Test z ciągów – arytmetyczny, geometryczny, sumy, granice i indukcja. Dział „schematyczny” – w quizie wystarczy klikać kilkanaście wzorów, żeby zgarniać pewne punkty.
Tematyka i typy zadań zgodne z wymaganiami CKE dla tego przedmiotu. Każdy typ pokazany 1:1 z grą.
Wybierz jedną z 4 odpowiedzi A/B/C/D. Klasyk matur — najczęstszy typ.
Wybierz wszystkie poprawne
Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Częściowe punkty za hity, kary za false-positive.
AI akceptuje synonimy i drobne literówki
Wpisz brakujący wzór, datę, nazwę. AI akceptuje synonimy i drobne literówki.
Odpowiedz pełnym zdaniem. AI ocenia w 30 s z komentarzem CKE.
7 kluczowych umiejętności – każda przećwiczona w pytaniach quizu.
Pasek pokazuje typowy rozkład czasu w sesji — każda sesja dotyka kilku obszarów jednocześnie.
Stała różnica r między kolejnymi wyrazami: aₙ₊₁ − aₙ = r. Wzór ogólny: aₙ = a₁ + (n − 1)·r. Suma: Sₙ = n/2·(a₁ + aₙ) = n/2·(2a₁ + (n − 1)·r). Test sprawdza wszystkie 3 zastosowania w odrębnych pytaniach.
Stały iloraz q między kolejnymi wyrazami: aₙ₊₁ / aₙ = q. Wzór ogólny: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. Suma: Sₙ = a₁·(1 − qⁿ)/(1 − q) dla q ≠ 1. W quizie typowe pytanie – znajdź q z dwóch wyrazów niesąsiednich.
lim aₙ = g oznacza, że dla każdego ε > 0 prawie wszystkie wyrazy są w (g − ε, g + ε). Standardowe granice: lim 1/n = 0, lim qⁿ = 0 dla |q| < 1, lim (1 + 1/n)ⁿ = e. Test PR często stawia limit wielomian/wielomian – wystarczy spojrzeć na najwyższe potęgi.
Dla |q| < 1: S∞ = a₁ / (1 − q). Klasyczne zastosowanie: ułamek okresowy 0,(3) = 3/10 + 3/100 + ... = (3/10)/(1 − 1/10) = 1/3. Quiz lubi to pytanie, bo łączy kilka pojęć.
Schemat: (1) krok bazowy P(1), (2) krok indukcyjny: zakładamy P(n), pokazujemy P(n + 1). W teście pojawia się jako PROOF_ORDER – uporządkuj kroki dowodu. AI sprawdza, czy uwzględniłeś oba kroki.
Procent składany, raty malejące, amortyzacja, wzrost populacji. Klucz: rozpoznaj, czy to ciąg arytmetyczny (stałe + lub −) czy geometryczny (stały ·). Test ma osobny pool pytań kontekstowych – wykrywa, czy umiesz przełożyć słowny opis na wzór.
Zapis ciągu przez wzór rekurencyjny: a₁ = ?, aₙ₊₁ = f(aₙ). Klasyczne ciągi: Fibonacciego (aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ), arytmetyczny i geometryczny w postaci rekurencyjnej. Quiz testuje, czy rozumiesz różnicę zapisów ogólnego i rekurencyjnego.
Wzory, które wracają w pytaniach z działu „Ciągi" – minimum, bez którego quiz nie ma sensu.
Quiz pokazuje, gdzie najczęściej leci punktacja – sprawdź, czy nie wpadasz w te same pułapki.
Suma 10 pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego o a₁ = 3 i r = 2 to S₁₀ = 10·(3 + 19) = 220.
S₁₀ = (10/2)·(3 + 19) = 5·22 = 110.
Dlaczego: Wzór: Sₙ = n/2·(a₁ + aₙ). Łatwo pominąć ułamek n/2 i pomnożyć przez n. Test wyłapuje to pytaniem ABCD z 4 odpowiedziami, gdzie 220 jest jednym z dystraktorów.
Ciąg 2, 4, 8, 16 jest arytmetyczny.
Ciąg 2, 4, 8, 16 jest geometryczny (q = 2).
Dlaczego: Sprawdzaj różnicę I iloraz. Tu różnice są 2, 4, 8 – nie stałe. Iloraz: 4/2 = 2, 8/4 = 2, 16/8 = 2 – stały. Klasyczne pytanie rozpoznawcze w quizie.
Suma nieskończonego ciągu 1 + 2 + 4 + 8 + ... istnieje.
Ten ciąg jest rozbieżny (q = 2 > 1), suma NIE istnieje.
