturalne

Kombinatoryka na maturze: reguła mnożenia i dodawania na poziomie podstawowym, a na rozszerzonym permutacje, wariacje, kombinacje i symbol Newtona.

Zacznij ćwiczyć: Kombinatoryka → Jak działa quiz ↓

Konto zakładasz w minutę · pełny dostęp od 49 zł/mies.

Sprawdzian z kombinatoryki z odpowiedziami →

zadań w katalogu: 101; zadań w katalogu
typów zadań: 9; typów zadań

Quiz w Matury Online — pytanie z tematu „Kombinatoryka” (Matematyka) po sprawdzeniu odpowiedzi, z wynikiem i wyjaśnieniem

Quiz w aplikacji Matury Online — pytanie z tematu „Kombinatoryka” i wyjaśnienie po odpowiedzi

Quiz · Kombinatoryka

„Kombinatoryka” w Quizie — jak ćwiczysz

101 pytań z tego działu w jednym miejscu. Wybierasz je filtrem, po każdej odpowiedzi widzisz wyjaśnienie, a quiz sam dobiera trudność i wraca do Twoich błędów.

Quiz w Matury Online — panel „Filtruj” z zaznaczonym tematem „Kombinatoryka”, typy zadań i trudność 1–5, pod spodem pytanie z tego tematu

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wybierasz dział, typ zadania — np. zamknięte, obliczenia, dowód — i trudność 1–5. Przy każdej opcji widzisz, ile pytań zostaje w puli.
Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Od razu wiesz, czy dobrze — i dlaczego. Zadania otwarte ocenia AI według zasad oceniania CKE, z punktacją częściową.
Powtórki pytań, na których się mylisz

Pytanie z błędem wraca po kilku dniach z plakietką „Powtórka”. Powtórki zajmują najwyżej 30% sesji; wyłączasz je jednym przełącznikiem.
Trudność dobiera się do Ciebie

Quiz liczy Twój poziom z ostatnich odpowiedzi i podsuwa pytania, przy których trafiasz ok. 70% — nie za łatwe, nie za trudne.

9 typów zadań — Kombinatoryka

z 19 typów w całym quizie · liczba pytań · filtr „Typ” w quizie

Zamknięte (A–D) 29
Otwarte 27
Wielokrotny wybór 15
Dopasuj 9
Prawda/Fałsz 7
Tabela danych 5
Uzupełnij 4
Obliczenia 3
Wykres 2

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Zaznaczasz odpowiedź, klikasz „Sprawdź” i widzisz, która była poprawna i dlaczego. Możesz też odsłonić odpowiedź bez rozwiązywania albo pominąć pytanie.

Wypróbuj bez logowania

Kilka pytań z bazy z działu „Kombinatoryka” — kliknij odpowiedź i sprawdź.

Ćwicz dział „Kombinatoryka” w Quizie → darmowe konto: 5 pytań dziennie · bez dziennego limitu od 49 zł/mies.

Wprowadzenie

Kombinatoryka na maturze

Zakres podstawowy działu XI to dwa wymagania: zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych oraz stosowanie reguły mnożenia i reguły dodawania, także łącznie, dla dowolnej liczby czynności.

Podstawa programowa podaje przykład: ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich, w których zapisie występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2. Wzory na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji oraz symbol Newtona i jego własności to wymagania zakresu rozszerzonego. Wszystkie te wzory są w karcie wzorów.

W każdym zadaniu trzeba ustalić dwie rzeczy: czy kolejność wybieranych elementów ma znaczenie i czy elementy mogą się powtarzać.

Przed maturą

Powtórka z kombinatoryki krok po kroku

1

Odśwież wzory

Zacznij od: Reguła mnożenia: dwie kolejne czynności, Silnia, Liczba permutacji n elementów i 7 kolejnych pozycji.
Pełna lista
2

Sprawdź, co umiesz

9 umiejętności do odhaczenia, od „Reguła mnożenia” po „Liczenie liczb naturalnych z warunkami”.
Lista umiejętności
3

Uważaj na typowe błędy

7 pułapek, np. „C(n,k) i V(n,k) to to samo”. Przy każdej jest poprawna wersja i wyjaśnienie.
Typowe błędy
4

Sprawdź się

Najpierw krótki quiz, potem pełny sprawdzian z całego zakresu.

