Logarytmy i funkcja wykładnicza na maturze — wzory, własności i typy zadań

Logarytmy na maturze rzadko są trudne rachunkowo, a mimo to regularnie kosztują punkty. Powód jest prawie zawsze ten sam: maturzysta pamięta wzór „mniej więcej”, myli logarytm sumy z logarytmem iloczynu albo rozwiązuje równanie logarytmiczne poprawnie, ale zapomina o dziedzinie i zostawia w odpowiedzi rozwiązanie, które nie istnieje. Z funkcją wykładniczą jest podobnie: wykres $y = 2^x$ zna każdy, ale przy $y = \left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ i nierówności połowa osób zapomina odwrócić znak. Poniżej masz komplet: definicję logarytmu i jej związek z potęgowaniem, wszystkie własności z przykładami, rozpiskę tego, co jest na karcie wzorów CKE, a czego musisz się nauczyć, własności funkcji wykładniczej, schematy rozwiązywania równań wykładniczych i logarytmicznych oraz zadania łączące logarytmy z ciągiem geometrycznym i procentem składanym.

Logarytmy na maturze — definicja i związek z potęgowaniem

Logarytm to po prostu wykładnik potęgi. Zapis $\log_a b = c$ odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść $a$, żeby otrzymać $b$?

$\log_a b = c \iff a^c = b, \quad \text{gdzie } a > 0,\ a \neq 1,\ b > 0$

Te trzy warunki są ważniejsze, niż się wydaje. Podstawa musi być dodatnia i różna od jedynki, a liczba logarytmowana musi być dodatnia. Nie istnieją więc $\log_2 0$, $\log_3 (-9)$ ani $\log_1 5$. Z tych warunków wynika cała późniejsza praca z dziedziną równań logarytmicznych.

Każdy logarytm możesz policzyć, zamieniając go na pytanie o potęgę:

Logarytm	Pytanie	Wynik
$\log_2 32$	$2^{?} = 32$	$5$
$\log_3 \tfrac{1}{9}$	$3^{?} = \tfrac{1}{9}$	$-2$
$\log_5 \sqrt{5}$	$5^{?} = 5^{1/2}$	$\tfrac{1}{2}$
$\log 1000$	$10^{?} = 1000$	$3$
$\log_{1/2} 8$	$\left(\tfrac{1}{2}\right)^{?} = 8$	$-3$
$\log_4 8$	$4^{?} = 8$, czyli $2^{2c} = 2^3$	$\tfrac{3}{2}$

Zapis $\log b$ bez podstawy oznacza logarytm dziesiętny, czyli $\log_{10} b$. Z definicji od razu wynikają trzy równości, które warto mieć w głowie bez zastanowienia: $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$ oraz $a^{\log_a b} = b$. Ta ostatnia wygląda groźnie, ale mówi tylko tyle, że podnosząc $a$ do potęgi „taka, która daje $b$”, dostajesz $b$. Przykład: $3^{\log_3 7} = 7$, a $2^{2\log_2 5} = 2^{\log_2 25} = 25$.

Własności logarytmów na maturze — pełny zestaw

Wszystkie poniższe wzory działają przy założeniu, że $a > 0$, $a \neq 1$ oraz $x, y > 0$.

Własność	Wzór	Przykład
Logarytm iloczynu	$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$	$\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2$
Logarytm ilorazu	$\log_a \tfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$	$\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$
Logarytm potęgi	$\log_a x^r = r \log_a x$	$\log_2 8^5 = 5 \cdot 3 = 15$
Zmiana podstawy	$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$	$\log_8 32 = \dfrac{\log_2 32}{\log_2 8} = \dfrac{5}{3}$
Odwrócenie	$\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$	$\log_9 3 = \dfrac{1}{\log_3 9} = \dfrac{1}{2}$
Potęga w podstawie	$\log_{a^k} b = \dfrac{1}{k} \log_a b$	$\log_{4} 32 = \dfrac{1}{2} \log_2 32 = \dfrac{5}{2}$

Dwa ostatnie wiersze nie są osobnymi wzorami do zapamiętania, tylko szczególnymi przypadkami zmiany podstawy. Jeśli zapomnisz, wyprowadzisz je w 20 sekund.

