📐 MatematykaPP+PR

Stereometria — zadania maturalne

Stereometria na maturze: graniastosłupy, ostrosłupy, walec, stożek i kula. Objętości, pola powierzchni, kąty między odcinkami i płaszczyznami, bryły podobne.

Zacznij ćwiczyć: Stereometria → Jak działa quiz ↓

Konto zakładasz w minutę · pełny dostęp od 49 zł/mies.

Sprawdzian ze stereometrii z odpowiedziami →

zadań w katalogu: 104; zadań w katalogu
typów zadań: 10; typów zadań

Quiz w Matury Online — pytanie z tematu „Stereometria” (Matematyka) po sprawdzeniu odpowiedzi, z wynikiem i wyjaśnieniem

Quiz w aplikacji Matury Online — pytanie z tematu „Stereometria” i wyjaśnienie po odpowiedzi

Quiz · Stereometria

„Stereometria” w Quizie — jak ćwiczysz

104 pytania z tego działu w jednym miejscu. Wybierasz je filtrem, po każdej odpowiedzi widzisz wyjaśnienie, a quiz sam dobiera trudność i wraca do Twoich błędów.

Quiz w Matury Online — panel „Filtruj” z zaznaczonym tematem „Stereometria”, typy zadań i trudność 1–5, pod spodem pytanie z tego tematu

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wybierasz dział, typ zadania — np. zamknięte, obliczenia, dowód — i trudność 1–5. Przy każdej opcji widzisz, ile pytań zostaje w puli.
Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Od razu wiesz, czy dobrze — i dlaczego. Zadania otwarte ocenia AI według zasad oceniania CKE, z punktacją częściową.
Powtórki pytań, na których się mylisz

Pytanie z błędem wraca po kilku dniach z plakietką „Powtórka”. Powtórki zajmują najwyżej 30% sesji; wyłączasz je jednym przełącznikiem.
Trudność dobiera się do Ciebie

Quiz liczy Twój poziom z ostatnich odpowiedzi i podsuwa pytania, przy których trafiasz ok. 70% — nie za łatwe, nie za trudne.

10 typów zadań — Stereometria

z 19 typów w całym quizie · liczba pytań · filtr „Typ” w quizie

Zamknięte (A–D) 32
Otwarte 28
Tabela danych 9
Obliczenia 9
Dopasuj 8
Wykres 6
Prawda/Fałsz 6
Praca z tekstem 3
Wielokrotny wybór 2
Uzupełnij 1

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Zaznaczasz odpowiedź, klikasz „Sprawdź” i widzisz, która była poprawna i dlaczego. Możesz też odsłonić odpowiedź bez rozwiązywania albo pominąć pytanie.

Wypróbuj bez logowania

Kilka pytań z bazy z działu „Stereometria” — kliknij odpowiedź i sprawdź.

Ćwicz dział „Stereometria” w Quizie → darmowe konto: 5 pytań dziennie · bez dziennego limitu od 49 zł/mies.

Wprowadzenie

Stereometria na maturze

Dział X podstawy programowej wymaga w zakresie podstawowym: rozpoznawania wzajemnego położenia prostych w przestrzeni, posługiwania się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną i kąta dwuściennego, wskazywania i obliczania kątów w graniastosłupach, ostrosłupach, walcach i stożkach (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), obliczania objętości i pól powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, także z użyciem trygonometrii, oraz wykorzystywania zależności między objętościami brył podobnych.

Zakres rozszerzony dodaje twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny i o trzech prostopadłych oraz przekroje sześcianu i ostrosłupów prawidłowych. Wzory na objętość i pole powierzchni prostopadłościanu, graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka i kuli są w karcie wzorów.

Zadania optymalizacyjne o bryłach, które wymagają pochodnej, należą do zakresu rozszerzonego (dział XIII). Większość zadań sprowadza się do płaskiego przekroju bryły, w którym stosuje się twierdzenie Pitagorasa i trygonometrię.

