Test z kombinatoryki – reguła mnożenia, permutacje, wariacje, kombinacje, symbol Newtona. Pięć wzorów, które rozwiązują 90% zadań – quiz uczy rozpoznawania, który użyć.
Tematyka i typy zadań zgodne z wymaganiami CKE dla tego przedmiotu. Każdy typ pokazany 1:1 z grą.
Wybierz jedną z 4 odpowiedzi A/B/C/D. Klasyk matur — najczęstszy typ.
Wybierz wszystkie poprawne
Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Częściowe punkty za hity, kary za false-positive.
AI akceptuje synonimy i drobne literówki
Wpisz brakujący wzór, datę, nazwę. AI akceptuje synonimy i drobne literówki.
Odpowiedz pełnym zdaniem. AI ocenia w 30 s z komentarzem CKE.
8 kluczowych umiejętności – każda przećwiczona w pytaniach quizu.
Pasek pokazuje typowy rozkład czasu w sesji — każda sesja dotyka kilku obszarów jednocześnie.
Jeśli A można wykonać na m sposobów i potem B na n sposobów, to A·B na m·n sposobów. Klucz: kolejne wybory NIEZALEŻNE. Przykład: menu 3 zupy × 5 dań × 4 desery = 60 zestawów.
Liczba sposobów ustawienia wszystkich n elementów w rzędzie = n! = n·(n−1)·...·2·1. 0! = 1 (umowa). Klasyczne pytanie: ile zdjęć 5 osób w rzędzie? 5! = 120. Quiz testuje to natychmiast.
Wybierasz k z n elementów, kolejność WAŻNA, BEZ powtórzeń: V(n, k) = n!/(n − k)! = n·(n−1)·...·(n − k + 1). Przykład: pierwsze 3 miejsca na podium z 10 zawodników = 10·9·8 = 720.
Kolejność ważna, każdy element MOŻE się powtórzyć: nᵏ. Klasyczne: kod PIN z 4 cyfr (każda cyfra 0–9): 10⁴ = 10000 kodów. Test bardzo lubi PIN i hasła.
Wybierasz k z n, kolejność NIEWAŻNA: C(n, k) = n!/(k!·(n−k)!) = (n choose k). Klasyk: 5 z 49 w Lotto = C(49, 5). Quiz wyłapuje rozróżnienie kombinacji vs wariacji – kluczowe rozumienie kolejności.
(n choose k) = n!/(k!(n−k)!), własności: (n choose 0) = (n choose n) = 1, (n choose k) = (n choose n−k). Dwumian Newtona: (a + b)ⁿ = Σ (n choose k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Test PR często stawia obliczenie konkretnego współczynnika.
Klasyk: ile sposobów wybrania 3-osobowej delegacji, w której są przynajmniej 2 chłopców z grupy 5 chłopców i 4 dziewczyn? Rozbij na przypadki: 2 chłopców + 1 dziewczyna, 3 chłopców + 0 dziewczyn. Suma C(5,2)·C(4,1) + C(5,3)·C(4,0).
Zbiór n-elementowy ma 2ⁿ podzbiorów (włącznie z pustym i całym). Liczba podzbiorów k-elementowych = C(n, k). Suma: 2ⁿ = Σ C(n, k). Klasyczne pytanie quizu z teorii zbiorów.
Wzory, które wracają w pytaniach z działu „Kombinatoryka" – minimum, bez którego quiz nie ma sensu.
Quiz pokazuje, gdzie najczęściej leci punktacja – sprawdź, czy nie wpadasz w te same pułapki.
Liczba sposobów ustawienia 5 osób = 5·5·5·5·5 = 3125.
5! = 5·4·3·2·1 = 120.
Dlaczego: Każda osoba zajmuje JEDNO miejsce, kolejny wybór ma o jedną osobę mniej. Wariacja z powtórzeniami (nᵏ) byłaby jeśli osoby mogłyby się powtarzać. Klasyczna pułapka w teście.
Liczba 3-elementowych podzbiorów z 5 = 5·4·3 = 60.
C(5, 3) = 10.
Dlaczego: Wariacja bez powtórzeń (kolejność WAŻNA) daje 60. Kombinacja (kolejność NIEWAŻNA) = wariacja podzielona przez 3! = 6. Quiz testuje to natychmiast.
Liczba kodów PIN 4-cyfrowych z różnych cyfr = 10⁴ = 10000.
10·9·8·7 = 5040.
Dlaczego: Bez powtórzeń = wariacja BEZ powtórzeń, nie z powtórzeniami. Test sprawdza, czy umiesz odczytać warunek „różne cyfry” jako BEZ powtórzeń.