W praktyce najczęściej łączysz kilka własności naraz. Typowe zadanie zamknięte z poziomu podstawowego: oblicz $2\log_5 10 - \log_5 4$. Najpierw wciągasz współczynnik do potęgi ($2\log_5 10 = \log_5 100$), potem stosujesz logarytm ilorazu: $\log_5 \tfrac{100}{4} = \log_5 25 = 2$. Inny przykład: $\log_2 12 + \log_2 \tfrac{2}{3} = \log_2 \left(12 \cdot \tfrac{2}{3}\right) = \log_2 8 = 3$. Zasada jest zawsze ta sama: sprowadź wszystko do jednego logarytmu o jednej podstawie, a potem policz z definicji.

Uwaga: Nie istnieje wzór na logarytm sumy. $\log_a (x + y)$ nie jest równe $\log_a x + \log_a y$. To najczęstszy błąd w zadaniach z logarytmami, a w zadaniach zamkniętych dystraktory są projektowane właśnie pod niego. Podobnie $\log_a x \cdot \log_a y$ nie ma żadnego „zwijającego” wzoru.

Jeszcze jedna pułapka dla zaawansowanych: $\log_a x^2 = 2\log_a |x|$, a nie $2\log_a x$. Lewa strona istnieje dla każdego $x \neq 0$, prawa bez wartości bezwzględnej tylko dla $x > 0$. Na rozszerzeniu takie przekształcenie bez modułu potrafi „zgubić” połowę rozwiązań równania.

Logarytmy na karcie wzorów CKE — co tam jest, a czego musisz się nauczyć

Na egzaminie dostajesz „Wybrane wzory matematyczne” CKE. Logarytmom poświęcony jest osobny dział, ale ma on wyłącznie podstawy. Szczegółowe omówienie całej broszury znajdziesz w tekście Karta wybranych wzorów matematycznych CKE — co na niej jest. Tu skupmy się tylko na logarytmach i funkcji wykładniczej.

Wzór lub fakt	Na karcie CKE?	Komentarz
Definicja: $\log_a b = c \iff a^c = b$ z warunkami	tak	warunki $a>0$, $a\neq1$, $b>0$ są wypisane
Logarytm iloczynu, ilorazu, potęgi	tak	wystarczy odczytać
Zmiana podstawy logarytmu	tak	przydatny głównie na rozszerzeniu
Monotoniczność funkcji wykładniczej	tak (dział „Potęgi i pierwiastki”)	warto rozumieć, nie tylko odczytać
$\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$, $a^{\log_a b} = b$	nie	wynikają z definicji
Wykres $y = a^x$, asymptota, punkt $(0,1)$	nie	musisz umieć narysować z pamięci
Monotoniczność funkcji logarytmicznej	nie	potrzebna do nierówności logarytmicznych
Wyznaczanie dziedziny równania logarytmicznego	nie	to procedura, nie wzór
Podstawienie $t = a^x$ z warunkiem $t > 0$	nie	typowe na rozszerzeniu

Wniosek: karta zwalnia cię z pamiętania samych wzorów rachunkowych, ale nie zwalnia z rozumienia, kiedy ich użyć. Dziedzina, monotoniczność i schematy równań to rzeczy, które musisz wyćwiczyć. Pełną listę wzorów z całego zakresu (także tych spoza karty) masz w ściądze z wzorami matematycznymi na maturę.

Funkcja wykładnicza na maturze — wzory, wykres i własności

Funkcja wykładnicza to $f(x) = a^x$, gdzie $a > 0$ i $a \neq 1$. Jej zachowanie zależy wyłącznie od tego, czy podstawa jest większa, czy mniejsza od jedynki.

