📏
📐 Matematyka PP+PR 🎯 6–12 pkt na maturze

Planimetria

Trójkąty, czworokąty, okręgi i wielokąty. Pola, obwody, własności kątów, podobieństwo i twierdzenie Pitagorasa.

Planimetria to geometria płaska — wszystko co się dzieje w 2D na kartce. Na maturze pojawia się w 4-6 zadaniach: trójkąty (równoboczny, równoramienny, prostokątny, dowolny), czworokąty (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez, deltoid) i okręgi (pole, obwód, wycinek, pierścień, kąty wpisane i środkowe). Wzory na pola większości figur trzeba znać na pamięć. Twierdzenia z których korzysta się prawie zawsze: Pitagoras (każda matura), tw. Talesa, podobieństwo trójkątów, suma kątów (180° w trójkącie, 360° w czworokącie, (n−2)·180° w n-kącie), kąt wpisany oparty na średnicy = 90°, kąty wpisane w czworokąt to 180°. Na PR dochodzą: wzór Herona, środkowa trapezu, promień okręgu wpisanego/opisanego, twierdzenie cosinusów w geometrii, dowody geometryczne. Planimetria to dział "wzorowy" — niewiele rozumowania, dużo schematu.

Zacznij ćwiczyć planimetria → Zobacz przykładowe zadania ↓
🎯 ZAKRES MATERIAŁU

Planimetria — co musisz umieć

9 kluczowych umiejętności — każda przećwiczona na konkretnych zadaniach z bazy.

1

Wzory na pola podstawowych figur

Trójkąt: P = ½·a·h. Kwadrat: P = a². Prostokąt: P = a·b. Romb: P = ½·d₁·d₂. Trapez: P = ½·(a+b)·h. Koło: P = πr². Te wzory MUSZĄ siedzieć w pamięci.

2

Twierdzenie Pitagorasa

a² + b² = c² dla trójkąta prostokątnego (c — przeciwprostokątna). Wykrywa trójkąt prostokątny: jeśli a²+b²=c², to △ prostokątny. Klasyczne trójkąty: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17).

3

Trójkąty szczególne

Równoboczny: wszystkie boki równe, kąty 60°, P = a²√3/4, h = a√3/2. Równoramienny: 2 boki równe, oś symetrii przechodzi przez wysokość do podstawy. Prostokątny 30-60-90: stosunek boków 1:√3:2. Prostokątny 45-45-90: stosunek 1:1:√2.

4

Własności czworokątów

Kwadrat: wszystkie boki i kąty równe, przekątne =, ⊥, dzielą się na pół. Prostokąt: kąty proste, przekątne =. Romb: wszystkie boki =, przekątne ⊥. Trapez: 2 boki równoległe. Trapez równoramienny: ramiona = i kąty przy podstawie =.

5

Okrąg — kąty i odcinki

Kąt środkowy = łuk (w stopniach). Kąt wpisany = ½ kąta środkowego na ten sam łuk. Kąt wpisany na średnicy = 90° (tw. Talesa). Styczna ⊥ promień w punkcie styczności. Cięciwa: dwa promienie do końców tworzą trójkąt równoramienny.

6

Wycinek koła, łuk, pierścień

Łuk: l = (α/360°)·2πr (α w stopniach). Wycinek (pole): P = (α/360°)·πr². Pierścień: P = π(R² − r²).

7

Podobieństwo i przystawanie

Trójkąty podobne: te same kąty, boki w proporcji. Stosunek pól = k² (k — skala podobieństwa). Stosunek obwodów = k. Cechy podobieństwa: KKK, BBB, BKB.

8

Wielokąty foremne

Suma kątów n-kąta = (n−2)·180°. Pojedynczy kąt n-kąta foremnego = (n−2)·180°/n. Pole sześciokąta foremnego o boku a: P = 6·(a²√3/4) = (3a²√3)/2.

9

Czworokąty wpisane i opisane (PR)

Wpisany w okrąg: kąty przeciwległe sumują się do 180°. Opisany na okręgu: sumy długości boków przeciwległych są równe. Pole = pr (p — połowa obwodu, r — promień okręgu wpisanego).

⚠️ NAJCZĘSTSZE BŁĘDY

Tu uczniowie najczęściej tracą punkty

Każda pułapka pochodzi z analizy realnych odpowiedzi maturzystów. Naucz się je rozpoznać, żeby unikać głupich strat.

