Test z rachunku różniczkowego (TYLKO PR) – pochodne, ekstrema, punkty przegięcia, styczne, całki, pole obszaru. 8–14 punktów z arkusza PR – największa pojedyncza inwestycja punktowa.
Tematyka i typy zadań zgodne z wymaganiami CKE dla tego przedmiotu. Każdy typ pokazany 1:1 z grą.
Wybierz jedną z 4 odpowiedzi A/B/C/D. Klasyk matur — najczęstszy typ.
Wybierz wszystkie poprawne
Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Częściowe punkty za hity, kary za false-positive.
AI akceptuje synonimy i drobne literówki
Wpisz brakujący wzór, datę, nazwę. AI akceptuje synonimy i drobne literówki.
Odpowiedz pełnym zdaniem. AI ocenia w 30 s z komentarzem CKE.
9 kluczowych umiejętności – każda przećwiczona w pytaniach quizu.
Pasek pokazuje typowy rozkład czasu w sesji — każda sesja dotyka kilku obszarów jednocześnie.
lim 1/n = 0, lim qⁿ = 0 dla |q| < 1, lim (1 + 1/n)ⁿ = e. Symbol 0/0 → użyj rozkładu na czynniki, dzielenia, podstawienia. lim x→∞ wielomianu/wielomianu = stosunek najwyższych potęg.
f'(x) = lim h→0 (f(x+h) − f(x))/h. Wzory: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x, (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (aˣ)' = aˣ·ln a, (log_a x)' = 1/(x·ln a). Quiz testuje wszystkie 7 wzorów.
(f + g)' = f' + g' (suma). (f·g)' = f'g + fg' (iloczyn). (f/g)' = (f'g − fg')/g² (iloraz). (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x) (łańcuchowa). Najczęstsze pomyłki w iloczynie i ilorazie – quiz to sprawdza.
f rosnąca ⟺ f' ≥ 0 (po przedziale). f malejąca ⟺ f' ≤ 0. Ekstremum lokalne w x₀: f'(x₀) = 0 ORAZ zmiana znaku f' wokół x₀. Quiz pokazuje wykres f', a Ty odczytujesz monotoniczność f.
f wypukła ⟺ f'' > 0. f wklęsła ⟺ f'' < 0. Punkt przegięcia w x₀: f''(x₀) = 0 ORAZ zmiana znaku f''. Klasyczne pytanie: dla jakich x funkcja jest wypukła?
Styczna w P(x₀, f(x₀)): y − f(x₀) = f'(x₀)·(x − x₀). Klucz: pochodna w punkcie = współczynnik kierunkowy stycznej. Test stawia 1–2 pytania o styczną.
Klasyk: znajdź wymiary pudełka o maksymalnej objętości. Schemat: (1) zapis funkcji V(x) jednej zmiennej, (2) policz V'(x), (3) rozwiąż V'(x) = 0, (4) sprawdź, czy to maksimum (II pochodna lub zmiana znaku I pochodnej), (5) podaj wynik. Quiz testuje cały ten 5-krokowy schemat.
Całka nieoznaczona: ∫f(x)dx = F(x) + C, gdzie F'(x) = f(x). Wzory podstawowe: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1), ∫eˣdx = eˣ + C, ∫1/x dx = ln|x| + C. Całka oznaczona: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) (wzór Newtona–Leibniza). Quiz osobno testuje całki nieoznaczone (wynik z C) i oznaczone (wynik liczbowy).
Pole obszaru ograniczonego krzywymi y = f(x) i y = g(x) (f ≥ g) na ⟨a, b⟩: P = ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx. Klucz: zidentyfikuj GÓRNĄ i DOLNĄ krzywą, znajdź punkty przecięcia (granice). Test PR bardzo lubi to pytanie OPEN za 3 punkty.
Wzory, które wracają w pytaniach z działu „Rachunek różniczkowy" – minimum, bez którego quiz nie ma sensu.
Quiz pokazuje, gdzie najczęściej leci punktacja – sprawdź, czy nie wpadasz w te same pułapki.
(x⁵)' = x⁴
(x⁵)' = 5·x⁴
Dlaczego: Wzór: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹. Współczynnik n MNOŻY potęgę – tracisz go w połowie wyników. Quiz wyłapuje to pierwszym pytaniem o pochodną wielomianu.
(f·g)' = f'·g'
(f·g)' = f'·g + f·g' (reguła iloczynu)
Dlaczego: Pochodna iloczynu NIE jest iloczynem pochodnych. Jeden z najczęstszych błędów na PR. AI w teście odejmie 2 pkt – pomyłka kosztuje całe zadanie.
Ekstremum w x₀ ⟺ f'(x₀) = 0
f'(x₀) = 0 to WARUNEK KONIECZNY, ale nie wystarczający. Trzeba sprawdzić zmianę znaku f' lub znak f''(x₀).