Własność	$a > 1$ (np. $2^x$)	$0 < a < 1$ (np. $\left(\tfrac12\right)^x$)
Dziedzina	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
Zbiór wartości	$(0, +\infty)$	$(0, +\infty)$
Monotoniczność	rosnąca	malejąca
Punkt przecięcia z osią $OY$	$(0, 1)$	$(0, 1)$
Miejsca zerowe	brak	brak
Asymptota pozioma	$y = 0$ przy $x \to -\infty$	$y = 0$ przy $x \to +\infty$
Różnowartościowość	tak	tak

Z tej tabeli wynikają trzy rzeczy, które sprawdzają zadania. Po pierwsze, $a^x > 0$ dla każdego $x$, więc równanie $2^x = -4$ nie ma rozwiązań. Po drugie, wykres $y = \left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ jest odbiciem wykresu $y = 2^x$ względem osi $OY$, bo $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$. Po trzecie, różnowartościowość oznacza, że z $a^u = a^w$ wynika $u = w$. Na tym opiera się podstawowa metoda rozwiązywania równań wykładniczych.

Przesunięcia wykresu

Zadania z wykresem często dotyczą funkcji $g(x) = a^{x - p} + q$. Wykres powstaje z $y = a^x$ przez przesunięcie o wektor $[p, q]$. Asymptota przesuwa się do $y = q$, zbiór wartości to $(q, +\infty)$, a punkt $(0, 1)$ przechodzi w $(p, 1 + q)$. Przykład: dla $g(x) = 3^{x+2} - 5$ asymptota to $y = -5$, zbiór wartości $(-5, +\infty)$, a funkcja jest rosnąca. Mechanika przesunięć jest identyczna jak przy innych funkcjach; jeśli chcesz ją powtórzyć na prostszym przykładzie, zajrzyj do tekstu o postaci kanonicznej funkcji kwadratowej.

Funkcja logarytmiczna $y = \log_a x$ jest funkcją odwrotną do wykładniczej. Jej wykres to odbicie wykresu $y = a^x$ względem prostej $y = x$: dziedzina $(0, +\infty)$, zbiór wartości $\mathbb{R}$, miejsce zerowe $x = 1$, asymptota pionowa $x = 0$. Monotoniczność jest taka sama jak funkcji wykładniczej o tej samej podstawie. Na poziomie podstawowym logarytmy pojawiają się głównie w obliczeniach, a funkcja logarytmiczna, równania i nierówności logarytmiczne to przede wszystkim materiał rozszerzenia.

Równania wykładnicze na maturze — dwie metody

Każde równanie wykładnicze rozwiązujesz jedną z dwóch metod. Pierwsza to sprowadzenie obu stron do tej samej podstawy i porównanie wykładników. Druga to logarytmowanie, gdy wspólnej podstawy nie da się znaleźć.

Metoda 1: ta sama podstawa

Przykład: $2^{x+1} = 8^{x-1}$. Zapisujesz $8 = 2^3$, więc prawa strona to $2^{3x-3}$. Z różnowartościowości: $x + 1 = 3x - 3$, czyli $x = 2$.

Przykład z ułamkiem: $\left(\tfrac{1}{3}\right)^x = 9$. Zamieniasz $\tfrac{1}{3} = 3^{-1}$ i $9 = 3^2$, dostajesz $3^{-x} = 3^2$, więc $x = -2$.

Przykład z pierwiastkiem: $4^x = 2\sqrt{2}$. Lewa strona to $2^{2x}$, prawa $2^{1} \cdot 2^{1/2} = 2^{3/2}$. Stąd $2x = \tfrac{3}{2}$ i $x = \tfrac{3}{4}$.