Przed maturą

Powtórka ze stereometrii krok po kroku

1

Odśwież wzory

Zacznij od: Prostopadłościan, Graniastosłup prosty (Ob, Ostrosłup i 9 kolejnych pozycji.
Pełna lista
2

Sprawdź, co umiesz

10 umiejętności do odhaczenia, od „Sześcian i prostopadłościan” po „Konteksty życiowe”.
Lista umiejętności
3

Uważaj na typowe błędy

8 pułapek, np. „Wzór na objętość kuli to V = πr³”. Przy każdej jest poprawna wersja i wyjaśnienie.
Typowe błędy
4

Sprawdź się

Najpierw krótki quiz, potem pełny sprawdzian z całego zakresu.

Quiz ze stereometrii Sprawdzian ze stereometrii Rozwiąż zadania z bazy

Zakres materiału

Stereometria — co musisz umieć

Wymagania szczegółowe podstawy programowej z matematyki: dział X „Stereometria”, pkt 1–6 w zakresie podstawowym i pkt 1–2 w zakresie rozszerzonym (Dz.U. 2024 poz. 1019).

1
Sześcian i prostopadłościan
Sześcian: V = a³, Pc = 6a², przekątna = a√3. Prostopadłościan a·b·c: V = abc, Pc = 2(ab+bc+ac), przekątna = √(a²+b²+c²).
2
Graniastosłup (prosty i prawidłowy)
V = Ppodstawy · H. Pc = 2·Ppodst + Pboczne. Pboczne = obwód podstawy · H. Przykład: graniastosłup prawidłowy trójkątny o boku 4 i H=10: V = 4√3·10 = 40√3.
3
Ostrosłup (prosty i prawidłowy)
V = ⅓·Ppodstawy·H. W ostrosłupie prawidłowym Pboczne = ½·obwód podstawy·wysokość ściany bocznej. Wysokość ostrosłupa H to co innego niż wysokość ściany bocznej: H jest prostopadła do podstawy, wysokość ściany bocznej leży w tej ścianie.
4
Walec
V = πr²·H. Pc = 2πr(r+H). Pboczne = 2πr·H (rozwinięcie to prostokąt 2πr × H). Przekrój osiowy = prostokąt 2r × H.
5
Stożek
V = ⅓πr²·H. Tworząca l = √(r²+H²) (z Pitagorasa). Pc = πr(r+l). Pboczne = πrl (rozwinięcie to wycinek koła). Przekrój osiowy = trójkąt równoramienny.
6
Kula
V = (4/3)πr³. S = 4πr². Przekrój przez środek = koło o promieniu r (koło wielkie). Nie ma „podstawy” ani „wysokości”.

Pokaż pozostałe 4

7
Przekątne i kąty w bryłach
Przekątna sześcianu = a√3. Kąt między przekątną sześcianu a płaszczyzną podstawy: tg α = a/(a√2) = √2/2, czyli α ≈ 35°. W ostrosłupie kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy to kąt między tą krawędzią a jej rzutem na podstawę (X.2, X.3).
8
Przekroje brył
Przekrój osiowy walca = prostokąt. Stożka = trójkąt równoramienny. Kuli = koło. Przekroje sześcianu przez 3 punkty (PR) mogą być trójkątami, czworokątami, pięciokątami, sześciokątami zależnie od punktów.
9
Bryły wpisane i opisane (PR)
Kula wpisana w sześcian o boku a: r = a/2. Kula opisana na sześcianie: r = a√3/2. Walec wpisany w stożek o max objętości: r_w = ⅔·R, h_w = H/3. Takie zadania łączą podobieństwo z pochodną (dział XIII, zakres rozszerzony).
10
Konteksty życiowe
Akwarium (V w litrach: 1 m³ = 1000 l), basen (V wody), garnek/szklanka (walec), piłka (kula), lody (stożek + kula). Pilnuj jednostek: 1 cm³ = 1 ml, 1 dm³ = 1 l, 1 m³ = 1000 l.

Typowe błędy

Tu łatwo stracić punkty

Typowe błędy rachunkowe i poprawne przekształcenie obok każdego z nich.

✗ Błąd

Wzór na objętość kuli to V = πr³

✓ Poprawnie

Wzór na objętość kuli to V = (4/3)πr³

Dlaczego: Brakuje czynnika 4/3. To niesymetryczne współczynniki: pole kuli = 4πr², objętość = (4/3)πr³. Sprawdź dla r=3: V = 4/3·π·27 = 36π. Bez 4/3 byłoby 27π — błąd.