Quiz z kombinatoryki Sprawdzian z kombinatoryki Rozwiąż zadania z bazy

Zakres materiału

Kombinatoryka — co musisz umieć

Wymagania szczegółowe podstawy programowej z matematyki: dział XI „Kombinatoryka”, pkt 1–2 w zakresie podstawowym i pkt 1–2 w zakresie rozszerzonym (Dz.U. 2024 poz. 1019).

1
Reguła mnożenia
Jeśli pierwszą czynność można wykonać na m sposobów, a drugą, niezależnie od wyniku pierwszej, na n sposobów, to obie po kolei można wykonać na m·n sposobów. Przykład: 3 zupy · 5 dań · 4 desery = 60 zestawów (XI.2, zakres podstawowy).
2
Permutacje — n! (poziom rozszerzony)
Liczba ustawień n różnych elementów w rzędzie = n! (silnia). 5! = 120, 4! = 24, 3! = 6, 2! = 2, 1! = 1, 0! = 1. Przykład: ile sposobów ustawienia 8 osób w kolejce? 8! = 40 320.
3
Wariacje bez powtórzeń V(n,k) (poziom rozszerzony)
Wybór k różnych elementów z n, kolejność ważna. V(n,k) = n·(n−1)·...·(n−k+1) = n!/(n−k)!. Klasyk: wybór prezesa, wiceprezesa, sekretarza z 8 osób = V(8,3) = 8·7·6 = 336.
4
Kombinacje C(n,k) — symbol Newtona (poziom rozszerzony)
Wybór k elementów z n, kolejność nieważna. C(n,k) = n!/(k!(n−k)!). C(5,2) = 10, C(7,3) = 35. Klasyk: ile sposobów wyboru 3-osobowej delegacji z 10 osób? C(10,3) = 120.
5
Wariacje z powtórzeniami — nᵏ (poziom rozszerzony)
Wybór k elementów z n, kolejność ważna, powtórzenia dozwolone. Liczba = nᵏ. Przykład: czterocyfrowy PIN z cyfr 0–9 to 10⁴ = 10 000 możliwości; ten sam wynik daje reguła mnożenia.
6
Reguła dodawania
Gdy możliwości dzielą się na rozłączne przypadki, liczby sposobów z poszczególnych przypadków się dodaje. Często łączy się ją z regułą mnożenia: w każdym przypadku liczy się iloczyn, a potem sumuje przypadki (XI.2, zakres podstawowy).

Pokaż pozostałe 3

7
Dwumian Newtona (PR)
(a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Współczynnik przy konkretnym wyrazie xᵏ w rozwinięciu. Klasyczne pytanie: „współczynnik przy x³ w (2x+1)⁵” = C(5,3)·2³ = 80.
8
Zadania z warunkami: „co najmniej”, „co najwyżej”
Strategia dopełnienia: liczyć wszystkie układy minus te niespełniające warunku. „Co najmniej 1 dziewczyna w 3-os. zespole z 4 chł. i 3 dziew.” = C(7,3) − C(4,3) = 35 − 4 = 31.
9
Liczenie liczb naturalnych z warunkami
Standardowe schematy: 3-cyfrowe parzyste z różnych cyfr, dzielne przez 5, bez zera na początku. Klucz: zacznij od ograniczeń (np. ostatnia cyfra parzysta), a resztę dolicz regułą mnożenia.

Typowe błędy

Tu łatwo stracić punkty

Typowe błędy rachunkowe i poprawne przekształcenie obok każdego z nich.