0! = 0
0! = 1 (umowa)
Dlaczego: Symbol Newtona (n choose 0) = n!/(0!·n!) = 1/0! → wymaga 0! = 1, żeby działał. Klasyczne pytanie testu na samym początku kombinatoryki.
C(7, 3) = C(7, 4) bo trzeba podzielić 7 na 2 grupy.
C(7, 3) = C(7, 4) – ZGADZA SIĘ, ale z powodu własności kombinacji: (n choose k) = (n choose n − k).
Dlaczego: Wynik prawdziwy, ale uzasadnienie błędne. Quiz w pytaniu PROOF_ORDER testuje, czy znasz właściwą własność. AI rozróżnia poprawny wynik z błędnym uzasadnieniem.
Wszystkie liczby 3-cyfrowe z cyfr 1, 2, 3 (z powtórzeniami): 3³ = 27.
27 – to jest poprawnie.
Dlaczego: To jeden z prostych przypadków, gdzie wariacja Z powtórzeniami daje 3³ = 27. Quiz pokazuje to dla potwierdzenia – upewniamy się, że student dobrze identyfikuje typ.
Liczba możliwości wybrania kierowcy i pasażera spośród 5 osób = C(5, 2) = 10.
V(5, 2) = 5·4 = 20 (kierowca i pasażer to RÓŻNE role).
Dlaczego: Kierowca i pasażer = WAŻNA kolejność (kto kierowcą, kto pasażerem). To wariacja, NIE kombinacja. Quiz wyłapuje to pytaniem kontekstowym.
Kolejność kroków, która działa zarówno w quizie, jak i na prawdziwej maturze.
Każdy krok jest taki sam niezależnie od działu — zmienia się tylko zawartość pytań.
Odpowiadasz na pytania jedno po drugim. System dobiera trudność, AI ocenia odpowiedzi otwarte w 30 s.
System wybiera pytanie o trudności dopasowanej do Twojej formy. Bez listy – nie wiesz, co dostaniesz.
Zaznaczasz, piszesz, łączysz. Otwarte odpowiedzi ocenia AI w 30 s wg kryteriów CKE – z konkretnym feedbackiem.
Trafiasz – kolejne pytanie trudniejsze. Mylisz się – łatwiejsze. Tak doganiasz luki, których nie widzisz sam.
W sesji ogólnej 1–2 pytania. W sesji „Tylko kombinatoryka”: 2 z reguły mnożenia, 2 z permutacji, 3 z wariacji (z i bez powtórzeń), 3 z kombinacji, 2 z dwumianu Newtona (PR), 2 z podziałów z warunkami (PR). Sesja trwa 20 minut.
Trzy pytania kontrolne: (1) Wybieram WSZYSTKIE elementy? TAK → permutacja n!. (2) Wybieram k z n, kolejność ważna? TAK → wariacja V(n,k). (3) Wybieram k z n, kolejność NIEważna? TAK → kombinacja C(n,k). Plus pytanie 0: powtórzenia możliwe? Jeśli tak, wariacja z powtórzeniami → nᵏ.
Kolejnością. Wariacja: kolejność WAŻNA (kierowca i pasażer to różne role). Kombinacja: kolejność NIEWAŻNA (delegacja 3-osobowa – wszystko jedno kto pierwszy). C(n,k) = V(n,k) / k! – kombinacja to wariacja podzielona przez liczbę uporządkowań tych samych k elementów.
Rzadko. Symbol Newtona (n choose k) – tak, na PP. Dwumian (a+b)ⁿ jako wzór – głównie na PR. Quiz dla PP nie poda Ci pytania „rozwiń (x+2)⁷”, ale może spytać o pojedynczy współczynnik.
Pytanie OPEN typu „Ile delegacji 3-osobowych z 5 chłopców i 4 dziewczyn ma co najmniej 1 chłopca?”. AI sprawdza: (1) Rozbicie na przypadki (1 chł + 2 dz, 2 chł + 1 dz, 3 chł + 0 dz). (2) Obliczenie każdego (C(5,1)·C(4,2), C(5,2)·C(4,1), C(5,3)·C(4,0)). (3) Suma. Każdy krok = 1 pkt.
Tak, w „prawdopodobieństwo-i-statystyka” jest osobny dział, ale część pytań tam wymaga kombinatoryki (klasyczna definicja P(A) = |A|/|Ω|). W kombinatoryce sama – uczysz liczyć, w prawdopodobieństwie – stosujesz to liczenie do prawdopodobieństw.
Dziesiątki pytań, AI ocenia w 30 s, adaptacyjna trudność. Pierwsze pytanie po założeniu konta – bez karty.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane powiadomienia o powtórkach).