Metoda 2: logarytmowanie

Gdy masz $3^x = 7$, nie ma sensu szukać wspólnej podstawy. Z definicji logarytmu od razu $x = \log_3 7$. To pełnoprawna odpowiedź i nie trzeba jej przybliżać, chyba że polecenie tego wymaga. W bardziej złożonym przypadku, np. $5^{x} = 2^{x+1}$, logarytmujesz obie strony (np. logarytmem dziesiętnym): $x \log 5 = (x+1)\log 2$, skąd $x(\log 5 - \log 2) = \log 2$ i $x = \dfrac{\log 2}{\log 2{,}5}$.

Podstawienie $t = a^x$ (rozszerzenie)

Równanie $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$ wygląda na trudne, ale $4^x = (2^x)^2$. Podstawiasz $t = 2^x$ z warunkiem $t > 0$ i dostajesz zwykłe równanie kwadratowe $t^2 - 3t - 4 = 0$. Pierwiastki: $t = 4$ lub $t = -1$. Drugi odrzucasz, bo $2^x$ nie może być ujemne. Zostaje $2^x = 4$, czyli $x = 2$. Warunek $t > 0$ to punkt, za który egzaminator daje lub odbiera punkt w zadaniu otwartym.

Nierówności wykładnicze

Schemat jest ten sam co w równaniach, z jedną różnicą: przy podstawie z przedziału $(0, 1)$ zmieniasz zwrot nierówności. Przykład: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x > 4$. Zapisujesz $4 = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-2}$, więc $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x > \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-2}$. Funkcja jest malejąca, więc $x < -2$. Dla porównania $2^x > 4$ daje $x > 2$.

Równania logarytmiczne — schemat postępowania i dziedzina

Równania logarytmiczne mają jeden stały schemat i zawsze zaczynasz od dziedziny, nie od rachunków.

Krok	Co robisz	Dlaczego
1	Wyznaczasz dziedzinę: liczby logarytmowane $> 0$, podstawy $> 0$ i $\neq 1$	bez tego nie wiesz, które rozwiązania są prawdziwe
2	Sprowadzasz równanie do postaci $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ lub $\log_a f(x) = c$	własności iloczynu, ilorazu, potęgi
3	Opuszczasz logarytmy: $f(x) = g(x)$ lub $f(x) = a^c$	różnowartościowość lub definicja
4	Rozwiązujesz otrzymane równanie algebraiczne	najczęściej liniowe albo kwadratowe
5	Sprawdzasz każde rozwiązanie z dziedziną	odrzucasz rozwiązania obce

Przykład: $\log_2 (x - 1) + \log_2 (x + 1) = 3$.

1. Dziedzina: $x - 1 > 0$ i $x + 1 > 0$, czyli $x > 1$.
2. Logarytm iloczynu: $\log_2 \big((x-1)(x+1)\big) = 3$.
3. Z definicji: $x^2 - 1 = 2^3 = 8$.
4. $x^2 = 9$, więc $x = 3$ lub $x = -3$.
5. Do dziedziny należy tylko $x = 3$.

Gdybyś pominął krok 1, zostawiłbyś $x = -3$, a w zadaniu otwartym oznacza to utratę co najmniej jednego punktu. Zwróć uwagę na subtelność: wyrażenie $\log_2 \big((x-1)(x+1)\big)$ istnieje także dla $x < -1$, więc dziedzinę wyznaczasz z wyjściowego równania, nie z przekształconego.

Drugi typ to niewiadoma w podstawie: $\log_x 9 = 2$. Warunki: $x > 0$ i $x \neq 1$. Z definicji $x^2 = 9$, więc $x = 3$ (bo $x = -3$ odpada przez warunek $x > 0$).

Nierówności logarytmiczne rozwiązujesz tak samo, pamiętając o monotoniczności. Przykład: $\log_{1/2} (x - 2) > -1$. Dziedzina: $x > 2$. Zapisujesz $-1 = \log_{1/2} 2$. Podstawa jest mniejsza od 1, funkcja maleje, więc zwrot się zmienia: $x - 2 < 2$, czyli $x < 4$. Po uwzględnieniu dziedziny odpowiedź to $x \in (2, 4)$.