✗ Błąd

C(n,k) i V(n,k) to to samo

✓ Poprawnie

C(n,k) = kombinacje (kolejność nieważna), V(n,k) = wariacje (kolejność ważna)

Dlaczego: Klasyczna pułapka. Wybór 3 osób do Komisji (bez ról) = C(10,3). Wybór 3 osób na prezesa, wiceprezesa, sekretarza = V(10,3) = 6·C(10,3). Różnica 6× (czyli 3!) wynika z liczby przestawień 3 osób.

✗ Błąd

Anagramy słowa abba to 4! = 24

✓ Poprawnie

Anagramy słowa abba to 4!/(2!·2!) = 6

Dlaczego: Litera A powtarza się 2 razy, litera B też 2 razy. Każde z 4! ustawień jest liczone wielokrotnie — dla każdej zamiany pozycji dwóch A i dwóch B. Trzeba podzielić przez 2!·2! = 4.

✗ Błąd

C(n,n−k) ≠ C(n,k)

✓ Poprawnie

C(n,n−k) = C(n,k) (symetria symbolu Newtona)

Dlaczego: C(7,2) = C(7,5) = 21. Wybór 2 osób z 7 = wybór 5, których nie wybieramy. Trzymaj się mniejszej liczby — łatwiej liczyć: C(10,7) = C(10,3) = 120 (znacznie szybciej).

✗ Błąd

10! liczę jako 10·10·10·...·10 (10 razy)

✓ Poprawnie

10! liczę jako 10·9·8·7·6·5·4·3·2·1 = 3 628 800

Dlaczego: Silnia to malejący iloczyn od n do 1. 10·10·10·... = 10¹⁰ to wariacje z powtórzeniami, nie silnia. Sprawdzaj: 5! = 120, nie 5⁵ = 3125.

Pokaż pozostałe 3

✗ Błąd

Liczba 3-cyfrowych liczb z cyfr {0,1,2,3,4} = 5³ = 125

✓ Poprawnie

Liczba 3-cyfrowych liczb z cyfr {0,1,2,3,4} (z powtórzeniami) = 4·5·5 = 100

Dlaczego: Pierwsza cyfra nie może być zerem (bo wtedy nie jest 3-cyfrowa, np. 023 = 23 to liczba 2-cyfrowa). Pierwsza cyfra: 4 opcje (1,2,3,4), pozostałe: 5 opcji każda.

✗ Błąd

Liczb dwucyfrowych o różnych cyfrach jest 10·9 = 90

✓ Poprawnie

Jest ich 9·9 = 81

Dlaczego: Cyfra dziesiątek nie może być zerem (9 możliwości), a cyfra jedności musi być inna niż cyfra dziesiątek (9 możliwości, bo zero jest już dozwolone).

✗ Błąd

Wybór 3 elementów z 10 z powtórzeniami = 10·9·8 = 720

✓ Poprawnie

Wybór 3 elementów z 10 z powtórzeniami i kolejnością = 10³ = 1000

Dlaczego: 10·9·8 to wariacja bez powtórzeń. Jeśli powtórzenia są dozwolone (np. cyfry w PIN), każda pozycja ma niezależnie 10 opcji = nᵏ.

Do zapamiętania

Wzory i własności do powtórzenia

Bez tych nie ma o czym mówić.

m·n: Reguła mnożenia: dwie kolejne czynności; brak w karcie wzorów CKE
n! = 1·2·…·n, 0! = 1: Silnia; w karcie wzorów CKE
n!: Liczba permutacji n elementów; poziom rozszerzony; w karcie wzorów CKE
n!/(n−k)!: Liczba wariacji bez powtórzeń; poziom rozszerzony; w karcie wzorów CKE
nᵏ: Liczba wariacji z powtórzeniami; poziom rozszerzony; w karcie wzorów CKE
C(n,k) = n!/(k!(n−k)!): Liczba kombinacji (symbol Newtona); poziom rozszerzony; w karcie wzorów CKE
C(n,k) = C(n,n−k): Symetria symbolu Newtona; poziom rozszerzony; w karcie wzorów CKE
C(n,0) = C(n,n) = 1, C(n,1) = n: Wartości brzegowe symbolu Newtona; poziom rozszerzony; w karcie wzorów CKE
C(n,k) + C(n,k+1) = C(n+1,k+1): Własność trójkąta Pascala; poziom rozszerzony; w karcie wzorów CKE
(a+b)ⁿ = Σ C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ: Wzór dwumianowy Newtona; poziom rozszerzony; w karcie wzorów CKE

Przykłady z bazy

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Kombinatoryka”

Poniżej 5 prawdziwych zadań z bazy — każde innego typu.

