Planimetria: zadania maturalne i powtórka z matematyki 2027

Quiz · Planimetria

„Planimetria” w Quizie — jak ćwiczysz

118 pytań z tego działu w jednym miejscu. Wybierasz je filtrem, po każdej odpowiedzi widzisz wyjaśnienie, a quiz sam dobiera trudność i wraca do Twoich błędów.

Quiz w Matury Online — panel „Filtruj” z zaznaczonym tematem „Planimetria”, typy zadań i trudność 1–5, pod spodem pytanie z tego tematu

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wybierasz dział, typ zadania — np. zamknięte, obliczenia, dowód — i trudność 1–5. Przy każdej opcji widzisz, ile pytań zostaje w puli.
Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Od razu wiesz, czy dobrze — i dlaczego. Zadania otwarte ocenia AI według zasad oceniania CKE, z punktacją częściową.
Powtórki pytań, na których się mylisz

Pytanie z błędem wraca po kilku dniach z plakietką „Powtórka”. Powtórki zajmują najwyżej 30% sesji; wyłączasz je jednym przełącznikiem.
Trudność dobiera się do Ciebie

Quiz liczy Twój poziom z ostatnich odpowiedzi i podsuwa pytania, przy których trafiasz ok. 70% — nie za łatwe, nie za trudne.

12 typów zadań — Planimetria

z 19 typów w całym quizie · liczba pytań · filtr „Typ” w quizie

Zamknięte (A–D) 42
Otwarte 27
Prawda/Fałsz 12
Wykres 9
Dopasuj 8
Tabela danych 4
Obliczenia 4
Znajdź błąd 4
Wielokrotny wybór 3
Uzupełnij 2
Dowód — kolejność 2
Luki w tekście 1

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Zaznaczasz odpowiedź, klikasz „Sprawdź” i widzisz, która była poprawna i dlaczego. Możesz też odsłonić odpowiedź bez rozwiązywania albo pominąć pytanie.

Wypróbuj bez logowania

Kilka pytań z bazy z działu „Planimetria” — kliknij odpowiedź i sprawdź.

Ćwicz dział „Planimetria” w Quizie → darmowe konto: 5 pytań dziennie · bez dziennego limitu od 49 zł/mies.

Wprowadzenie

Planimetria na maturze

Dział VIII podstawy programowej ma w zakresie podstawowym dwanaście wymagań: promienie, średnice, cięciwy i odcinki stycznych w okręgu, rozpoznawanie trójkątów ostrokątnych, prostokątnych i rozwartokątnych po długościach boków, wielokąty foremne, własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach, kąty wpisane i środkowe, pole wycinka koła i długość łuku, twierdzenie Talesa, cechy podobieństwa trójkątów, stosunek obwodów i pól figur podobnych, punkty szczególne trójkąta, dowody geometryczne oraz zastosowanie trygonometrii do obliczania długości odcinków i pól.

Zakres rozszerzony dodaje dwa wymagania: własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu oraz twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa. Większość wzorów z tego działu, w tym wzór Herona, jest w karcie wzorów.

Przed maturą

Powtórka z planimetrii krok po kroku

1

Odśwież wzory

Zacznij od: Pole trójkąta, Pole trójkąta (dwa boki i kąt między nimi), Wzór Herona (p i 9 kolejnych pozycji.
Pełna lista
2

Sprawdź, co umiesz

9 umiejętności do odhaczenia, od „Wzory na pola podstawowych figur” po „Czworokąty wpisane i opisane (PR)”.
Lista umiejętności
3

Uważaj na typowe błędy

8 pułapek, np. „Wzór na pole koła to P = πd² (gdzie d to średnica)”. Przy każdej jest poprawna wersja i wyjaśnienie.
Typowe błędy
4

Sprawdź się

Najpierw krótki quiz, potem pełny sprawdzian z całego zakresu.

