Kombinatoryka – testy maturalne z matematyki 2027

O temacie

Kombinatoryka — najważniejsze fakty

Kombinatoryka uczy liczyć – ale nie liczby, tylko układy rzeczy. Ile sposobów ustawienia 5 osób w kolejce? Ile możliwych 3-osobowych delegacji z klasy 30 osób? Ile kodów PIN można utworzyć? Klucz do sukcesu w quizie: rozpoznać który schemat zastosować. Reguła mnożenia (kolejne wybory niezależne) → mnóż liczby możliwości. Permutacja (ustawienie wszystkich n elementów) → n!.

Wariacja bez powtórzeń (k z n, kolejność ważna) → n!/(n − k)!. Kombinacja (k z n, kolejność nieważna) → C(n, k) = n!/(k!(n − k)!). Wariacja z powtórzeniami → nᵏ. To pięć wzorów do zapamiętania na całą maturę – quiz drilluje rozróżnianie ich w pytaniach kontekstowych.

Quiz w Matury Online — panel „Filtruj” z zaznaczonym tematem „Kombinatoryka” i pytaniem z tego tematu

Jak działa quiz

Quiz z kombinatoryki — krok po kroku

1Filtr tematu. W kreatorze sesji wybierasz „Kombinatoryka”, poziom (podstawa / rozszerzenie) i liczbę pytań — losują się tylko pytania z tego tematu. W trakcie sesji panel „Filtruj” zawęża jeszcze typ zadania i trudność 1–5.
2Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi. Klikasz „Sprawdź odpowiedź” i od razu widzisz, czy dobrze, oraz dlaczego. Odpowiedzi otwarte ocenia AI według kryteriów CKE.
3Trudność i powtórki. Quiz dobiera pytania do Twojego poziomu (celuje w ok. 70% trafień), a te, z którymi miałeś kłopot, wracają jako powtórki — po dniu, po tygodniu, potem coraz rzadziej.

Rozpocznij quiz

W tym quizie

Typy pytań w teście z kombinatoryki

Tematyka i typy zadań zgodne z wymaganiami CKE dla tego przedmiotu. Każdy typ pokazujemy tak, jak wygląda w Quizie.

🚧

Bank tego tematu w przygotowaniu

Poniżej pokazujemy spodziewane typy zadań na podstawie wymagań CKE dla tego przedmiotu. Pytania pojawią się wkrótce.

Spodziewane typy zadań

6 typów · tak jak w Quizie

matury-online.pl/dashboard

✍️ Przykład

Jaki środek stylistyczny dominuje w inwokacji?

AApostrofa✓

BMetafora

COksymoron

DHiperbola

◉Typ 01

Zamknięte (A–D)

Wybierz jedną z 4 odpowiedzi A/B/C/D. Klasyk matur — najczęstszy typ.

📚Wszystkie przedmioty

matury-online.pl/dashboard

Funkcja f(x) = x² − 4x + 3. Zaznacz wszystkie prawdziwe:

Wybierz wszystkie poprawne

✓Miejsca zerowe to x₁=1 oraz x₂=3✓

✓Wierzchołek paraboli ma współrzędne (2, −1)✓

Funkcja przyjmuje minimum w x = 0

✓Funkcja jest malejąca w (−∞, 2⟩✓

☑Typ 02

Wielokrotny wybór

Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Częściowe punkty za hity, kary za false-positive.

📚Wszystkie przedmioty

matury-online.pl/dashboard

Uzupełnij wzory sumaryczne soli:

1. Węglan wapnia:

CaCO₃

✓

2. Siarczan(VI) sodu:

Na₂SO₄

✓

3. Azotan(V) potasu:

KNO₃

✓

AI akceptuje synonimy i drobne literówki

⎵Typ 03

Uzupełnij

Wpisz brakujący wzór, datę, nazwę. AI akceptuje synonimy i drobne literówki.

📚Matma, chemia, fizyka, geografia, BiZ

matury-online.pl/dashboard🤖 AI

Wyjaśnij, dlaczego krytykowano traktat ryski (1921). (2 pkt)

„Traktat ryski nie przywrócił granic z 1772 r. Polska zrezygnowała z Mińska i znacznej części Kresów. Federaliści (obóz Piłsudskiego) krytykowali rezygnację z federacji z Ukrainą i Białorusią…”

2/2

🤖 Ocena AI · 28 s · CKE-style

„Trafne wskazanie konfliktu inkorporacja vs federacja.”

+12 XP

✎Typ 04AI ocenia

Otwarte

Odpowiedz pełnym zdaniem. AI ocenia w 30 s z komentarzem CKE.

📚Wszystkie przedmioty

Pozostałe typy w tym banku (2)

↕Dowód — kolejność📈Wykres

Zakres testu

„Kombinatoryka” – co sprawdza test?