✗ Błąd

Wysokość ostrosłupa = apotema ściany bocznej

✓ Poprawnie

Wysokość ostrosłupa H to odcinek prostopadły do podstawy; wysokość ściany bocznej to inny, dłuższy odcinek.

Dlaczego: H to odległość wierzchołka od płaszczyzny podstawy. Apotema to wysokość trójkątnej ściany bocznej. W ostrosłupie prawidłowym te dwa odcinki tworzą trójkąt prostokątny z promieniem okręgu wpisanego w podstawę.

✗ Błąd

Objętość stożka = πr²H (jak walec)

✓ Poprawnie

Objętość stożka = ⅓·πr²H (jedna trzecia walca o tej samej podstawie i wysokości)

Dlaczego: Stożek = ⅓ walca o tej samej r i H. To samo dla ostrosłupa vs graniastosłup.

✗ Błąd

Przekątna prostopadłościanu = √(a² + b²)

✓ Poprawnie

Przekątna prostopadłościanu = √(a² + b² + c²) (Pitagoras w 3D)

Dlaczego: √(a² + b²) to przekątna podstawy, nie całej bryły. Aby dostać przekątną przestrzenną, trzeba użyć Pitagorasa dwa razy: najpierw na podstawie, potem z wysokością.

Pokaż pozostałe 4

✗ Błąd

Pole boczne walca = πr·H (jak stożek)

✓ Poprawnie

Pole boczne walca = 2πr·H (obwód podstawy razy wysokość)

Dlaczego: Walec rozwija się w prostokąt o bokach 2πr (obwód) × H. Stożek rozwija się w wycinek koła. Wzory są różne; oba są w karcie wzorów.

✗ Błąd

Skala podobieństwa 2 = stosunek objętości 2

✓ Poprawnie

Skala podobieństwa 2 = stosunek objętości 2³ = 8

Dlaczego: Objętości skalują się jako sześcian skali. Pola — jako kwadrat. Boki — liniowo. Sześcian o boku 2 ma 8× większą objętość niż sześcian o boku 1, nie 2×.

✗ Błąd

Tworząca stożka l = r + H

✓ Poprawnie

Tworząca stożka l = √(r² + H²) (z Pitagorasa)

Dlaczego: Tworząca to przeciwprostokątna trójkąta r-H-l. Dodawanie r+H zamiast pierwiastka z sumy kwadratów to gęsta pułapka. Dla r=3, H=4: l = 5, nie 7.

✗ Błąd

1 m³ = 100 litrów

✓ Poprawnie

1 m³ = 1000 litrów (1 dm³ = 1 litr)

Dlaczego: Klasyczna pomyłka jednostek. 1 m³ = (10 dm)³ = 1000 dm³ = 1000 litrów. Akwarium 80×40×50 cm = 160000 cm³ = 160 litrów, nie 16.

Do zapamiętania

Wzory i własności do powtórzenia

Bez tych nie ma o czym mówić.

V = abc, Pc = 2(ab + bc + ca): Prostopadłościan; w karcie wzorów CKE
V = Pp·h, Pb = Ob·h: Graniastosłup prosty (Ob — obwód podstawy); w karcie wzorów CKE
V = ⅓·Pp·h: Ostrosłup; w karcie wzorów CKE
V = πr²h: Objętość walca; w karcie wzorów CKE
Pb = 2πrh, Pc = 2πr(r + h): Pole powierzchni walca; w karcie wzorów CKE
V = ⅓·πr²h: Objętość stożka; w karcie wzorów CKE
Pb = πrl, Pc = πr(r + l): Pole powierzchni stożka (l — tworząca); w karcie wzorów CKE
V = (4/3)πr³: Objętość kuli; w karcie wzorów CKE
Pc = 4πr²: Pole powierzchni kuli; w karcie wzorów CKE
d = √(a² + b² + c²): Przekątna prostopadłościanu; brak w karcie; wynika z twierdzenia Pitagorasa
d = a√3: Przekątna sześcianu; brak w karcie; wynika z twierdzenia Pitagorasa
l² = r² + h²: Tworząca stożka; brak w karcie; wynika z twierdzenia Pitagorasa

Przykłady z bazy

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Stereometria”

Poniżej 3 prawdziwych zadań z bazy — każde innego typu.