Dlaczego: f(x) = x³ ma f'(0) = 0, ale nie ma ekstremum w 0. Quiz testuje to przykładem x³ – Ty wybierasz, czy jest ekstremum.
∫xⁿdx = xⁿ + C
∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C dla n ≠ −1
Dlaczego: Całkowanie PODNOSI potęgę i dzieli przez nowy wykładnik. Klasyczna pułapka, bo wygląda jak pochodna w drugą stronę. Quiz na PR sprawdza to każdą sesją.
(eˣ)' = x·eˣ⁻¹
(eˣ)' = eˣ
Dlaczego: Funkcja wykładnicza eˣ jest jedyną funkcją równą swojej pochodnej. NIE traktuj jej jak potęgi (x⁵). Test wyłapuje tę pomyłkę pytaniem ABCD.
(ln x)' = ln x
(ln x)' = 1/x
Dlaczego: Pochodna logarytmu naturalnego to 1/x – funkcja wymierna, nie logarytm. Quiz testuje to obok pochodnej eˣ – obie razem w jednej sesji.
Pole obszaru = ∫ₐᵇ f(x)dx jeśli f(x) < 0 w przedziale
Pole obszaru musi być DODATNIE. Jeśli f < 0, użyj −∫f lub ∫|f|.
Dlaczego: Całka funkcji ujemnej daje wartość ujemną – to nie jest pole. AI sprawdza, czy pamiętałeś o module/znaku. Brak minusa to −1 pkt z zadania.
Kolejność kroków, która działa zarówno w quizie, jak i na prawdziwej maturze.
Każdy krok jest taki sam niezależnie od działu — zmienia się tylko zawartość pytań.
Odpowiadasz na pytania jedno po drugim. System dobiera trudność, AI ocenia odpowiedzi otwarte w 30 s.
System wybiera pytanie o trudności dopasowanej do Twojej formy. Bez listy – nie wiesz, co dostaniesz.
Zaznaczasz, piszesz, łączysz. Otwarte odpowiedzi ocenia AI w 30 s wg kryteriów CKE – z konkretnym feedbackiem.
Trafiasz – kolejne pytanie trudniejsze. Mylisz się – łatwiejsze. Tak doganiasz luki, których nie widzisz sam.
Nie. Rachunek różniczkowy (pochodne, całki) jest TYLKO na poziomie rozszerzonym. W quizie dla PP nie zobaczysz pytań z tego działu. Włącz PR w ustawieniach sesji, żeby trenować.
W 15-pytaniowej sesji PR z całości matematyki dostajesz 3–5 pytań z rachunku. W sesji „Tylko rachunek różniczkowy”: 5 z pochodnych podstawowych, 3 z reguł różniczkowania, 3 z ekstremów, 2 ze stycznej, 2 z optymalizacji, 3 z całek, 2 z pola obszaru. Sesja trwa 35–40 minut.
Pytanie OPEN typu „Znajdź wymiary pudełka o maksymalnej objętości”. AI sprawdza: (1) zapis funkcji V(x), (2) obliczenie V'(x), (3) rozwiązanie V'(x) = 0, (4) sprawdzenie, że to maksimum (II pochodna lub zmiana znaku), (5) wynik końcowy. Każdy krok = 1 pkt, razem 5 punktów. AI cofnie 1 pkt, jeśli pominiesz weryfikację ekstremum.
Tak, na PR. Całka przez podstawienie (∫f(g(x))·g'(x)dx) i przez części (∫f·g'dx = f·g − ∫f'·g dx) pojawiają się w 1–2 pytaniach OPEN na sesję. Quiz oznacza te pytania badge'em „advanced PR” – nie są w pierwszej połowie sesji.
Tak. Po sesji widzisz raport: ile pytań kliknięto z pochodnej potęgi, eˣ, ln, trygonometrycznych, sumy, iloczynu, ilorazu, łańcuchowej. Najczęstszy słaby punkt: reguła iloczynu i łańcuchowa. System zważa kolejną sesję na te dwie reguły – dostaniesz 6–7 pytań pod nie.
Klasyczne pytanie: „Wyznacz równanie stycznej do wykresu f(x) = x²−3x w punkcie x₀ = 2”. AI sprawdza: f(2) = −2, f'(x) = 2x−3 czyli f'(2) = 1, styczna: y + 2 = 1·(x − 2) → y = x − 4. Każdy krok punktowany. To dobry przykład pytania OPEN za 3 pkt.
Dziesiątki pytań, AI ocenia w 30 s, adaptacyjna trudność. Pierwsze pytanie po założeniu konta – bez karty.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane powiadomienia o powtórkach).