Prawdopodobieństwo i statystyka na maturze: model klasyczny, średnia arytmetyczna i ważona, mediana i dominanta, a na poziomie rozszerzonym prawdopodobieństwo warunkowe, wzór Bayesa i schemat Bernoullego.
Konto zakładasz w minutę · pełny dostęp od 49 zł/mies.
Sprawdzian z prawdopodobieństwa i statystyki z odpowiedziami →
Quiz · Prawdopodobieństwo i statystyka
114 pytań z tego działu w jednym miejscu. Wybierasz je filtrem, po każdej odpowiedzi widzisz wyjaśnienie, a quiz sam dobiera trudność i wraca do Twoich błędów.
Wybierasz dział, typ zadania — np. zamknięte, obliczenia, dowód — i trudność 1–5. Przy każdej opcji widzisz, ile pytań zostaje w puli.
Od razu wiesz, czy dobrze — i dlaczego. Zadania otwarte ocenia AI według zasad oceniania CKE, z punktacją częściową.
Pytanie z błędem wraca po kilku dniach z plakietką „Powtórka”. Powtórki zajmują najwyżej 30% sesji; wyłączasz je jednym przełącznikiem.
Quiz liczy Twój poziom z ostatnich odpowiedzi i podsuwa pytania, przy których trafiasz ok. 70% — nie za łatwe, nie za trudne.
Zaznaczasz odpowiedź, klikasz „Sprawdź” i widzisz, która była poprawna i dlaczego. Możesz też odsłonić odpowiedź bez rozwiązywania albo pominąć pytanie.
Kilka pytań z bazy z działu „Prawdopodobieństwo i statystyka” — kliknij odpowiedź i sprawdź.
Wprowadzenie
Zakres podstawowy działu XII to dwa wymagania: obliczanie prawdopodobieństwa w modelu klasycznym oraz obliczanie średniej arytmetycznej i średniej ważonej, znajdowanie mediany i dominanty. Zakres rozszerzony dodaje prawdopodobieństwo warunkowe, twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym i wzór Bayesa oraz schemat Bernoullego.
Wariancji, odchylenia standardowego ani wartości oczekiwanej podstawa programowa (Dz.U. 2024 poz. 1019) nie wymienia, choć wzory na nie są w karcie wzorów. W modelu klasycznym liczy się zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu i wszystkie możliwe, a potem dzieli jedną liczbę przez drugą; do zliczania służy kombinatoryka.
Przed maturą
Zacznij od: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, Własność prawdopodobieństwa, Zdarzenie przeciwne i 9 kolejnych pozycji.
Pełna lista10 umiejętności do odhaczenia, od „Klasyczna definicja prawdopodobieństwa” po „Tabele i wykresy danych”.
Lista umiejętności8 pułapek, np. „P(suma 2 kostek = 7) = 1/12 (bo jest 12 możliwych sum)”. Przy każdej jest poprawna wersja i wyjaśnienie.
Typowe błędyNajpierw krótki quiz, potem pełny sprawdzian z całego zakresu.
Zakres materiału
Wymagania szczegółowe podstawy programowej z matematyki: dział XII „Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka”, pkt 1–2 w zakresie podstawowym i pkt 1–2 w zakresie rozszerzonym (Dz.U. 2024 poz. 1019).
P(A) = |A|/|Ω|, gdzie |Ω| to liczba wszystkich zdarzeń elementarnych, |A| to liczba zdarzeń sprzyjających A. Warunek: wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne (XII.1).
Ω = zbiór wszystkich możliwych wyników. Klasycznie: rzut kostką |Ω|=6, dwie kostki |Ω|=36, 3 monety |Ω|=8. Zdarzenie A ⊂ Ω. Identyfikacja Ω to klucz do całego zadania.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Dla zdarzeń rozłącznych (A ∩ B = ∅): P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Dopełnienie: P(A') = 1 − P(A).
Zdarzenia A i B są niezależne, gdy P(A ∩ B) = P(A) · P(B), np. wyniki dwóch rzutów kostką. Podstawa programowa nie wymienia tego pojęcia osobno; pojawia się w schemacie Bernoullego jako niezależne powtórzenia próby (poziom rozszerzony).
