Test z kombinatoryki: reguła mnożenia i dodawania, a na poziomie rozszerzonym permutacje, wariacje, kombinacje i symbol Newtona.
Konto zakładasz w minutę · pełny dostęp do wszystkich przedmiotów od 49 zł/mies.
Sprawdzian z kombinatoryki w wersji szkolnej →
O temacie
Test obejmuje dział XI podstawy programowej „Kombinatoryka”. W zakresie podstawowym wymagane jest zliczanie obiektów w prostych sytuacjach oraz stosowanie reguły mnożenia i reguły dodawania, także łącznie. Wzory na liczbę permutacji, wariacji i kombinacji oraz symbol Newtona i jego własności to zakres rozszerzony; wszystkie są w karcie wzorów.
W każdym zadaniu trzeba ustalić, czy kolejność wybieranych elementów ma znaczenie i czy elementy mogą się powtarzać.
Pytania z bazy dla tego tematu
Prawdziwe pytania z bazy — kliknij odpowiedź i sprawdź. Po jednym z każdego dostępnego typu (do 6 zakładek). Tak samo wyglądają pytania w Quizie w aplikacji, gdzie odpowiedzi otwarte ocenia AI.
Jak działa quiz
W tym quizie
Quiz losuje spośród 101 pytań w bazie. Każdy typ pokazujemy tak, jak wygląda w Quizie.
Wybierz jedną z 4 odpowiedzi A/B/C/D.
Odpowiedz pełnym zdaniem. AI ocenia w 30 s z komentarzem CKE.
Wybierz wszystkie poprawne
Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Częściowe punkty za hity, kary za false-positive.
Połącz elementy w pary: termin → definicja, autor → dzieło, wzór → nazwa.
Zakres testu
8 kluczowych umiejętności – każdą przećwiczysz na pytaniach w Quizie.
Jeśli pierwszą czynność można wykonać na m sposobów, a drugą na n sposobów, to obie po kolei na m·n sposobów. Przykład: 3 zupy × 5 dań × 4 desery = 60 zestawów (XI.2, zakres podstawowy).
Gdy możliwości dzielą się na rozłączne przypadki, liczby sposobów z przypadków się dodaje (XI.2, zakres podstawowy).
Liczba ustawień n różnych elementów w ciąg = n! = 1·2·…·n, przy czym 0! = 1. Przykład: 5 osób w rzędzie można ustawić na 5! = 120 sposobów.
Ciąg k różnych elementów z n: n!/(n − k)! = n·(n−1)·…·(n − k + 1). Przykład: trzy miejsca na podium dla 10 zawodników — 10·9·8 = 720.
Ciąg k elementów z n, elementy mogą się powtarzać: nᵏ. Przykład: czterocyfrowy PIN z cyfr 0–9 — 10⁴ = 10 000 kodów.
Wybór k elementów z n bez kolejności: C(n, k) = n!/(k!·(n−k)!). Przykład: wybór 6 liczb z 49 — C(49, 6) = 13 983 816 możliwości.
C(n, 0) = C(n, n) = 1, C(n, k) = C(n, n − k), C(n, k) + C(n, k + 1) = C(n + 1, k + 1). Wzór dwumianowy: (a + b)ⁿ = Σ C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Wszystko to jest w karcie wzorów.
Przykład: delegacje 3-osobowe z 5 chłopców i 4 dziewcząt, w których jest co najmniej 2 chłopców: C(5,2)·C(4,1) + C(5,3)·C(4,0) = 40 + 10 = 50.
📝 Do zapamiętania
Wzory, które wracają w pytaniach z działu „Kombinatoryka” – minimum, bez którego quiz nie ma sensu.
Na czym potykają się maturzyści
Sprawdź, czy nie wpadasz w te pułapki – przy każdej jest poprawna wersja i wyjaśnienie.
Liczba sposobów ustawienia 5 osób = 5·5·5·5·5 = 3125.
5! = 5·4·3·2·1 = 120.
Dlaczego: Każda osoba zajmuje jedno miejsce, więc na kolejne miejsce zostaje o jedną osobę mniej. 5⁵ liczyłoby ustawienia, w których ta sama osoba może się powtarzać.
Liczba 3-elementowych podzbiorów z 5 = 5·4·3 = 60.
C(5, 3) = 10.
Dlaczego: 60 to liczba ciągów (kolejność ważna). Podzbiór nie ma kolejności, więc dzieli się przez 3! = 6.
Liczba kodów PIN 4-cyfrowych z różnych cyfr = 10⁴ = 10000.
10·9·8·7 = 5040.
Dlaczego: Warunek „różne cyfry” oznacza, że każda kolejna cyfra ma o jedną możliwość mniej.
0! = 0
0! = 1 (umowa)
Dlaczego: Tę umowę podaje karta wzorów; dzięki niej C(n, 0) = n!/(0!·n!) = 1.
C(7, 3) i C(7, 4) to różne liczby.
C(7, 3) = C(7, 4) = 35.
Dlaczego: Wybór 3 elementów z 7 wyznacza jednocześnie 4 elementy niewybrane: C(n, k) = C(n, n − k).
Liczb trzycyfrowych zapisanych cyframi ze zbioru {0, 1, 2} (z powtórzeniami) jest 3³ = 27.
Jest ich 2·3·3 = 18.
Dlaczego: Cyfrą setek nie może być 0, więc na pierwszym miejscu są tylko 2 możliwości.
Liczba możliwości wybrania kierowcy i pasażera spośród 5 osób = C(5, 2) = 10.
5·4 = 20 (kierowca i pasażer to różne role).
Dlaczego: Zamiana ról daje inny wybór, więc liczy się kolejność.
Strategia
Kolejność kroków przy rozwiązywaniu – w quizie i na maturze.
Zadania z działu „Kombinatoryka” na poziomie podstawowym i rozszerzonym, w zakresie wymagań podstawy programowej z matematyki (Dz.U. 2024 poz. 1019).
Zamknięte i otwarte, tak jak w arkuszu: wybór odpowiedzi, prawda–fałsz, dopasowanie, uzupełnianie oraz zadania z pełnym rozwiązaniem. Rozkład typów w tym teście widać wyżej na stronie i pochodzi z bazy pytań.
Odpowiedzi otwarte ocenia AI i pokazuje, w którym kroku rozwiązania jest błąd. Na egzaminie w zadaniach otwartych liczy się tok rozumowania, a nie tylko wynik.
Test obejmuje jeden dział i podaje wyjaśnienie po każdej odpowiedzi. Arkusz na poziomie podstawowym to 180 minut i 50 punktów, z czego połowa za zadania zamknięte i połowa za otwarte; na poziomie rozszerzonym 180 minut, 50 punktów i wyłącznie zadania otwarte (Informator CKE).
Te działy łączą się z tematem „Kombinatoryka” – przećwicz je w Quizie.
101 pytań w bazie, wyjaśnienie po każdej odpowiedzi, ocena AI odpowiedzi otwartych, trudność dopasowana do Ciebie i powtórki tego, co sprawiło Ci kłopot. Pełny dostęp do wszystkich przedmiotów — 49 zł/mies.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane przypomnienia o nauce).