🎲 Kombinatoryka ◉ Zamknięte (A–D) ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie Autorskie · PP 1 pkt

Ile różnych czterocyfrowych kodów PIN można utworzyć z cyfr $0, 1, 2, 3$ tak, aby każda cyfra wystąpiła dokładnie raz, a kod nie zaczynał się od zera?

24

6

12

18

Rozwiąż na platformie →

🎲 Kombinatoryka ✎ Otwarte ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie 🤖 Ocena AI Autorskie · PP 2 pkt

Ile jest liczb czterocyfrowych, w których zapisie występują wyłącznie cyfry parzyste i żadna cyfra się nie powtarza? Zapisz obliczenia.

Rozwiąż samodzielnie — AI sprawdzi krok po kroku →

🎲 Kombinatoryka ⚖ Prawda/Fałsz ⚫⚫⚪⚪⚪ Łatwe Autorskie · PP 1 pkt

Ze zbioru ${1, 2, 3, 4, 5}$ losujemy jedną liczbę. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

Prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej wynosi $\frac{3}{5}$ .

P F

Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez $3$ wynosi $\frac{1}{5}$ .

P F

Prawdopodobieństwo wylosowania liczby większej niż $5$ wynosi $\frac{1}{5}$ .

P F

Rozwiąż na platformie →

🎲 Kombinatoryka ☑ Wielokrotny wybór ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie Autorskie · PP 1 pkt

Na ile sposobów można wybrać 3 osoby z grupy 10? Które zapisy podają poprawną liczbę?

120

(7 10)

10 \cdot 9 \cdot 8

(3 10)

30

Rozwiąż na platformie →

🎲 Kombinatoryka ⎵ Uzupełnij ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie 🤖 Ocena AI Autorskie · PP 1 pkt

Liczba różnych układów liter (anagramów) słowa MAMA wynosi ......... .

Luka

Rozwiąż samodzielnie — AI sprawdzi krok po kroku →

Jak się uczyć

Strategia opanowania działu

Kroki w kolejności, w jakiej naprawdę warto je wykonać.

1
Na poziomie podstawowym wystarczą reguła mnożenia i reguła dodawania: rozpisz zadanie na kolejne wybory i policz, ile jest możliwości w każdym z nich.
2
Na poziomie rozszerzonym zadaj sobie dwa pytania: czy kolejność jest ważna i czy elementy mogą się powtarzać. Kolejność ważna, bez powtórzeń → V(n,k). Kolejność nieważna → C(n,k). Kolejność ważna, z powtórzeniami → nᵏ.
3
Dla zadań typu „co najmniej X” lub „co najwyżej X” używaj metody dopełnienia: wszystkie układy minus niespełniające warunku. Często prostsze niż liczenie wprost.
4
Liczby z cyfr: zawsze zacznij od cyfr z ograniczeniami (pierwsza ≠ 0, ostatnia parzysta dla parzystych, ostatnia ∈ {0,5} dla podzielnych przez 5). Resztę dolicz potem.
5
Anagramy z powtórzeniami: licz powtórzenia każdej litery i dziel n! przez iloczyn silni krotności. Sprawdź podając jeden anagram — czy ma tyle samo każdej litery co oryginał.
6
Reguła mnożenia działa dla niezależnych wyborów. Jeśli wybory są powiązane (np. „musi być cyfra parzysta i podzielna przez 3”), trzeba liczyć ostrożniej, czasem przez przypadki.
7
Dla zadań typu „X osób w rzędzie, ale dwie konkretne obok siebie” — traktuj parę jako 1 obiekt (klejenie), policz permutacje „klejonych” obiektów, potem pomnóż przez 2! za zamianę w parze.
8
Poziom rozszerzony: wzór dwumianowy Newtona jest w karcie wzorów; ćwicz zadania typu „współczynnik przy xᵏ w (ax+b)ⁿ”. Standardowy algorytm: znajdź k w wzorze C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ tak, by wykładnik x pasował.