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) dla P(B) > 0 — prawdopodobieństwo A pod warunkiem, że zaszło B. Do tego twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym i wzór Bayesa; wszystkie trzy wzory są w karcie wzorów (XII, zakres rozszerzony, pkt 1).
Prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów w n niezależnych próbach: Pₙ(k) = C(n,k)·pᵏ·qⁿ⁻ᵏ, gdzie q = 1 − p. Przykład: cztery rzuty kostką, dokładnie jedna szóstka: C(4,1)·(1/6)·(5/6)³ = 125/324 (XII, zakres rozszerzony, pkt 2).
Średnia ważona liczb a₁, …, aₙ z dodatnimi wagami w₁, …, wₙ to (w₁a₁ + … + wₙaₙ)/(w₁ + … + wₙ). Przykład: ocena 5 z wagą 3 i ocena 3 z wagą 1 dają (15 + 3)/4 = 4,5 (XII.2).
Średnia = suma/liczba. Mediana = środkowa wartość po uporządkowaniu danych (przy parzystej liczbie danych — średnia dwóch środkowych). Mediana jest mniej wrażliwa na wartości skrajne niż średnia (XII.2).
Dominanta to wartość występująca najczęściej (może być więcej niż jedna) — zakres podstawowy (XII.2). Wariancja, czyli średnia kwadratów odchyleń od średniej, i odchylenie standardowe σ = √σ² są w karcie wzorów, ale podstawa programowa ich nie wymienia.
Wykres słupkowy, kołowy, częstość, częstość względna. Czytanie procentów z wykresu kołowego: kąt środkowy/360° = procent. Wyliczanie liczb z procentów: % · ogół.
Typowe błędy
Typowe błędy rachunkowe i poprawne przekształcenie obok każdego z nich.
P(suma 2 kostek = 7) = 1/12 (bo jest 12 możliwych sum)
P(suma 2 kostek = 7) = 6/36 = 1/6
Dlaczego: Przestrzeń Ω to pary rzutów, nie sumy. |Ω| = 36 (6×6), nie 12. Sumy nie są jednakowo prawdopodobne — suma 7 ma 6 par, suma 2 tylko 1, suma 12 też tylko 1. Definicja klasyczna wymaga jednakowo prawdopodobnych zdarzeń elementarnych.
Średnia ocen równa medianie
Średnia ocen może być różna od mediany
Dlaczego: Średnia uwzględnia wartości skrajne (jeden bardzo wysoki wynik podnosi średnią). Mediana ich ignoruje. Klasyk: pensje 3000, 3000, 3000, 3000, 50000 — średnia 12 400 zł, mediana 3000 zł. Mediana lepiej oddaje „typową” wartość.
P(A i B) = P(A) + P(B)
P(A i B) = P(A ∩ B). Dla zdarzeń niezależnych = P(A) · P(B). Suma P(A) + P(B) to P(A ∪ B)
Dlaczego: Mieszanie „i” z „lub”. „A i B oba zachodzą” = przecięcie (mnóż przy niezależnych). „A lub B (lub oba)” = suma.
P(co najmniej 1 sukces w n próbach) = n · P(sukces)
P(co najmniej 1 sukces) = 1 − P(0 sukcesów) = 1 − (1−p)ⁿ
Dlaczego: Liczenie wprost wymagałoby sumowania P(dokładnie 1) + P(dokładnie 2) + ... + P(dokładnie n) — żmudne. Dopełnienie: licz P(0 sukcesów) i odejmij od 1. To standardowa technika rozwiązywania zadań typu „co najmniej”.
Dominanta to środkowa wartość
Dominanta to najczęściej występująca wartość (modalna). Środkowa = mediana
Dlaczego: Trzy różne miary: średnia (suma/liczba), mediana (środkowa), dominanta (najczęstsza). Każda może być inną liczbą. Sprawdzaj definicje przed podstawieniem.
