Planimetria na maturze — trójkąty, czworokąty i okręgi bez gubienia punktów

Planimetria matura po maturze daje kilka zadań w każdym arkuszu, a mimo to wielu zdających traci na niej punkty, które teoretycznie „miało w kieszeni”. Problem rzadko polega na nieznajomości wzorów, bo większość z nich jest w karcie CKE. Kłopot pojawia się wcześniej: przy wyborze narzędzia. Masz trójkąt z dwoma bokami i kątem, okrąg z kilkoma punktami albo trapez z przekątnymi i nie wiesz, czy sięgnąć po twierdzenie cosinusów, podobieństwo, czy kąty wpisane. Poniżej znajdziesz mapę decyzji, która przypisuje typowym zestawom danych właściwe twierdzenie, zestawienie własności kątów w okręgu i czworokątów wpisanych oraz opisanych, zasadę skali pól przy podobieństwie, twierdzenia sinusów i cosinusów z przykładami, komplet wzorów na pole trójkąta i jedno zadanie w formacie CKE rozwiązane od początku do końca. Na koniec pięć błędów, które najczęściej odbierają punkty za dobry pomysł.

Planimetria na maturze — co obejmuje i ile jest warta

Planimetria to geometria figur płaskich: trójkątów, czworokątów, wielokątów i okręgów. W wymaganiach egzaminacyjnych Formuły 2023 dział występuje na obu poziomach, ale na rozszerzeniu narzędzi jest więcej, a zadania są wieloetapowe. W naszej analizie 15 typów zadań, które wracają na maturze z matematyki co roku geometria płaska pojawia się w każdym arkuszu, zarówno w zadaniach zamkniętych, jak i otwartych.

Umiejętność	Poziom podstawowy	Poziom rozszerzony
Twierdzenie Pitagorasa, funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym	tak	tak
Kąt wpisany i środkowy	tak	tak
Cechy podobieństwa trójkątów, stosunek pól figur podobnych	tak	tak
Twierdzenie sinusów i cosinusów	tak	tak
Czworokąt wpisany i opisany na okręgu	tak	tak
Kąt między styczną a cięciwą	nie	tak
Twierdzenie o odcinkach stycznych, siecznych i cięciw	nie	tak
Dowody geometryczne	w prostszej formie	tak, za 2–3 punkty

Na poziomie podstawowym zwykle wystarczy jedno twierdzenie na zadanie: oblicz kąt wpisany, oblicz bok z twierdzenia cosinusów, oblicz pole trójkąta podobnego. Na rozszerzeniu te same klocki łączą się w łańcuchy: najpierw kąt z okręgu, potem bok z twierdzenia sinusów, na końcu pole. Kto ma w głowie mapę narzędzi, buduje taki łańcuch od razu.

Mapa decyzji w planimetrii: dane w zadaniu → twierdzenie

To najważniejsza tabela w tym tekście. Przed pierwszym rachunkiem przeczytaj treść zadania i zaznacz, co jest dane. Prawie każdy układ danych ma swoje „naturalne” narzędzie.

Co masz w danych	Sygnał w treści	Narzędzie
Trójkąt prostokątny, dwa boki	„przyprostokątne”, „przeciwprostokątna”	twierdzenie Pitagorasa
Trójkąt prostokątny, bok i kąt ostry	„kąt ostry”, „tangens kąta”	sinus, cosinus, tangens w trójkącie prostokątnym
Dwa boki i kąt między nimi	„kąt przy wierzchołku A”, boki wychodzące z A	twierdzenie cosinusów (trzeci bok), pole $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$
Trzy boki	„długości boków są równe…”	twierdzenie cosinusów (kąt), wzór Herona
Bok i kąt naprzeciw niego	„promień okręgu opisanego”	twierdzenie sinusów
Proste równoległe przecinające ramiona kąta	„równoległy do podstawy”	twierdzenie Talesa, podobieństwo
Dwa trójkąty ze wspólnym kątem lub równoległymi bokami	„odcinek DE równoległy do AB”, przekątne trapezu	podobieństwo, skala pól $k^2$
Punkty na okręgu, kąty	„wpisany w okrąg”, „środek okręgu O”	kąt wpisany i środkowy
Czworokąt i okrąg	„można wpisać okrąg”, „wpisany w okrąg”	warunki czworokąta wpisanego lub opisanego
Trójkąty o wspólnej wysokości	wspólny wierzchołek, podstawy na jednej prostej	stosunek pól = stosunek podstaw
Współrzędne wierzchołków	punkty $A=(x, y)$	geometria analityczna
Polecenie „wykaż, że”	teza do udowodnienia	dowód geometryczny