8 kluczowych umiejętności – każdą przećwiczysz na pytaniach w Quizie.

Reguła mnożenia (podstawowa zasada kombinatoryki)

Jeśli A można wykonać na m sposobów i potem B na n sposobów, to A·B na m·n sposobów. Klucz: kolejne wybory niezależne. Przykład: menu 3 zupy × 5 dań × 4 desery = 60 zestawów.

Permutacje – n!

Liczba sposobów ustawienia wszystkich n elementów w rzędzie = n! = n·(n−1)·...·2·1. 0! = 1 (umowa). Klasyczne pytanie: ile zdjęć 5 osób w rzędzie? 5! = 120. Quiz testuje to natychmiast.

Wariacje bez powtórzeń

Wybierasz k z n elementów, kolejność ważna, bez powtórzeń: V(n, k) = n!/(n − k)! = n·(n−1)·...·(n − k + 1). Przykład: pierwsze 3 miejsca na podium z 10 zawodników = 10·9·8 = 720.

Wariacje z powtórzeniami

Kolejność ważna, każdy element może się powtórzyć: nᵏ. Klasyczne: kod PIN z 4 cyfr (każda cyfra 0–9): 10⁴ = 10000 kodów. Test bardzo lubi PIN i hasła.

Kombinacje – C(n, k)

Wybierasz k z n, kolejność nieważna: C(n, k) = n!/(k!·(n−k)!) = (n choose k). Klasyk: 5 z 49 w Lotto = C(49, 5). Quiz wyłapuje rozróżnienie kombinacji vs wariacji – kluczowe rozumienie kolejności.

Symbol Newtona i dwumian Newtona (PR)

(n choose k) = n!/(k!(n−k)!), własności: (n choose 0) = (n choose n) = 1, (n choose k) = (n choose n−k). Dwumian Newtona: (a + b)ⁿ = Σ (n choose k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Test PR często stawia obliczenie konkretnego współczynnika.

Podziały z warunkami (PR)

Klasyk: ile sposobów wybrania 3-osobowej delegacji, w której są przynajmniej 2 chłopców z grupy 5 chłopców i 4 dziewczyn? Rozbij na przypadki: 2 chłopców + 1 dziewczyna, 3 chłopców + 0 dziewczyn. Suma C(5,2)·C(4,1) + C(5,3)·C(4,0).

Liczba podzbiorów zbioru

Zbiór n-elementowy ma 2ⁿ podzbiorów (włącznie z pustym i całym). Liczba podzbiorów k-elementowych = C(n, k). Suma: 2ⁿ = Σ C(n, k). Klasyczne pytanie quizu z teorii zbiorów.

📝 Do zapamiętania

Wzory do zapamiętania – „Kombinatoryka”

Wzory, które wracają w pytaniach z działu „Kombinatoryka” – minimum, bez którego quiz nie ma sensu.

Silnia: n! = n·(n−1)·...·2·1, 0! = 1
Reguła mnożenia: Reguła mnożenia: m·n
Permutacja: Permutacja: P(n) = n!
Wariacja bez powtórzeń: Wariacja bez powtórzeń: V(n,k) = n!/(n−k)!
Wariacja z powtórzeniami: Wariacja z powtórzeniami: nᵏ
Kombinacja: C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!)
Krańce symbolu: (n choose 0) = (n choose n) = 1
Symetria symbolu: (n choose k) = (n choose n−k)
Suma symboli: Σ C(n,k) = 2ⁿ
Dwumian Newtona: (a+b)ⁿ = Σ (n choose k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ
Podzbiory zbioru: Liczba podzbiorów = 2ⁿ

Na czym potykają się maturzyści

Najczęstsze błędy w teście z kombinatoryki

Quiz pokazuje, gdzie najczęściej leci punktacja – sprawdź, czy nie wpadasz w te same pułapki.

❌ Częsty błąd

Liczba sposobów ustawienia 5 osób = 5·5·5·5·5 = 3125.

✅ Poprawnie

5! = 5·4·3·2·1 = 120.

Dlaczego: Każda osoba zajmuje jedno miejsce, kolejny wybór ma o jedną osobę mniej. Wariacja z powtórzeniami (nᵏ) byłaby jeśli osoby mogłyby się powtarzać. Klasyczna pułapka w teście.

❌ Częsty błąd

Liczba 3-elementowych podzbiorów z 5 = 5·4·3 = 60.

✅ Poprawnie

C(5, 3) = 10.

Dlaczego: Wariacja bez powtórzeń (kolejność ważna) daje 60. Kombinacja (kolejność nieważna) = wariacja podzielona przez 3! = 6. Quiz testuje to natychmiast.