Dlaczego: Warunek istnienia sumy S∞ to |q| < 1. Quiz sprawdza, czy znasz warunek – pytanie prawda/fałsz albo wybór warunku z kilku opcji.
lim (n² + 1)/(n + 2) = 1 przy n → ∞
lim (n² + 1)/(n + 2) = ∞ (rozbieżny do +∞)
Dlaczego: Wielomian wyższego stopnia w liczniku → granica = ∞. Wzór: lim wielomian_p/wielomian_q dla n → ∞: jeśli p > q → ±∞, p = q → stosunek najwyższych potęg, p < q → 0. Test PR często sprawdza ten schemat.
Indukcja: założenie + pokazanie P(1).
Indukcja: (1) sprawdź P(1) – baza, (2) załóż P(n), pokaż P(n + 1) – krok.
Dlaczego: Studenci często mieszają kroki. Klucz: BAZA i KROK to dwie oddzielne części. Bez bazy dowód jest niepełny – AI w pytaniach PROOF_ORDER odejmie 1 punkt.
W ciągu arytmetycznym aₙ = a₁ + n·r.
W ciągu arytmetycznym aₙ = a₁ + (n − 1)·r.
Dlaczego: Pierwsze (n − 1) kroków różnicy od a₁ do aₙ – jeden zamiennik mniej niż wyrazów. Pomyłka warta 2 punktów. Test sprawdza to natychmiast – pierwszy wyraz quizu z arytmetycznych.
Suma 0,5 + 0,25 + 0,125 + ... = 2.
Suma = 0,5/(1 − 0,5) = 1.
Dlaczego: S∞ = a₁/(1 − q), a₁ = 0,5, q = 0,5 → 0,5/0,5 = 1. Często liczy się błędnie a₁/q. Quiz pokazuje to pytaniem zarówno w postaci dziesiętnej, jak i ułamkowej – dwa różne ataki na to samo pojęcie.
Kolejność kroków, która działa zarówno w quizie, jak i na prawdziwej maturze.
Każdy krok jest taki sam niezależnie od działu — zmienia się tylko zawartość pytań.
Odpowiadasz na pytania jedno po drugim. System dobiera trudność, AI ocenia odpowiedzi otwarte w 30 s.
System wybiera pytanie o trudności dopasowanej do Twojej formy. Bez listy – nie wiesz, co dostaniesz.
Zaznaczasz, piszesz, łączysz. Otwarte odpowiedzi ocenia AI w 30 s wg kryteriów CKE – z konkretnym feedbackiem.
Trafiasz – kolejne pytanie trudniejsze. Mylisz się – łatwiejsze. Tak doganiasz luki, których nie widzisz sam.
W 15-pytaniowej sesji z całej matematyki ciągów dostajesz 2–3 pytania. Jeśli ustawisz sesję „Tylko ciągi” – pełen przegląd: 4 pytania z arytmetycznych, 4 z geometrycznych, 2–3 z granic (PR), 1–2 z indukcji (PR), 1–2 finansowe. Sesja trwa 20–25 minut.
Tylko na PR. W quizie dla PP pytań o S∞ nie dostaniesz. Gdy włączysz PR, test pyta zarówno o samą wartość S∞, jak i o warunek istnienia (|q| < 1) – to dwa różne typy pytań w tej samej sesji.
Indukcja w teście pojawia się jako PROOF_ORDER (uporządkuj kroki) lub OPEN (napisz dowód). W PROOF_ORDER masz 4–6 kart z fragmentami dowodu – przeciągasz w prawidłowej kolejności. AI ocenia tylko końcową kolejność. W OPEN AI sprawdza obecność: (1) bazy P(1), (2) założenia P(n), (3) kroku P(n) ⟹ P(n + 1), (4) wniosku „zatem dla każdego n ∈ ℕ”. Każdy krok = 1 punkt.
Tak. Po 2–3 błędnych pytaniach o sumę quiz wstawia krótką notkę przypominającą wzór PRZED kolejnym pytaniem. Po 3 kolejnych takich „przypomnieniach” widzisz to pytanie już bez pomocy – sprawdzamy, czy utrwaliłeś.
Quiz ma osobny pool 8–12 pytań z kontekstem finansowym. Typowe: „Wpłaciłeś 5000 zł na 5%, oprocentowanie roczne, składane. Ile masz po 3 latach?”. To kombinacja ciągu geometrycznego (aₙ = a₁·1,05ⁿ) z procentem składanym. AI ocenia: zapis wzoru (1 pkt), poprawne podstawienie (1 pkt), wynik z dokładnością do zadanej precyzji (1 pkt).
Nie. Granice są tylko na PR. W quizie PP nie zobaczysz pytań o lim aₙ. Jeśli grasz mieszanym PP+PR, granice pojawią się z mniejszą wagą i z badge'em „PR”.
Dziesiątki pytań, AI ocenia w 30 s, adaptacyjna trudność. Pierwsze pytanie po założeniu konta – bez karty.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane powiadomienia o powtórkach).