❌ Błąd

Wzór na pole koła to P = πd² (gdzie d to średnica)

✅ Poprawnie

Wzór na pole koła to P = πr² (gdzie r to promień)

Dlaczego: Klasyczna pułapka: zadanie podaje średnicę, uczeń zapomina podzielić na 2. Średnica 10 → promień 5 → pole 25π, NIE 100π. Zawsze sprawdź czy zadanie daje średnicę czy promień.
❌ Błąd

Pole trapezu = a·h (jak prostokąt)

✅ Poprawnie

Pole trapezu = ½·(a + b)·h (gdzie a, b to podstawy)

Dlaczego: Trapez ma DWIE podstawy o różnych długościach. Pole to średnia arytmetyczna podstaw razy wysokość. Sprawdź na trapezie 10-8-h=5: P = ½·18·5 = 45.
❌ Błąd

Każdy trapez ma równoległe ramiona

✅ Poprawnie

Trapez ma równoległe PODSTAWY (a i b), nie ramiona

Dlaczego: Mylenie pojęć. Podstawy są równoległe, ramiona NIE. Jeśli ramiona są równoległe, to mamy równoległobok, nie trapez.
❌ Błąd

Kąt wpisany w okrąg = kąt środkowy oparty na tym samym łuku

✅ Poprawnie

Kąt wpisany = ½ kąta środkowego opartego na tym samym łuku

Dlaczego: Stosunek wynosi 2:1, nie 1:1. Klasyczne: kąt środkowy 60° → kąt wpisany na tym łuku 30°. Kąt wpisany OPARTY NA ŚREDNICY (czyli na półokręgu, kąt środkowy 180°) jest prosty (90°).
❌ Błąd

Promień prostopadły do cięciwy dzieli ją na nierówne części

✅ Poprawnie

Promień prostopadły do cięciwy dzieli ją na DWIE RÓWNE części

Dlaczego: Klasyczna własność okręgu. Wykorzystywana w zadaniach z cięciwami: jeśli wiesz, że promień jest prostopadły do cięciwy, automatycznie wiesz, że stopa prostopadłej to środek cięciwy.
❌ Błąd

Trójkąt o bokach 5, 12, 13 jest równoramienny

✅ Poprawnie

Trójkąt o bokach 5, 12, 13 jest PROSTOKĄTNY (bo 5² + 12² = 13²)

Dlaczego: Trójkąt 5-12-13 to klasyczny pitagorejski. Warto znać też: 3-4-5, 8-15-17, 7-24-25. Sprawdź: 25 + 144 = 169 = 13². ✓
❌ Błąd

Suma kątów dowolnego wielokąta wynosi 360°

✅ Poprawnie

Suma kątów n-kąta wypukłego = (n−2)·180°

Dlaczego: 360° to suma kątów ZEWNĘTRZNYCH wielokąta wypukłego. Kąty WEWNĘTRZNE: 180° (trójkąt), 360° (czworokąt), 540° (pięciokąt), 720° (sześciokąt), itd.
❌ Błąd

Stosunek pól trójkątów podobnych = stosunek boków

✅ Poprawnie

Stosunek pól = (stosunek boków)² = k²

Dlaczego: Klasyczna pułapka skali. Jeśli skala podobieństwa k = 3 (boki w stosunku 3:1), to pola są w stosunku 9:1 (NIE 3:1). Pola skalują się kwadratowo, objętości — sześciennie.
🧠 MUSZ ZNAĆ

Wzory i własności

Bez tych nie ma o czym mówić. Spaced Repetition na platformie utrwala je optymalnie.

P = ½·a·h

Pole trójkąta

P = a²√3/4

Pole △ równobocznego

P = ½·d₁·d₂

Pole rombu

P = ½·(a+b)·h

Pole trapezu

P = πr², L = 2πr

Pole/obwód koła

a² + b² = c²

Tw. Pitagorasa

h△ = a√3/2

Wys. △ równob.

d_kw = a√2

Przekątna kwadratu

(n−2)·180°

Suma kątów n-kąta

P_w = (α/360°)·πr²

Pole wycinka

P_p = π(R² − r²)

Pole pierścienia

k² (stosunek pól)

Trójkąty podobne

📋 PRZYKŁADY Z BAZY

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Planimetria"

Pełen zbiór zadań tego działu dostępny na platformie po założeniu konta.

📚

Baza zadań z działu „Planimetria" jest aktywnie rozbudowywana. Zaloguj się, aby przeglądać aktualną kolekcję.