Quiz z planimetrii Sprawdzian z planimetrii Rozwiąż zadania z bazy

Zakres materiału

Planimetria — co musisz umieć

Wymagania szczegółowe podstawy programowej z matematyki: dział VIII „Planimetria”, pkt 1–12 w zakresie podstawowym i pkt 1–2 w zakresie rozszerzonym (Dz.U. 2024 poz. 1019).

1
Wzory na pola podstawowych figur
Trójkąt: P = ½·a·h. Kwadrat: P = a². Prostokąt: P = a·b. Romb: P = ½·d₁·d₂. Trapez: P = ½·(a+b)·h. Koło: P = πr². Wzory na pole trójkąta, trapezu, równoległoboku, rombu, deltoidu i koła są w karcie wzorów.
2
Twierdzenie Pitagorasa
a² + b² = c² dla trójkąta prostokątnego (c — przeciwprostokątna). Twierdzenie odwrotne: jeśli a² + b² = c², to trójkąt jest prostokątny. Gdy c jest najdłuższym bokiem i c² < a² + b², trójkąt jest ostrokątny, a gdy c² > a² + b² — rozwartokątny (VIII.2). Przykłady trójkątów prostokątnych: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17).
3
Trójkąty szczególne
Równoboczny: wszystkie boki równe, kąty 60°, P = a²√3/4, h = a√3/2. Równoramienny: 2 boki równe, oś symetrii przechodzi przez wysokość do podstawy. Prostokątny 30-60-90: stosunek boków 1:√3:2. Prostokątny 45-45-90: stosunek 1:1:√2.
4
Własności czworokątów
Kwadrat: wszystkie boki i kąty równe, przekątne =, ⊥, dzielą się na pół. Prostokąt: kąty proste, przekątne =. Romb: wszystkie boki =, przekątne ⊥. Trapez: co najmniej jedna para boków równoległych (definicja z karty wzorów). Trapez równoramienny: ramiona = i kąty przy podstawie =.
5
Okrąg — kąty i odcinki
Kąt wpisany = ½ kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Kąt wpisany oparty na półokręgu jest prosty. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Styczna ⊥ promień w punkcie styczności. Cięciwa: dwa promienie do końców tworzą trójkąt równoramienny.
6
Wycinek koła, łuk, pierścień
Łuk: l = (α/360°)·2πr (α w stopniach). Wycinek (pole): P = (α/360°)·πr². Pierścień: P = π(R² − r²).

Pokaż pozostałe 3

7
Podobieństwo i przystawanie
Trójkąty podobne: te same kąty, boki w proporcji. Stosunek pól = k² (k — skala podobieństwa). Stosunek obwodów = k. Cechy podobieństwa: KKK, BBB, BKB.
8
Wielokąty foremne
Suma kątów n-kąta = (n−2)·180°. Pojedynczy kąt n-kąta foremnego = (n−2)·180°/n. Pole sześciokąta foremnego o boku a: P = 6·(a²√3/4) = (3a²√3)/2.
9
Czworokąty wpisane i opisane (PR)
Wpisany w okrąg: kąty przeciwległe sumują się do 180°. Opisany na okręgu: sumy długości boków przeciwległych są równe. Pole = pr (p — połowa obwodu, r — promień okręgu wpisanego).

Typowe błędy

Tu łatwo stracić punkty

Typowe błędy rachunkowe i poprawne przekształcenie obok każdego z nich.

✗ Błąd

Wzór na pole koła to P = πd² (gdzie d to średnica)

✓ Poprawnie

Wzór na pole koła to P = πr² (gdzie r to promień)

Dlaczego: Klasyczna pułapka: zadanie podaje średnicę, uczeń zapomina podzielić na 2. Średnica 10 → promień 5 → pole 25π, nie 100π. Zawsze sprawdź czy zadanie daje średnicę czy promień.

✗ Błąd

Pole trapezu = a·h (jak prostokąt)

✓ Poprawnie

Pole trapezu = ½·(a + b)·h (gdzie a, b to podstawy)

Dlaczego: Trapez ma dwie podstawy o różnych długościach. Pole to średnia arytmetyczna podstaw razy wysokość. Sprawdź na trapezie 10-8-h=5: P = ½·18·5 = 45.

