Trygonometria na maturze: sinus, cosinus i tangens kątów od 0° do 180°, jedynka trygonometryczna, twierdzenie cosinusów, a na poziomie rozszerzonym wzory redukcyjne, równania i twierdzenie sinusów.
Konto zakładasz w minutę · pełny dostęp od 49 zł/mies.
Sprawdzian z trygonometrii z odpowiedziami →
Quiz · Trygonometria
108 pytań z tego działu w jednym miejscu. Wybierasz je filtrem, po każdej odpowiedzi widzisz wyjaśnienie, a quiz sam dobiera trudność i wraca do Twoich błędów.
Wybierasz dział, typ zadania — np. zamknięte, obliczenia, dowód — i trudność 1–5. Przy każdej opcji widzisz, ile pytań zostaje w puli.
Od razu wiesz, czy dobrze — i dlaczego. Zadania otwarte ocenia AI według zasad oceniania CKE, z punktacją częściową.
Pytanie z błędem wraca po kilku dniach z plakietką „Powtórka”. Powtórki zajmują najwyżej 30% sesji; wyłączasz je jednym przełącznikiem.
Quiz liczy Twój poziom z ostatnich odpowiedzi i podsuwa pytania, przy których trafiasz ok. 70% — nie za łatwe, nie za trudne.
Zaznaczasz odpowiedź, klikasz „Sprawdź” i widzisz, która była poprawna i dlaczego. Możesz też odsłonić odpowiedź bez rozwiązywania albo pominąć pytanie.
Kilka pytań z bazy z działu „Trygonometria” — kliknij odpowiedź i sprawdź.
Wprowadzenie
Zakres podstawowy działu VII to cztery wymagania: definicje sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów od 0° do 180° (w tym wartości dla 30°, 45° i 60°), wzory sin²α + cos²α = 1 i tg α = sin α / cos α, twierdzenie cosinusów ze wzorem na pole trójkąta P = ½·a·b·sin γ oraz rozwiązywanie trójkątów prostokątnych.
Zakres rozszerzony dodaje miarę łukową, wykresy i okresowość funkcji trygonometrycznych, wzory redukcyjne, wzory na sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów oraz kąta podwojonego, równania trygonometryczne, twierdzenie sinusów i rozwiązywanie dowolnych trójkątów.
Na egzaminie wolno korzystać z kalkulatora prostego i z „Wybranych wzorów matematycznych”, w których są m.in. wartości funkcji dla 0°, 30°, 45°, 60° i 90°, wzory redukcyjne, wzory na sumę i różnicę kątów oraz tablica wartości funkcji trygonometrycznych.
Przed maturą
Zacznij od: Jedynka trygonometryczna, Tangens przez sinus i cosinus, Wartości dla 30° i 60° i 9 kolejnych pozycji.
Pełna lista10 umiejętności do odhaczenia, od „Definicje sin, cos, tg w trójkącie prostokątnym” po „Wzory na sumę, różnicę i kąt podwojony (PR)”.
Lista umiejętności7 pułapek, np. „sin²α + cos²α = α”. Przy każdej jest poprawna wersja i wyjaśnienie.
Typowe błędyNajpierw krótki quiz, potem pełny sprawdzian z całego zakresu.
Zakres materiału
Wymagania szczegółowe podstawy programowej z matematyki: dział VII „Trygonometria”, pkt 1–4 w zakresie podstawowym i pkt 1–8 w zakresie rozszerzonym (Dz.U. 2024 poz. 1019).
sin α = przyprostokątna naprzeciw kąta / przeciwprostokątna, cos α = przyprostokątna przy kącie / przeciwprostokątna, tg α = przyprostokątna naprzeciw kąta / przyprostokątna przy kącie (VII.1). Definicje są w karcie wzorów.
sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1; cos 30° = √3/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = 1/2, cos 90° = 0; tg 30° = √3/3, tg 45° = 1, tg 60° = √3, tg 90° nie istnieje. Tabela tych wartości jest w karcie wzorów (VII.1).
sin²α + cos²α = 1. Stąd: sin²α = 1 − cos²α, cos²α = 1 − sin²α. tg α = sin α/cos α. Przydatne w zadaniach typu „jeśli sin α = 3/5, oblicz cos α” (VII.2).
Dla α ∈ (90°, 180°): sin α > 0, cos α < 0, tg α < 0. Kąty do 180° są w zakresie podstawowym (VII.1). Wzory sin(180°−α) = sin α, cos(180°−α) = −cos α, tg(180°−α) = −tg α są w karcie; stosowanie wzorów redukcyjnych jako osobne wymaganie należy do zakresu rozszerzonego.
P = ½·a·b·sin γ — gdy znasz dwa boki i kąt między nimi. Wzór działa dla każdego kąta γ: ostrego, prostego i rozwartego (VII.3).
a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R (R — promień okręgu opisanego). Używane, gdy znasz bok i kąt naprzeciw niego oraz jeszcze jeden bok lub kąt (VII, zakres rozszerzony, pkt 7).
c² = a² + b² − 2ab·cos γ. Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa (dla γ = 90° daje a² + b² = c²). Używane, gdy masz dwa boki i kąt między nimi albo trzy boki (VII.3, zakres podstawowy).