🧊 Stereometria ◉ Zamknięte (A–D) ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie Autorskie · PP 1 pkt

Przekątna sześcianu ma długość $63$ . Objętość tego sześcianu jest równa:

216

1083

723

648

Rozwiąż na platformie →

🧊 Stereometria ✎ Otwarte ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie 🤖 Ocena AI Autorskie · PP 2 pkt

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $a = 5 cm$ i wysokość $h = 12 cm$ . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Rozwiąż samodzielnie — AI sprawdzi krok po kroku →

🧊 Stereometria ⚖ Prawda/Fałsz ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie Autorskie · PP 1 pkt

Oceń prawdziwość stwierdzeń dotyczących sześcianu.

Objętość sześcianu o krawędzi 4 jest równa 48.

P F

Sześcian ma 12 krawędzi.

P F

Pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi 2 jest równe 16.

P F

Rozwiąż na platformie →

Jak się uczyć

Strategia opanowania działu

Kroki w kolejności, w jakiej naprawdę warto je wykonać.

1
Każde zadanie ze stereometrii sprowadzaj do 2D. Znajdź odpowiedni przekrój (osiowy, przekątniowy, ściana boczna) i narysuj jako płaską figurę. Wtedy używasz Pitagorasa, trygonometrii lub planimetrii.
2
Najpierw rozpoznaj bryłę. Sześcian/prostopadłościan? Walec/stożek/kula? Graniastosłup/ostrosłup? To determinuje wzory.
3
Wzory na objętości grupuj w parach: V_walca = πr²H ↔ V_stożka = ⅓πr²H. V_{graniastosłupa} = PpH ↔ V_ostrosłupa = ⅓PpH. Ostrosłup/stożek to zawsze „⅓ swojego pionowego brata”.
4
Konwersja jednostek to częste źródło błędów. Akwarium w cm³ → litry: dziel przez 1000. Basen w m³ → litry: mnóż przez 1000. Litry → m³: dziel przez 1000.
5
W ostrosłupach prawidłowych: H, apotema i promień okręgu wpisanego w podstawę tworzą trójkąt prostokątny. Pitagoras między tymi trzema odcinkami rozwiązuje połowę zadań.
6
W zadaniach z kontekstem (basen, garnek, piłka) zawsze zaczynaj od identyfikacji bryły. „Akwarium” = prostopadłościan. „Garnek” = walec. „Piłka” = kula. „Lody w rożku” = stożek + kula. Resztę robi wzór.
7
Na PR ćwicz optymalizację (typu „walec wpisany w stożek o maksymalnej objętości”). Schemat: 1) wyraź r przez h z podobieństwa, 2) zapisz V jako funkcję jednej zmiennej, 3) policz pochodną, 4) zeruj, 5) sprawdź maksimum.

FAQ

FAQ — Stereometria

Ile zadań ze stereometrii jest na maturze?

CKE nie podaje podziału punktów na działy. Informator CKE określa cały arkusz: na poziomie podstawowym 180 minut i 50 punktów, z czego połowa za zadania zamknięte i połowa za otwarte; na poziomie rozszerzonym 180 minut, 50 punktów i wyłącznie zadania otwarte. Zadania z tego działu bywają też etapem zadań z innych działów.

Czy muszę znać wszystkie wzory na pamięć?

Nie. „Wybrane wzory matematyczne”, z których korzysta się na egzaminie, zawierają wzory na objętość i pole powierzchni prostopadłościanu, graniastosłupa prostego, walca, stożka i kuli oraz na objętość ostrosłupa. Nie ma w nich przekątnej prostopadłościanu ani sześcianu, zależności l² = r² + h² w stożku ani stosunku objętości brył podobnych (k³); te wynikają z twierdzenia Pitagorasa i z podobieństwa.

Jak liczyć przekątną prostopadłościanu?