Wskazówka: W zadaniu otwartym zapisz dziedzinę jako osobną linijkę na samym początku rozwiązania, np. „$D: x > 1$”. Egzaminator widzi wtedy od razu, że ten etap jest zrobiony, a ty masz przypomnienie, żeby na końcu sprawdzić wynik.

Logarytmy, ciąg geometryczny i procent składany

Funkcja wykładnicza to ciągła wersja ciągu geometrycznego. Ciąg $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ jest funkcją wykładniczą zmiennej $n$, a wzór na procent składany $K_n = K_0 \left(1 + \tfrac{p}{100}\right)^n$ opisuje ciąg geometryczny o ilorazie $q = 1 + \tfrac{p}{100}$. Dlatego w zadaniach typu „po ilu latach” albo „który wyraz ciągu” lądujesz w równaniu wykładniczym, a często potrzebujesz logarytmu. Wzory na wyraz ogólny i sumę ciągu geometrycznego omawia szczegółowo tekst Ciągi arytmetyczne i geometryczne na maturze — wzory i typy zadań.

Przykład 1 (ciąg geometryczny). W ciągu geometrycznym $a_1 = 3$ i $q = 2$. Który wyraz jest równy $3072$? Układasz równanie $3 \cdot 2^{n-1} = 3072$, czyli $2^{n-1} = 1024 = 2^{10}$. Stąd $n - 1 = 10$ i $n = 11$.

Przykład 2 (procent składany). Po ilu pełnych latach kwota na lokacie oprocentowanej na 5% w skali roku, z roczną kapitalizacją, co najmniej się podwoi? Warunek: $K_0 \cdot 1{,}05^n \geq 2K_0$, czyli $1{,}05^n \geq 2$. Logarytmujesz obie strony: $n \geq \dfrac{\log 2}{\log 1{,}05} \approx \dfrac{0{,}3010}{0{,}0212} \approx 14{,}2$. Odpowiedź: po 15 latach. Na egzaminie przybliżone wartości logarytmów zwykle są podane w treści zadania albo w tablicach.

Przykład 3 (rozpad). Masa izotopu promieniotwórczego maleje według wzoru $m(t) = m_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/T}$, gdzie $T = 8$ dni to czas połowicznego rozpadu. Po ilu dniach zostanie $\tfrac{1}{16}$ masy początkowej? $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/8} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^4$, więc $t = 32$ dni. To typowe zadanie „z kontekstem”, w którym cała trudność polega na zauważeniu, że $\tfrac{1}{16}$ to potęga $\tfrac{1}{2}$.

Wszystkie trzy przykłady sprowadzają się do tego samego ruchu: zapisz warunek jako równość lub nierówność potęg, a jeśli podstaw nie da się wyrównać, zlogarytmuj.

Typy zadań z logarytmów i funkcji wykładniczej na maturze

Funkcje wykładnicze i logarytmy należą do grupy tematów, które wracają w arkuszach praktycznie co roku, co pokazuje zestawienie 15 typów zadań, które wracają na maturze z matematyki. Na poziomie podstawowym to zwykle 1-2 zadania zamknięte, na rozszerzeniu dochodzą równania i nierówności z dziedziną oraz zadania z parametrem.

Typ zadania	Poziom	Na co uważać
Oblicz wartość wyrażenia z logarytmami	podstawowy	sprowadzenie do jednej podstawy, brak wzoru na logarytm sumy
Porównaj liczby, np. $\log_2 10$ z $3$ i $4$	podstawowy	$2^3 < 10 < 2^4$, więc $3 < \log_2 10 < 4$
Proste równanie wykładnicze	podstawowy	wspólna podstawa, zamiana ułamków i pierwiastków na potęgi
Odczyt własności lub wzoru funkcji $a^{x-p}+q$ z wykresu	podstawowy	asymptota $y = q$, punkt $(0,1)$ po przesunięciu
Zadanie z kontekstem (lokata, rozpad, wzrost populacji)	oba	identyfikacja ilorazu $q$, interpretacja „pełnych lat”
Równanie wykładnicze z podstawieniem $t = a^x$	rozszerzony	warunek $t > 0$
Równanie i nierówność logarytmiczna	rozszerzony	dziedzina, zmiana zwrotu przy $0 < a < 1$
Zadanie z parametrem i logarytmem	rozszerzony	warunki istnienia logarytmu jako część układu warunków