❌ Częsty błąd

Liczba kodów PIN 4-cyfrowych z różnych cyfr = 10⁴ = 10000.

✅ Poprawnie

10·9·8·7 = 5040.

Dlaczego: Bez powtórzeń = wariacja bez powtórzeń, nie z powtórzeniami. Test sprawdza, czy umiesz odczytać warunek „różne cyfry” jako bez powtórzeń.

❌ Częsty błąd

0! = 0

✅ Poprawnie

0! = 1 (umowa)

Dlaczego: Symbol Newtona (n choose 0) = n!/(0!·n!) = 1/0! → wymaga 0! = 1, żeby działał. Klasyczne pytanie testu na samym początku kombinatoryki.

❌ Częsty błąd

C(7, 3) = C(7, 4) bo trzeba podzielić 7 na 2 grupy.

✅ Poprawnie

C(7, 3) = C(7, 4) – zgadza się, ale z powodu własności kombinacji: (n choose k) = (n choose n − k).

Dlaczego: Wynik prawdziwy, ale uzasadnienie błędne. Quiz w pytaniu „Dowód — kolejność” testuje, czy znasz właściwą własność. AI rozróżnia poprawny wynik z błędnym uzasadnieniem.

❌ Częsty błąd

Wszystkie liczby 3-cyfrowe z cyfr 1, 2, 3 (z powtórzeniami): 3³ = 27.

✅ Poprawnie

27 – to jest poprawnie.

Dlaczego: To jeden z prostych przypadków, gdzie wariacja Z powtórzeniami daje 3³ = 27. Quiz pokazuje to dla potwierdzenia – upewniamy się, że student dobrze identyfikuje typ.

❌ Częsty błąd

Liczba możliwości wybrania kierowcy i pasażera spośród 5 osób = C(5, 2) = 10.

✅ Poprawnie

V(5, 2) = 5·4 = 20 (kierowca i pasażer to różne role).

Dlaczego: Kierowca i pasażer = ważna kolejność (kto kierowcą, kto pasażerem). To wariacja, nie kombinacja. Quiz wyłapuje to pytaniem kontekstowym.

Strategia

„Kombinatoryka” – jak rozwiązywać test

Kolejność kroków, która działa zarówno w quizie, jak i na prawdziwej maturze.

1 Pierwsze pytanie quizu identyfikuje typ – widzisz tekst, decydujesz: permutacja, wariacja, kombinacja? Klucz: czy kolejność ważna i czy powtórzenia.
2 5 wzorów do pamięci: P(n), V(n,k), V(n,k) z powtórzeniami = nᵏ, C(n,k), 2ⁿ.
3 Reguła mnożenia – stosuj gdy widzisz „kolejne wybory niezależne”. Mnóż liczby możliwości po kolei.
4 Kombinacja vs wariacja: zapytaj „czy A, B vs B, A to to samo?”. Jeśli tak → kombinacja. Jeśli nie → wariacja.
5 Z powtórzeniami vs bez: zapytaj „czy element może wystąpić dwa razy?”. Jeśli tak → z powtórzeniami (nᵏ). Jeśli nie → bez (n!/(n−k)!).
6 Symbol Newtona oblicz w 3 krokach: licznik (n!), mianownik (k!·(n−k)!), uproszczenie. Quiz akceptuje każdą formę.
7 Podziały z warunkami: rozbij na przypadki, oblicz każdy osobno, sumuj. Quiz testuje to w pytaniach „Otwarte” na PR.

Pytania o test z kombinatoryki

Co sprawdza test z kombinatoryki?

Zadania z działu „Kombinatoryka” na poziomie podstawowym i rozszerzonym, w zakresie wymagań podstawy programowej z matematyki (Dz.U. 2024 poz. 1019).

Jakie rodzaje pytań są w teście?

Zamknięte i otwarte, tak jak w arkuszu: wybór odpowiedzi, prawda–fałsz, dopasowanie, uzupełnianie oraz zadania z pełnym rozwiązaniem. Rozkład typów w tym teście widać wyżej na stronie i pochodzi z bazy pytań.

Jak oceniane są odpowiedzi otwarte?

Odpowiedzi otwarte ocenia AI i pokazuje, w którym kroku rozwiązania jest błąd. Na egzaminie w zadaniach otwartych liczy się tok rozumowania, a nie tylko wynik.

Czym test różni się od arkusza maturalnego?

Test obejmuje jeden dział i podaje wyjaśnienie po każdej odpowiedzi. Arkusz na poziomie podstawowym to 180 minut i 50 punktów, z czego połowa za zadania zamknięte i połowa za otwarte; na poziomie rozszerzonym 180 minut, 50 punktów i wyłącznie zadania otwarte (Informator CKE).