✗ Błąd

Każdy trapez ma równoległe ramiona

✓ Poprawnie

Trapez ma równoległe podstawy; ramiona nie muszą być równoległe

Dlaczego: Podstawy to boki równoległe. Według definicji z karty wzorów trapez ma co najmniej jedną parę boków równoległych, więc równoległobok jest szczególnym przypadkiem trapezu, ale w ogólnym trapezie ramiona równoległe nie są.

✗ Błąd

Kąt wpisany w okrąg = kąt środkowy oparty na tym samym łuku

✓ Poprawnie

Kąt wpisany = ½ kąta środkowego opartego na tym samym łuku

Dlaczego: Stosunek wynosi 2:1, nie 1:1. Klasyczne: kąt środkowy 60° → kąt wpisany na tym łuku 30°. Kąt wpisany oparty na średnicy (czyli na półokręgu, kąt środkowy 180°) jest prosty (90°).

Pokaż pozostałe 4

✗ Błąd

Promień prostopadły do cięciwy dzieli ją na nierówne części

✓ Poprawnie

Promień prostopadły do cięciwy dzieli ją na dwie równe części

Dlaczego: Klasyczna własność okręgu. Wykorzystywana w zadaniach z cięciwami: jeśli wiesz, że promień jest prostopadły do cięciwy, automatycznie wiesz, że stopa prostopadłej to środek cięciwy.

✗ Błąd

Trójkąt o bokach 5, 12, 13 jest równoramienny

✓ Poprawnie

Trójkąt o bokach 5, 12, 13 jest prostokątny (bo 5² + 12² = 13²)

Dlaczego: Trójkąt 5-12-13 to klasyczny pitagorejski. Warto znać też: 3-4-5, 8-15-17, 7-24-25. Sprawdź: 25 + 144 = 169 = 13². ✓

✗ Błąd

Suma kątów dowolnego wielokąta wynosi 360°

✓ Poprawnie

Suma kątów n-kąta wypukłego = (n−2)·180°

Dlaczego: 360° to suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego. Kąty wewnętrzne: 180° (trójkąt), 360° (czworokąt), 540° (pięciokąt), 720° (sześciokąt), itd.

✗ Błąd

Stosunek pól trójkątów podobnych = stosunek boków

✓ Poprawnie

Stosunek pól = (stosunek boków)² = k²

Dlaczego: Klasyczna pułapka skali. Jeśli skala podobieństwa k = 3 (boki w stosunku 3:1), to pola są w stosunku 9:1 (nie 3:1). Pola skalują się kwadratowo, objętości — sześciennie.

Do zapamiętania

Wzory i własności do powtórzenia

Bez tych nie ma o czym mówić.

P = ½·a·h: Pole trójkąta; w karcie wzorów CKE
P = ½·a·b·sin γ: Pole trójkąta (dwa boki i kąt między nimi); w karcie wzorów CKE
P = √(p(p − a)(p − b)(p − c)): Wzór Herona (p — połowa obwodu); w karcie wzorów CKE
h = a√3/2, P = a²√3/4: Trójkąt równoboczny; w karcie wzorów CKE
a² + b² = c²: Twierdzenie Pitagorasa; w karcie wzorów CKE
P = (a + b)/2 · h: Pole trapezu; w karcie wzorów CKE
P = ½·d₁·d₂: Pole rombu i deltoidu; w karcie wzorów CKE
P = πr², L = 2πr: Pole i obwód koła; w karcie wzorów CKE
P = α/360° · πr²: Pole wycinka koła; w karcie wzorów CKE
L = α/360° · 2πr: Długość łuku; w karcie wzorów CKE
stosunek pól = k²: Figury podobne w skali k; w karcie wzorów CKE
(n − 2)·180°: Suma miar kątów wewnętrznych n-kąta; brak w karcie wzorów CKE

Przykłady z bazy

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Planimetria”

Poniżej 4 prawdziwych zadań z bazy — każde innego typu.