Wysokość obiektu widzianego pod danym kątem, drabina oparta o ścianę, dwa punkty obserwacji — zaczynaj od rysunku i wskazania trójkąta prostokątnego (VII.4).
sin x = a ma rozwiązania x = x₀ + 2kπ lub x = π − x₀ + 2kπ (k całkowite), gdzie x₀ to jedno z rozwiązań. Równania typu 2sin²x − sin x − 1 = 0 rozwiązuje się przez podstawienie t = sin x. Na końcu wybiera się rozwiązania z podanego przedziału (VII, zakres rozszerzony, pkt 6).
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β; sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α. Wszystkie są w karcie wzorów (VII, zakres rozszerzony, pkt 5).
Typowe błędy
Typowe błędy rachunkowe i poprawne przekształcenie obok każdego z nich.
sin²α + cos²α = α
sin²α + cos²α = 1 (dla każdego α)
Dlaczego: To tożsamość prawdziwa dla każdego kąta: suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest zawsze równa 1.
sin 120° = sin(90° + 30°) = sin 90° + sin 30° = 1,5
sin 120° = sin(180° − 60°) = sin 60° = √3/2
Dlaczego: sin(a+b) nie jest równe sin(a) + sin(b)! Funkcje trygonometryczne nie są addytywne. Używaj wzorów redukcyjnych lub wzorów na sumę kątów.
Jeśli sin α = 3/5, to cos α = 4/5 (zawsze)
Jeśli sin α = 3/5 i α ∈ (0°, 90°), to cos α = 4/5; jeśli α ∈ (90°, 180°), to cos α = −4/5
Dlaczego: Znak cos zależy od ćwiartki. Sprawdzaj zakres podany w zadaniu przed wyciągnięciem pierwiastka.
Przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych 3 i 4 ma długość 3 + 4 = 7
c = √(3² + 4²) = √25 = 5
Dlaczego: Z twierdzenia Pitagorasa c² = a² + b², a pierwiastek z sumy nie jest sumą pierwiastków. Przeciwprostokątna jest dłuższa od każdej przyprostokątnej, ale krótsza od ich sumy.
tg 90° = sin 90°/cos 90° = 1/0 = ∞ (nie istnieje, ale „wiem co miałem”)
tg 90° nie istnieje — funkcja tangens jest nieokreślona dla 90°
Dlaczego: Dzielenie przez zero. Tangens nie ma wartości w 90°, 270°, itd. Jeśli w zadaniu pojawia się tg 90°, najpewniej masz błąd w obliczeniach gdzieś wcześniej.
Pole trójkąta = ½ · a · b (gdy nie znasz kąta)
Pole trójkąta = ½ · a · b · sin C (gdy znasz dwa boki i kąt między nimi)
Dlaczego: Wzór ½·a·b działa tylko dla trójkąta prostokątnego (gdzie kąt między = 90°, więc sin 90° = 1 i czynnik znika). W ogólnym trójkącie musi być sin C.
cos(α − β) = cos α − cos β
cos(α − β) = cos α · cos β + sin α · sin β
Dlaczego: Wzór na różnicę kątów ma inną postać niż „odjąć wartości”. Wzór jest w karcie wzorów (wymaganie zakresu rozszerzonego). Sprawdzenie: cos(60° − 60°) = cos 0° = 1, a cos 60° − cos 60° = 0 — nie zgadza się.
Do zapamiętania
Bez tych nie ma o czym mówić.
Przykłady z bazy
Poniżej 5 prawdziwych zadań z bazy — każde innego typu.
P F
Tangens kąta ostrego może być ujemny.
P FDla każdego kąta zachodzi równość .
P FP F
Podaj wszystkie miejsca zerowe funkcji w przedziale [0, 2π].
Jak się uczyć
Kroki w kolejności, w jakiej naprawdę warto je wykonać.
Zacznij od definicji w trójkącie prostokątnym i rysunku z oznaczonym kątem: która przyprostokątna leży naprzeciw kąta, a która przy nim.
Wartości dla 30°, 45° i 60° są w karcie wzorów, ale warto je znać, bo przyspieszają rachunki.
Gdy znasz jedną funkcję kąta, pozostałe wyznacz z jedynki trygonometrycznej i wzoru tg α = sin α / cos α. Dla kąta rozwartego cosinus i tangens są ujemne.
Twierdzenie cosinusów: dwa boki i kąt między nimi albo trzy boki. Twierdzenie sinusów (poziom rozszerzony): bok i kąt naprzeciw niego oraz jeszcze jeden bok lub kąt.
W zadaniach z kontekstem praktycznym narysuj trójkąt i zapisz, co jest dane, a czego szukasz; dopiero potem wybierz funkcję.
Poziom rozszerzony, równania: sprowadź równanie do postaci z jedną funkcją (np. przez podstawienie t = sin x), rozwiąż je, a na końcu wybierz rozwiązania z podanego przedziału.
Poziom rozszerzony, tożsamości: przekształcaj jedną stronę, zamieniając tangens na iloraz sinusa i cosinusa i korzystając z jedynki trygonometrycznej.
FAQ
Wiedza z działu „Trygonometria” przyda Ci się też tutaj:
108 zadań z tego działu w quizie z wyjaśnieniami, powtórkami i oceną AI krok po kroku. Subskrypcja odblokowuje cały katalog i pozostałe przedmioty — anulujesz, kiedy chcesz.
Pełny dostęp od 49 zł/mies. · jednorazowo 59 zł na 30 dni (BLIK / Przelewy24 / Google Pay / Apple Pay / Revolut / Karta) · subskrypcję anulujesz w 1 kliknięciu
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane przypomnienia o nauce).