Pitagoras 3D: d² = a² + b² + c² → d = √(a²+b²+c²). Można też dwustopniowo: najpierw przekątna podstawy d_p = √(a²+b²), potem przekątna bryły d = √(d_p² + c²). Drugi sposób przydaje się gdy zadanie pyta o kąt nachylenia przekątnej do podstawy.

Co to jest „apotema” w ostrosłupie?

Apotema = wysokość trójkątnej ściany bocznej. W ostrosłupie prawidłowym apotema biegnie od wierzchołka do środka boku podstawy. To nie jest wysokość ostrosłupa H! Apotema, H i promień okręgu wpisanego w podstawę tworzą trójkąt prostokątny: apotema² = H² + r_{okręgu wpisanego}².

Jak oceniane są zadania otwarte?

Według Informatora CKE rozwiązanie musi pokazywać pełny tok rozumowania. Punkty przyznaje się za etapy: za pokonanie zasadniczych trudności zadania co najmniej połowę punktów, a komplet za rozwiązanie doprowadzone poprawnie do końca. W serwisie odpowiedzi otwarte ocenia AI i wskazuje krok, w którym jest błąd.

Jak zrobić powtórkę ze stereometrii przed maturą?

Sprawdza się taka kolejność. 1) Każde zadanie ze stereometrii sprowadzaj do 2D. 2) Najpierw rozpoznaj bryłę. 3) Wzory na objętości grupuj w parach: V_walca = πr²H ↔ V_stożka = ⅓πr²H. Na koniec sprawdź się w quizie ze stereometrii, a potem w pełnym sprawdzianie.

Stereometria — zadania maturalne

„Stereometria” w Quizie — jak ćwiczysz

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Powtórki pytań, na których się mylisz

Trudność dobiera się do Ciebie

10 typów zadań — Stereometria

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Wypróbuj bez logowania

Stereometria na maturze

Powtórka ze stereometrii krok po kroku

Odśwież wzory

Sprawdź, co umiesz

Uważaj na typowe błędy

Sprawdź się

Stereometria — co musisz umieć

Sześcian i prostopadłościan

Graniastosłup (prosty i prawidłowy)

Ostrosłup (prosty i prawidłowy)

Walec

Stożek

Kula

Przekątne i kąty w bryłach

Przekroje brył

Bryły wpisane i opisane (PR)

Konteksty życiowe

Tu łatwo stracić punkty

Wzory i własności do powtórzenia

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Stereometria”

Przekątna sześcianu ma długość $63$ . Objętość tego sześcianu jest równa:

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $a = 5 cm$ i wysokość $h = 12 cm$ . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Oceń prawdziwość stwierdzeń dotyczących sześcianu.

Strategia opanowania działu

FAQ — Stereometria

Powiązane działy

Stereometria do matury 2027

Stereometria — zadania maturalne

„Stereometria” w Quizie — jak ćwiczysz

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Powtórki pytań, na których się mylisz

Trudność dobiera się do Ciebie

10 typów zadań — Stereometria

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Wypróbuj bez logowania

Stereometria na maturze

Powtórka ze stereometrii krok po kroku

Odśwież wzory

Sprawdź, co umiesz

Uważaj na typowe błędy

Sprawdź się

Stereometria — co musisz umieć

Sześcian i prostopadłościan

Graniastosłup (prosty i prawidłowy)

Ostrosłup (prosty i prawidłowy)

Walec

Stożek

Kula

Przekątne i kąty w bryłach

Przekroje brył

Bryły wpisane i opisane (PR)

Konteksty życiowe

Tu łatwo stracić punkty

Wzory i własności do powtórzenia

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Stereometria”

Przekątna sześcianu ma długość 63​. Objętość tego sześcianu jest równa:

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy a=5 cm i wysokość h=12 cm. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Oceń prawdziwość stwierdzeń dotyczących sześcianu.

Strategia opanowania działu

FAQ — Stereometria

Powiązane działy

Stereometria do matury 2027

Przekątna sześcianu ma długość $63$ . Objętość tego sześcianu jest równa:

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $a = 5 cm$ i wysokość $h = 12 cm$ . Oblicz objętość tego graniastosłupa.