📏 Planimetria ◉ Zamknięte (A–D) ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie Autorskie · PP 1 pkt

Pole trójkąta równobocznego o boku długości 8 jest równe:

163

32

83

643

Rozwiąż na platformie →

📏 Planimetria ✎ Otwarte ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie 🤖 Ocena AI Autorskie · PP 3 pkt

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma długość $9$ , a przeciwprostokątna $15$ . Oblicz pole tego trójkąta, przedstawiając pełny tok obliczeń.

Rozwiąż samodzielnie — AI sprawdzi krok po kroku →

📏 Planimetria ⚖ Prawda/Fałsz ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie Autorskie · PP 1 pkt

Oceń prawdziwość stwierdzeń.

Suma miar kątów ostrych trójkąta prostokątnego jest równa 100°.

P F

Istnieje trójkąt o bokach długości 3, 4 i 8.

P F

Każdy trójkąt równoramienny jest równoboczny.

P F

Rozwiąż na platformie →

📏 Planimetria ☑ Wielokrotny wybór ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie Autorskie · PP 1 pkt

Które z wymienionych czworokątów mają zawsze prostopadłe przekątne?

A trapez równoramienny

B prostokąt

C kwadrat

D romb

Rozwiąż na platformie →

Jak się uczyć

Strategia opanowania działu

Kroki w kolejności, w jakiej naprawdę warto je wykonać.

1
Najpierw narysuj figurę i zaznacz na niej wszystkie dane: boki, kąty, wysokości.
2
Jeśli widzisz trójkąt prostokątny albo masz dwa boki i wysokość — zaczynaj od Pitagorasa.
3
Wzory na pola: ucz się ich w parach. Trójkąt vs równoległobok (½ a h vs a h). Kwadrat vs prostokąt (a² vs ab). Romb vs trapez (½d₁d₂ vs ½(a+b)h).
4
Trójkąt równoboczny zawsze daje √3 we wzorach. Trójkąt prostokątny równoramienny (45-45-90) daje √2. Te dwie liczby muszą Ci się „automatycznie” pojawiać.
5
Okrąg: pamiętaj o kierunku — kąt wpisany jest 2× mniejszy od kąta środkowego na tym samym łuku. Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.
6
W zadaniach z dwoma okręgami / trójkątem wpisanym w okrąg zawsze szukaj trójkąta prostokątnego utworzonego przez promień + cięciwę.
7
Gdy znasz trzy boki trójkąta i żadnej wysokości, użyj wzoru Herona z karty wzorów: P = √(p·(p−a)·(p−b)·(p−c)), gdzie p to połowa obwodu.

FAQ

FAQ — Planimetria

Ile zadań z planimetrii jest na maturze?

CKE nie podaje podziału punktów na działy. Informator CKE określa cały arkusz: na poziomie podstawowym 180 minut i 50 punktów, z czego połowa za zadania zamknięte i połowa za otwarte; na poziomie rozszerzonym 180 minut, 50 punktów i wyłącznie zadania otwarte. Zadania z tego działu bywają też etapem zadań z innych działów.

Czy muszę umieć wzór Herona?

Nie trzeba go pamiętać: wzór Herona jest w karcie wzorów (rozdział „Planimetria”). Pozwala policzyć pole trójkąta znając tylko 3 boki (bez kąta i wysokości). Przykład: trójkąt o bokach 13, 14, 15 → p = 21 → P = √(21·8·7·6) = √7056 = 84. Bez Herona trzeba by liczyć wysokość przez Pitagorasa — dłużej.

Co to są „trójkąty pitagorejskie”?

To trójki liczb naturalnych spełniające a²+b²=c². Najczęstsze: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29. Każda krotność też się liczy (6-8-10, 9-12-15, itd.).

Jak rozpoznać, że trójkąt jest prostokątny?