Przejdź do platformy →
📈 JAK SIĘ UCZYĆ

Strategia opanowania działu

Kroki w kolejności, w jakiej naprawdę warto je wykonać.

1

Najpierw NARYSUJ figurę. Geometria bez rysunku to strata punktów. Zaznacz wszystkie dane (boki, kąty, wysokości) bezpośrednio na rysunku.

2

Jeśli widzisz trójkąt prostokątny ALBO masz dwa boki i wysokość — zaczynaj od Pitagorasa. To pierwsza myśl w 80% zadań z planimetrii.

3

Wzory na pola: ucz się ich w PARACH. Trójkąt vs równoległobok (½ a h vs a h). Kwadrat vs prostokąt (a² vs ab). Romb vs trapez (½d₁d₂ vs ½(a+b)h).

4

Trójkąt równoboczny zawsze daje √3 we wzorach. Trójkąt prostokątny równoramienny (45-45-90) daje √2. Te dwie liczby muszą Ci się "automatycznie" pojawiać.

5

Okrąg: pamiętaj o KIERUNKU — kąt wpisany jest 2× mniejszy od kąta środkowego na tym samym łuku. Średnica daje kąt wpisany 90° (Talesa).

6

W zadaniach z dwoma okręgami / trójkątem wpisanym w okrąg ZAWSZE szukaj trójkąta prostokątnego utworzonego przez promień + cięciwę.

7

Na PR ćwicz wzór Herona dla trójkątów z 3 bokami: P = √(p·(p−a)·(p−b)·(p−c)), p = obwód/2. Bardzo użyteczny w zadaniach gdzie nie znasz żadnej wysokości.

FAQ — Planimetria

Najczęściej zadawane pytania o ten zakres

Ile zadań z planimetrii jest na maturze?
Na PP około 4-5 zadań: 2-3 zamknięte (pola, twierdzenia, własności figur) + 1-2 otwarte (zadanie tekstowe z trójkątem lub okręgiem). Razem 6-10 punktów z 50. Na PR dochodzą zadania z czworokątami wpisanymi, okręgami opisanymi i wpisanymi, dowodami — łącznie 8-12 pkt.
Czy muszę umieć wzór Herona?
Na PR — tak, na PP — niekoniecznie, ale warto. Wzór Herona pozwala policzyć pole trójkąta znając TYLKO 3 boki (bez kąta i wysokości). Przykład: trójkąt o bokach 13, 14, 15 → p = 21 → P = √(21·8·7·6) = √7056 = 84. Bez Herona trzeba by liczyć wysokość przez Pitagorasa — dłużej.
Co to są "trójkąty pitagorejskie"?
To trójki liczb naturalnych spełniające a²+b²=c². Najczęstsze: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29. Warto znać przynajmniej pierwsze dwa — pojawiają się w 50% zadań z trójkątem prostokątnym. Każda krotność też się liczy (6-8-10, 9-12-15, itd.).
Jak rozpoznać, że trójkąt jest prostokątny?
Trzy metody: 1) Sprawdź, czy a² + b² = c² (gdzie c to najdłuższy bok). 2) Jeśli jeden kąt to 90°. 3) Jeśli trójkąt jest wpisany w półokrąg na średnicy (tw. Talesa). 4) Jeśli środkowa do najdłuższego boku = ½ tego boku (równa promieniowi okręgu opisanego = ½ przeciwprostokątnej).
Czy AI sprawdza zadania geometryczne bez rysunku?
Tak — dla zadań OPEN z planimetrii AI analizuje opis tekstowy i sprawdza zastosowane wzory, twierdzenia, podstawienia liczb. Sprawdza poprawność identyfikacji figury (np. czy trójkąt jest faktycznie prostokątny), użycie odpowiedniego wzoru, obliczenia. Punktacja częściowa: za poprawne narysowanie/opisanie sytuacji, za podstawienie wzoru, za końcowy wynik.

Powiązane działy

Wiedza z „Planimetria" przyda Ci się też tutaj:

🧊
Stereometria
📐
Trygonometria
🎯
Geometria analityczna
← Wróć do wszystkich działów matematyki
📏

Planimetria do matury 2026

Dziesiątki zadań z tego działu + AI ocena krok po kroku + Spaced Repetition na wzory. Wszystko od 49 zł / miesiąc.

Subskrypcja odblokowuje cały katalog + 10 innych przedmiotów. Anulujesz kiedy chcesz.

Planimetria - zacznij ćwiczyć