Najwięcej punktów traci się nie na trudnych zadaniach, lecz na tych samych pięciu błędach:

1. Stosowanie nieistniejącego wzoru na $\log_a (x + y)$.
2. Pominięcie dziedziny w równaniu lub nierówności logarytmicznej.
3. Brak zmiany zwrotu nierówności przy podstawie z przedziału $(0, 1)$.
4. Pozostawienie ujemnego $t$ po podstawieniu $t = a^x$.
5. Mylenie $\log_a x^2$ z $2\log_a x$ dla $x$, które może być ujemne.

Te błędy wychodzą dopiero przy rozwiązywaniu wielu zadań pod rząd, nie przy czytaniu teorii. Na platformie matury-online.pl masz ponad 10 000 zadań z 11 przedmiotów, w tym zadania z logarytmów i funkcji wykładniczej. Możesz ćwiczyć zadania z matematyki z natychmiastowym sprawdzaniem odpowiedzi i od razu widzieć, które typy zadań wymagają powtórki, za 49 zł/mies.

Najczęstsze pytania o logarytmy na maturze

Czy logarytmy są na maturze podstawowej?

Tak. Na poziomie podstawowym musisz znać definicję logarytmu i umieć stosować wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi, głównie w zadaniach obliczeniowych. Funkcja logarytmiczna, równania i nierówności logarytmiczne oraz zadania z podstawieniem to przede wszystkim materiał poziomu rozszerzonego.

Czy wzory na logarytmy są na karcie wzorów?

Tak, definicja i własności (iloczyn, iloraz, potęga, zmiana podstawy) są w broszurze „Wybrane wzory matematyczne”. Nie ma tam natomiast schematu rozwiązywania równań, zasad wyznaczania dziedziny ani wykresów funkcji.

Czy w odpowiedzi mogę zostawić wynik w postaci logarytmu?

Tak, jeśli polecenie nie wymaga przybliżenia. Odpowiedź $x = \log_3 7$ jest dokładna i pełnowartościowa. Przybliżenie podajesz wtedy, gdy zadanie prosi o wynik „z dokładnością do…” albo pyta o liczbę całkowitą, np. liczbę lat.

Jak szybko sprawdzić, czy dobrze policzyłem logarytm?

Wróć do definicji: jeśli wyszło ci $\log_a b = c$, sprawdź, czy $a^c = b$. Przy równaniach podstaw wynik do wyjściowego równania. To zajmuje kilkanaście sekund i wyłapuje większość pomyłek rachunkowych.

Podsumowanie

Logarytmy na maturze opierają się na jednej równoważności: $\log_a b = c \iff a^c = b$. Z niej wynikają warunki istnienia, wartości szczególne i cała technika rozwiązywania równań. Własności rachunkowe masz na karcie CKE, więc twoja praca polega na wyćwiczeniu trzech nawyków: zaczynaj od dziedziny, przy podstawie mniejszej od 1 odwracaj zwrot nierówności, a przy podstawieniu $t = a^x$ pamiętaj o warunku $t > 0$. Funkcja wykładnicza łączy ten dział z ciągiem geometrycznym i procentem składanym, więc zadanie „po ilu latach kwota się podwoi” jest w gruncie rzeczy równaniem wykładniczym rozwiązywanym logarytmem. Jeśli opanujesz schematy z tego tekstu i przerobisz kilkadziesiąt zadań każdego typu, logarytmy przestaną być tematem, który się omija, a staną się źródłem pewnych punktów.