Wariancja zbioru {2, 4, 6} = (2+4+6)/3 = 4
Wariancja zbioru {2, 4, 6} = ((2−4)² + 0 + (6−4)²)/3 = 8/3 ≈ 2,67
Dlaczego: 4 to średnia, nie wariancja. Wariancja mierzy „rozrzut” wokół średniej: liczysz średnią, potem średnią kwadratów odchyleń od średniej. Wzór jest w karcie wzorów; podstawa programowa wariancji nie wymaga.
Rzuty monetą są zależne — jeśli wypadł orzeł, drugi rzut „musi” wypaść reszka
Rzuty monetą są niezależne — każdy rzut ma P(orzeł) = 1/2 niezależnie od poprzednich
Dlaczego: Klasyczna pomyłka „intuicyjna”. Moneta nie pamięta poprzednich rzutów. Złudzenie hazardzisty — myślenie, że po 5 orzeł musi być reszka. Każdy rzut to niezależny eksperyment.
P(losowy uczeń ma okulary i jest dziewczyną) = P(okulary) + P(dziewczyna)
P(okulary i dziewczyna) = P(okulary ∩ dziewczyna), liczone z konkretnych danych
Dlaczego: Suma daje P(okulary lub dziewczyna). Iloczyn zdarzeń niezależnych to mnożenie. Ale tu zdarzenia mogą nie być niezależne — trzeba liczyć bezpośrednio: ile dziewczyn nosi okulary / wszystkich uczniów.
Do zapamiętania
Bez tych nie ma o czym mówić.
Przykłady z bazy
Poniżej 5 prawdziwych zadań z bazy — każde innego typu.
Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek większej niż 4 jest równe .
P FPrawdopodobieństwo wyrzucenia liczby oczek podzielnej przez 3 jest równe .
P FJeśli , to .
P FPrawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek jest równe .
P F| Liczba rodzeństwa | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| Liczba uczniów | 6 | 9 | 12 | 3 |
Ilu uczniów liczy ta klasa?
Jaka jest średnia liczba rodzeństwa?
Ilu uczniów ma co najmniej dwoje rodzeństwa?
Podaj dominantę liczby rodzeństwa.
Jak się uczyć
Kroki w kolejności, w jakiej naprawdę warto je wykonać.
Krok 1: zidentyfikuj |Ω| i |A|. Dla klasycznego prawdopodobieństwa to najważniejszy krok. Sprawdź czy wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.
Dla zadań typu „co najmniej”: używaj dopełnienia. P(co najmniej 1) = 1 − P(0). Szybsze i pewniejsze niż sumowanie wielu przypadków.
Dla zadań z „i” sprawdź czy zdarzenia są niezależne. Jeśli tak: mnóż. Jeśli zależne (np. losowanie bez zwracania): licz krok po kroku, używając P(B|A) = P(A∩B)/P(A).
Schemat Bernoullego (poziom rozszerzony): wzór C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ jest w karcie wzorów; policz najpierw C(n,k), potem potęgi, na końcu pomnóż.
Statystyka: rozpoznaj typ pytania. Średnia → sumuj wszystkie i dziel. Mediana → sortuj i bierz środek. Dominanta → znajdź największą częstość. Rozstęp → max − min.
Tabele i wykresy: każdy procent na wykresie kołowym = kąt środkowy. 100% = 360°, więc 25% = 90°. Wykres słupkowy: czytaj wysokości słupków jako wartości.
Średnia ważona: pomnóż każdą wartość przez jej wagę, zsumuj i podziel przez sumę wag, a nie przez liczbę wartości.
FAQ
Wiedza z działu „Prawdopodobieństwo i statystyka” przyda Ci się też tutaj:
114 zadań z tego działu w quizie z wyjaśnieniami, powtórkami i oceną AI krok po kroku. Subskrypcja odblokowuje cały katalog i pozostałe przedmioty — anulujesz, kiedy chcesz.
Pełny dostęp od 49 zł/mies. · jednorazowo 59 zł na 30 dni (BLIK / Przelewy24 / Google Pay / Apple Pay / Revolut / Karta) · subskrypcję anulujesz w 1 kliknięciu
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane przypomnienia o nauce).