Dwa ostatnie wiersze prowadzą poza planimetrię „czystą”. Gdy wierzchołki są podane współrzędnymi, zwykle szybciej liczy się metodami z tekstu o geometrii analitycznej na maturze. Gdy polecenie brzmi „wykaż”, ta sama wiedza musi przyjąć formę rozumowania z uzasadnieniami. Jak to zapisać, żeby egzaminator przyznał komplet, opisaliśmy w poradniku jak pisać dowody geometryczne na maturze rozszerzonej.

Wskazówka: zanim zaczniesz liczyć, narysuj figurę dużą, mniej więcej w proporcjach, i nanieś na nią wszystkie dane z treści. Połowa „niewidocznych” zależności, na przykład kąt oparty na średnicy albo wspólna wysokość dwóch trójkątów, wychodzi dopiero na porządnym rysunku.

Kąty w okręgu na maturze — wpisany, środkowy i czworokąty

Kąty w okręgu matura sprawdza prawie zawsze w zadaniu zamkniętym za 1 punkt, a na rozszerzeniu jako pierwszy krok dłuższego zadania. Wszystko opiera się na kilku zależnościach.

Własność	Treść
Kąt wpisany a środkowy	kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku
Kąty wpisane na tym samym łuku	są równe
Kąt wpisany oparty na półokręgu	jest prosty ($90^\circ$)
Styczna a promień	styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności
Kąt między styczną a cięciwą (pr)	jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku wyznaczonym przez tę cięciwę
Czworokąt wpisany w okrąg	sumy przeciwległych kątów są równe $180^\circ$
Czworokąt opisany na okręgu	sumy długości przeciwległych boków są równe: $a + c = b + d$

Najczęstsza pułapka dotyczy łuku. Jeśli kąt środkowy $\angle AOB$ ma $110^\circ$, to kąt wpisany $\angle ACB$ ma $55^\circ$, ale tylko wtedy, gdy punkt $C$ leży na dłuższym łuku $AB$. Jeśli $C$ leży na krótszym łuku, kąt wpisany jest oparty na łuku dopełniającym, któremu odpowiada kąt środkowy $360^\circ - 110^\circ = 250^\circ$, więc $\angle ACB = 125^\circ$. Zwróć uwagę, że $55^\circ + 125^\circ = 180^\circ$, co jest zgodne z warunkiem czworokąta wpisanego w okrąg (dwa punkty $C$ po przeciwnych stronach cięciwy $AB$ tworzą z $A$ i $B$ taki czworokąt).

Czworokąt wpisany i opisany — jak to wykorzystać

Warunki z tabeli działają w obie strony. Jeśli w czworokącie $\alpha + \gamma = 180^\circ$, to można na nim opisać okrąg. Jeśli $a + c = b + d$ (i czworokąt jest wypukły), to można w niego wpisać okrąg. Stąd dwa szybkie wnioski:

• każdy prostokąt da się wpisać w okrąg, a romb, który nie jest kwadratem, nie,
• w trapez równoramienny o podstawach $a$, $b$ i ramieniu $c$ da się wpisać okrąg dokładnie wtedy, gdy $a + b = 2c$.

Ten drugi wniosek wraca na maturze regularnie: znając podstawy trapezu opisanego na okręgu, od razu masz ramię, a z twierdzenia Pitagorasa wysokość, która jest równa średnicy okręgu wpisanego.