FAQ

FAQ — Kombinatoryka

Ile zadań z kombinatoryki jest na maturze?

CKE nie podaje podziału punktów na działy. Informator CKE określa cały arkusz: na poziomie podstawowym 180 minut i 50 punktów, z czego połowa za zadania zamknięte i połowa za otwarte; na poziomie rozszerzonym 180 minut, 50 punktów i wyłącznie zadania otwarte. Zadania z tego działu bywają też etapem zadań z innych działów.

Jak rozpoznać czy użyć C(n,k) czy V(n,k)?

Test: „Czy zamiana dwóch wybranych elementów miejscami daje inny wynik?”. Jeśli tak (np. wybór prezesa i wiceprezesa — Jan-Anna ≠ Anna-Jan) → wariacja V(n,k). Jeśli nie (np. wybór delegacji 2 osób — Jan i Anna = Anna i Jan) → kombinacja C(n,k). Wariacje są zawsze większe lub równe kombinacjom.

Co robić gdy zadanie ma kilka warunków na raz?

Strategia: rozłóż zadanie na niezależne wybory i użyj reguły mnożenia. Np. „5-literowe słowa z liter A, B, C, D, w których A występuje dokładnie 2 razy” → 1) Wybierz 2 z 5 miejsc na A: C(5,2) = 10. 2) Wypełnij pozostałe 3 miejsca literami BCD: 3³ = 27. Razem 10·27 = 270. Każdy warunek = osobny krok mnożenia.

Jak liczyć „ile jest liczb 3-cyfrowych spełniających...”?

Schemat: 3 pozycje (setki, dziesiątki, jednostki). Najpierw narzuć ograniczenia: setki ≠ 0, jeśli parzyste → jednostki ∈ {0,2,4,6,8}, jeśli podzielne przez 5 → jednostki ∈ {0,5}, jeśli bez powtórzeń → każda następna cyfra z mniejszej puli. Mnóż liczby możliwości każdej pozycji. Przykład: liczb trzycyfrowych parzystych o różnych cyfrach ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6} jest 3·5·4 = 60 (cyfra jedności na 3 sposoby, potem cyfra setek na 5 i cyfra dziesiątek na 4).

Czy muszę umieć dwumian Newtona na PP?

Nie. Wzory na (a + b)ⁿ i (a − b)ⁿ oraz symbol Newtona to wymagania zakresu rozszerzonego. W zakresie podstawowym podstawa programowa wymaga zliczania obiektów regułą mnożenia i regułą dodawania; wzory na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji także należą do zakresu rozszerzonego.

Jak zrobić powtórkę z kombinatoryki przed maturą?

Sprawdza się taka kolejność. 1) Na poziomie podstawowym wystarczą reguła mnożenia i reguła dodawania: rozpisz zadanie na kolejne wybory i policz, ile jest możliwości w każdym z nich. 2) Na poziomie rozszerzonym zadaj sobie dwa pytania: czy kolejność jest ważna i czy elementy mogą się powtarzać. 3) Dla zadań typu „co najmniej X” lub „co najwyżej X” używaj metody dopełnienia: wszystkie układy minus niespełniające warunku. Na koniec sprawdź się w quizie z kombinatoryki, a potem w pełnym sprawdzianie.