Cztery sposoby: 1) Sprawdź, czy a² + b² = c² (gdzie c to najdłuższy bok). 2) Jeśli jeden kąt to 90°. 3) Jeśli jeden z boków jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie (kąt wpisany oparty na półokręgu jest prosty). 4) Jeśli środkowa do najdłuższego boku = ½ tego boku (równa promieniowi okręgu opisanego = ½ przeciwprostokątnej).

Jak oceniane są zadania otwarte?

Według Informatora CKE rozwiązanie musi pokazywać pełny tok rozumowania. Punkty przyznaje się za etapy: za pokonanie zasadniczych trudności zadania co najmniej połowę punktów, a komplet za rozwiązanie doprowadzone poprawnie do końca. W serwisie odpowiedzi otwarte ocenia AI i wskazuje krok, w którym jest błąd.

Jak zrobić powtórkę z planimetrii przed maturą?

Sprawdza się taka kolejność. 1) Najpierw narysuj figurę i zaznacz na niej wszystkie dane: boki, kąty, wysokości. 2) Jeśli widzisz trójkąt prostokątny albo masz dwa boki i wysokość, zaczynaj od Pitagorasa. 3) Wzory na pola: ucz się ich w parach. Na koniec sprawdź się w quizie z planimetrii, a potem w pełnym sprawdzianie.

Planimetria — zadania maturalne

„Planimetria” w Quizie — jak ćwiczysz

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Powtórki pytań, na których się mylisz

Trudność dobiera się do Ciebie

12 typów zadań — Planimetria

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Wypróbuj bez logowania

Planimetria na maturze

Powtórka z planimetrii krok po kroku

Odśwież wzory

Sprawdź, co umiesz

Uważaj na typowe błędy

Sprawdź się

Planimetria — co musisz umieć

Wzory na pola podstawowych figur

Twierdzenie Pitagorasa

Trójkąty szczególne

Własności czworokątów

Okrąg — kąty i odcinki

Wycinek koła, łuk, pierścień

Podobieństwo i przystawanie

Wielokąty foremne

Czworokąty wpisane i opisane (PR)

Tu łatwo stracić punkty

Wzory i własności do powtórzenia

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Planimetria”

Pole trójkąta równobocznego o boku długości 8 jest równe:

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma długość $9$ , a przeciwprostokątna $15$ . Oblicz pole tego trójkąta, przedstawiając pełny tok obliczeń.

Oceń prawdziwość stwierdzeń.

Które z wymienionych czworokątów mają zawsze prostopadłe przekątne?

Strategia opanowania działu

FAQ — Planimetria

Powiązane działy

Planimetria do matury 2027

Planimetria — zadania maturalne

„Planimetria” w Quizie — jak ćwiczysz

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Powtórki pytań, na których się mylisz

Trudność dobiera się do Ciebie

12 typów zadań — Planimetria

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Wypróbuj bez logowania

Planimetria na maturze

Powtórka z planimetrii krok po kroku

Odśwież wzory

Sprawdź, co umiesz

Uważaj na typowe błędy

Sprawdź się

Planimetria — co musisz umieć

Wzory na pola podstawowych figur

Twierdzenie Pitagorasa

Trójkąty szczególne

Własności czworokątów

Okrąg — kąty i odcinki

Wycinek koła, łuk, pierścień

Podobieństwo i przystawanie

Wielokąty foremne

Czworokąty wpisane i opisane (PR)

Tu łatwo stracić punkty

Wzory i własności do powtórzenia

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Planimetria”

Pole trójkąta równobocznego o boku długości 8 jest równe:

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma długość 9, a przeciwprostokątna 15. Oblicz pole tego trójkąta, przedstawiając pełny tok obliczeń.

Oceń prawdziwość stwierdzeń.

Które z wymienionych czworokątów mają zawsze prostopadłe przekątne?

Strategia opanowania działu

FAQ — Planimetria

Powiązane działy

Planimetria do matury 2027

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma długość $9$ , a przeciwprostokątna $15$ . Oblicz pole tego trójkąta, przedstawiając pełny tok obliczeń.