Podobieństwo trójkątów na maturze i skala pól

Podobieństwo trójkątów matura wykorzystuje na dwa sposoby: do wyznaczania brakujących długości i do porównywania pól. Trójkąty są podobne, gdy spełniają jedną z cech:

Cecha	Warunek
bbb	trzy pary boków proporcjonalne
bkb	dwie pary boków proporcjonalne i kąty między nimi równe
kkk (w praktyce kk)	dwie pary kątów równe

W zadaniach maturalnych dominuje cecha kk. Typowe sytuacje: odcinek równoległy do boku trójkąta (kąty odpowiadające przy prostych równoległych), przekątne trapezu (kąty naprzemianległe i wierzchołkowe), wysokość opuszczona na przeciwprostokątną (trzy trójkąty prostokątne podobne do siebie).

Jeśli skala podobieństwa wynosi $k$, to:

• stosunek odpowiadających długości (boków, wysokości, obwodów, promieni) wynosi $k$,
• stosunek pól wynosi $k^2$.

Przykład. W trójkącie $ABC$ o polu $50$ poprowadzono odcinek $DE$ równoległy do $AB$, przy czym $D \in AC$, $E \in BC$ i $|CD| : |CA| = 2 : 5$. Trójkąty $CDE$ i $CAB$ są podobne (cecha kk) w skali $k = \frac{2}{5}$. Pole trójkąta $CDE$ wynosi $50 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 50 \cdot \frac{4}{25} = 8$, a pole trapezu $ABED$ to $50 - 8 = 42$. Gdyby ktoś pomnożył przez $k$ zamiast $k^2$, dostałby $20$ i $30$, czyli wynik, który w zadaniu zamkniętym prawie na pewno jest jednym z dystraktorów.

Uwaga: przy przekątnych trapezu trójkąty „przy podstawach” są podobne w skali $\frac{a}{b}$ (stosunek podstaw), a trójkąty „przy ramionach” mają równe pola. Ten drugi fakt nie wynika z podobieństwa, tylko ze wspólnej wysokości, i często jest kluczem do zadań otwartych.

Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów na maturze

Oba twierdzenia są w karcie wzorów i oba służą do „rozwiązywania” dowolnego trójkąta, nie tylko prostokątnego. Różnią się tym, jakich danych potrzebują.

Twierdzenie cosinusów. W trójkącie o bokach $a$, $b$, $c$, w którym $\gamma$ jest kątem leżącym naprzeciw boku $c$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Twierdzenie cosinusów matura wymaga w dwóch sytuacjach: gdy znasz dwa boki i kąt między nimi (liczysz trzeci bok) albo gdy znasz trzy boki (liczysz kąt, przekształcając wzór do postaci $\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$). Ze znaku cosinusa od razu odczytasz typ kąta: dodatni oznacza kąt ostry, zero prosty, ujemny rozwarty.

Twierdzenie sinusów. W trójkącie wpisanym w okrąg o promieniu $R$:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$

Sięgasz po nie, gdy masz bok i kąt leżący naprzeciw niego (oraz drugi kąt lub drugi bok) albo gdy zadanie wspomina o okręgu opisanym. Związek z $2R$ to najszybsza droga do promienia okręgu opisanego na dowolnym trójkącie.

Przykład. W trójkącie $ABC$ kąt $\angle ACB = 120^\circ$, $|AC| = 3$, $|BC| = 5$. Bok $|AB|$:

$|AB|^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 9 + 25 - 30 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) = 34 + 15 = 49$

Zatem $|AB| = 7$. Promień okręgu opisanego: $2R = \frac{7}{\sin 120^\circ} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}}$, więc $R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$. Wartości funkcji dla kątów rozwartych i wzory redukcyjne typu $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ omówiliśmy szerzej w tekście o funkcjach trygonometrycznych na maturze.

Wzory na pole trójkąta — z karty i spoza niej

Pole trójkąta liczy się na maturze kilkoma wzorami, a dobór zależy znowu od danych. Większość z nich znajdziesz w karcie wybranych wzorów; co dokładnie zawiera aktualne wydanie broszury, opisaliśmy w tekście o karcie wzorów z matematyki CKE.

Wzór	Kiedy stosować	Źródło
$P = \frac{1}{2} a h_a$	znasz bok i opuszczoną na niego wysokość	karta CKE
$P = \frac{1}{2} ab\sin\gamma$	dwa boki i kąt między nimi	karta CKE
$P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, $p = \frac{a+b+c}{2}$	trzy boki (wzór Herona)	karta CKE
$P = r \cdot p$	promień okręgu wpisanego	karta CKE
$P = \frac{abc}{4R}$	promień okręgu opisanego	karta CKE
$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$	trójkąt równoboczny	karta CKE
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{a_1}{a_2}$ przy wspólnej wysokości	porównywanie pól trójkątów ze wspólnym wierzchołkiem	musisz umieć sam
$\frac{P_1}{P_2} = k^2$	trójkąty podobne	musisz umieć sam
$P$ figury = suma lub różnica pól	figury złożone, „odcinanie” trójkątów	musisz umieć sam

Trzy ostatnie wiersze to nie wzory, tylko techniki, i właśnie ich brakuje w karcie. Tymczasem zadania otwarte z planimetrii bardzo często da się rozwiązać wyłącznie porównywaniem pól, bez liczenia ani jednej długości. Warto też pamiętać, że wzory $P = r \cdot p$ i $P = \frac{abc}{4R}$ działają w obie strony: jeśli znasz pole i boki, wyznaczysz z nich promienie.

Przykład zadania CKE z planimetrii krok po kroku

Poniższe zadanie jest ułożone w formacie zadania otwartego z arkusza CKE (poziom podstawowy, 4 punkty). Rozwiązanie pokazuje, jak mapa decyzji przekłada się na kolejne kroki.

Treść. W trójkącie $ABC$ dane są $|AB| = 8$, $|AC| = 5$ oraz $\angle BAC = 60^\circ$. Oblicz długość boku $BC$, pole trójkąta $ABC$ oraz promienie okręgów opisanego i wpisanego w ten trójkąt.

Krok 1. Rozpoznanie danych. Dwa boki i kąt między nimi. Mapa decyzji wskazuje: twierdzenie cosinusów (trzeci bok) i wzór $\frac{1}{2}bc\sin\alpha$ (pole).

Krok 2. Bok $BC$.

$|BC|^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 25 - 80 \cdot \tfrac{1}{2} = 49$

Zatem $|BC| = 7$.

Krok 3. Pole.

$P = \tfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

Kontrola wzorem Herona: $p = \frac{8 + 5 + 7}{2} = 10$, więc $P = \sqrt{10 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$. Wyniki się zgadzają.

Krok 4. Promień okręgu opisanego. Znamy bok $|BC| = 7$ i kąt naprzeciw niego, $60^\circ$, więc twierdzenie sinusów:

$2R = \frac{7}{\sin 60^\circ} = \frac{14}{\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

Krok 5. Promień okręgu wpisanego. Z $P = r \cdot p$: $r = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}$.

Etap	Za co jest punkt	Typowa przyczyna utraty
Bok $BC$	poprawne zastosowanie tw. cosinusów	kąt nie między danymi bokami, kalkulator w radianach
Pole	wzór z sinusem lub Heron	pomylenie $\sin 60^\circ$ z $\cos 60^\circ$
$R$	tw. sinusów z parą bok–kąt naprzeciw	podzielenie przez $\sin$ złego kąta
$r$	$P = r \cdot p$ z połową obwodu	podstawienie całego obwodu zamiast połowy

Taki układ zadania jest dla CKE typowy: każdy kolejny wynik korzysta z poprzedniego, więc błąd w kroku 2 „ciągnie się” do końca. Dlatego kontrola pola drugim wzorem, która zajmuje minutę, jest dobrą inwestycją.

5 błędów, przez które planimetria matura odbiera punkty

Poniższe błędy dotyczą rachunku, a nie wiedzy, więc da się je wyeliminować samą kontrolą przed oddaniem arkusza.

Błąd	Jak wygląda	Jak go uniknąć
1. Stopnie zamiast radianów	kalkulator w trybie RAD podaje $\cos 60 \approx -0{,}95$ zamiast $0{,}5$	przed egzaminem ustaw tryb DEG; wartości dla $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$ znaj na pamięć
2. Zły kąt w tw. cosinusów	do wzoru trafia kąt, który nie leży między dwoma znanymi bokami	kąt we wzorze zawsze leży naprzeciw szukanego boku
3. Skala pól $k$ zamiast $k^2$	pole trójkąta podobnego w skali $\frac{1}{2}$ wychodzi połową, a nie ćwiartką	długości: $k$, pola: $k^2$, objętości: $k^3$
4. Znak cosinusa kąta rozwartego	$\cos 120^\circ$ przyjęty jako $\frac{1}{2}$	$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$; kąt rozwarty ma cosinus ujemny
5. Dwuznaczność sinusa	z $\sin\alpha = \frac{1}{2}$ wybrane tylko $\alpha = 30^\circ$	sprawdź, czy $150^\circ$ też jest możliwe przy danej sumie kątów

Błąd czwarty jest groźniejszy, niż wygląda: w przykładzie z kątem $120^\circ$ pomyłka w znaku daje $|AB|^2 = 19$ zamiast $49$, czyli zupełnie inny trójkąt. Błąd piąty pojawia się głównie na rozszerzeniu, gdy twierdzenie sinusów służy do wyznaczenia kąta. Jeśli dany jest dłuższy bok naprzeciw znanego kąta, drugi kąt jest jednoznaczny; jeśli krótszy, trzeba rozważyć dwa przypadki.

Te same pięć pułapek działa w stereometrii, bo każda bryła ostatecznie sprowadza się do trójkątów w przekrojach. Jak przenieść planimetrię na graniastosłupy i ostrosłupy, pokazaliśmy w tekście o stereometrii na maturze.

Planimetrii najlepiej uczy się seriami zadań tego samego typu, z natychmiastową informacją, w którym kroku pojawił się błąd. Na matury-online.pl znajdziesz 10 000+ zadań z 11 przedmiotów, w tym rozbudowany dział geometrii płaskiej, a każde rozwiązanie jest sprawdzane od razu. Możesz ćwiczyć zadania z planimetrii i całej matematyki w ramach planu za 49 zł/mies.

Najczęstsze pytania o planimetrię na maturze

Czy twierdzenie sinusów i cosinusów jest na karcie wzorów?

Tak. Oba twierdzenia znajdują się w karcie wybranych wzorów matematycznych CKE, którą dostajesz na egzaminie. Karta nie podpowiada jednak, kiedy którego użyć, i do tego służy mapa decyzji z tego tekstu.

Ile zadań z planimetrii jest w arkuszu maturalnym?

Zwykle kilka: jedno lub dwa zadania zamknięte (kąty, podobieństwo, pole) i co najmniej jedno zadanie otwarte. Dokładna liczba zmienia się co roku, ale geometria płaska nie zniknęła z żadnego arkusza Formuły 2023.

Czy na poziomie podstawowym trzeba znać kąt między styczną a cięciwą?

Nie jest to wymaganie poziomu podstawowego. Na podstawie wystarczy wiedzieć, że styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności, i znać zależność między kątem wpisanym a środkowym.

Jak szybko sprawdzić, czy trójkąt jest rozwartokątny?

Porównaj kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów pozostałych dwóch. Jeśli $c^2 > a^2 + b^2$, trójkąt jest rozwartokątny; jeśli równe, prostokątny; jeśli mniejsze, ostrokątny. To bezpośredni wniosek z twierdzenia cosinusów.

Podsumowanie

Planimetria matura sprawdza od lat w podobny sposób: kąty w okręgu, podobieństwo ze skalą pól, twierdzenia sinusów i cosinusów oraz pola trójkątów. Wzory są w karcie, więc o wyniku decyduje dobór narzędzia do danych i staranność w rachunkach. Zanim zaczniesz liczyć, sprawdź w mapie decyzji, jaki układ danych masz przed sobą, narysuj figurę w proporcjach i przy każdym wyniku zadaj sobie pytanie, czy nie wpadłeś w jedną z pięciu pułapek z ostatniej tabeli.

Najlepszy plan na najbliższe tygodnie to seria zadań z każdego wiersza mapy decyzji, a potem arkusze, w których planimetria łączy się z innymi działami. Po kilkunastu takich zadaniach wybór twierdzenia przestaje wymagać namysłu.