Kombinatoryka — zadania maturalne

„Kombinatoryka” w Quizie — jak ćwiczysz

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Powtórki pytań, na których się mylisz

Trudność dobiera się do Ciebie

9 typów zadań — Kombinatoryka

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Wypróbuj bez logowania

Kombinatoryka na maturze

Powtórka z kombinatoryki krok po kroku

Odśwież wzory

Sprawdź, co umiesz

Uważaj na typowe błędy

Sprawdź się

Kombinatoryka — co musisz umieć

Reguła mnożenia

Permutacje — n! (poziom rozszerzony)

Wariacje bez powtórzeń V(n,k) (poziom rozszerzony)

Kombinacje C(n,k) — symbol Newtona (poziom rozszerzony)

Wariacje z powtórzeniami — nᵏ (poziom rozszerzony)

Reguła dodawania

Dwumian Newtona (PR)

Zadania z warunkami: „co najmniej”, „co najwyżej”

Liczenie liczb naturalnych z warunkami

Tu łatwo stracić punkty

Wzory i własności do powtórzenia

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Kombinatoryka”

Ile różnych czterocyfrowych kodów PIN można utworzyć z cyfr $0, 1, 2, 3$ tak, aby każda cyfra wystąpiła dokładnie raz, a kod nie zaczynał się od zera?

Ile jest liczb czterocyfrowych, w których zapisie występują wyłącznie cyfry parzyste i żadna cyfra się nie powtarza? Zapisz obliczenia.

Ze zbioru ${1, 2, 3, 4, 5}$ losujemy jedną liczbę. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

Na ile sposobów można wybrać 3 osoby z grupy 10? Które zapisy podają poprawną liczbę?

Liczba różnych układów liter (anagramów) słowa MAMA wynosi ......... .

Strategia opanowania działu

FAQ — Kombinatoryka

Powiązane działy

Kombinatoryka do matury 2027

Kombinatoryka — zadania maturalne

„Kombinatoryka” w Quizie — jak ćwiczysz

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Powtórki pytań, na których się mylisz

Trudność dobiera się do Ciebie

9 typów zadań — Kombinatoryka

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Wypróbuj bez logowania

Kombinatoryka na maturze

Powtórka z kombinatoryki krok po kroku

Odśwież wzory

Sprawdź, co umiesz

Uważaj na typowe błędy

Sprawdź się

Kombinatoryka — co musisz umieć

Reguła mnożenia

Permutacje — n! (poziom rozszerzony)

Wariacje bez powtórzeń V(n,k) (poziom rozszerzony)

Kombinacje C(n,k) — symbol Newtona (poziom rozszerzony)

Wariacje z powtórzeniami — nᵏ (poziom rozszerzony)

Reguła dodawania

Dwumian Newtona (PR)

Zadania z warunkami: „co najmniej”, „co najwyżej”

Liczenie liczb naturalnych z warunkami

Tu łatwo stracić punkty

Wzory i własności do powtórzenia

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Kombinatoryka”

Ile różnych czterocyfrowych kodów PIN można utworzyć z cyfr 0,1,2,3 tak, aby każda cyfra wystąpiła dokładnie raz, a kod nie zaczynał się od zera?

Ile jest liczb czterocyfrowych, w których zapisie występują wyłącznie cyfry parzyste i żadna cyfra się nie powtarza? Zapisz obliczenia.

Ze zbioru {1,2,3,4,5} losujemy jedną liczbę. Oceń prawdziwość stwierdzeń:

Na ile sposobów można wybrać 3 osoby z grupy 10? Które zapisy podają poprawną liczbę?

Liczba różnych układów liter (anagramów) słowa MAMA wynosi ......... .

Strategia opanowania działu

FAQ — Kombinatoryka

Powiązane działy

Kombinatoryka do matury 2027

Ile różnych czterocyfrowych kodów PIN można utworzyć z cyfr $0, 1, 2, 3$ tak, aby każda cyfra wystąpiła dokładnie raz, a kod nie zaczynał się od zera?

Ze zbioru ${1, 2, 3, 4, 5}$ losujemy jedną liczbę. Oceń prawdziwość stwierdzeń: