Test z ciągów: ciąg arytmetyczny i geometryczny, sumy wyrazów, ciągi rekurencyjne, a na poziomie rozszerzonym granice ciągów i szereg geometryczny.
Konto zakładasz w minutę · pełny dostęp do wszystkich przedmiotów od 49 zł/mies.
Sprawdzian z ciągów w wersji szkolnej →
O temacie
Test obejmuje dział VI podstawy programowej „Ciągi”.
Zakres podstawowy to: wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym, początkowe wyrazy ciągu określonego rekurencyjnie, badanie w prostych przypadkach, czy ciąg jest rosnący, czy malejący, rozpoznawanie ciągu arytmetycznego i geometrycznego, wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów oraz zadania z kontekstem praktycznym, np. procent składany.
Zakres rozszerzony dodaje granice ciągów i sumę zbieżnego szeregu geometrycznego. Indukcji matematycznej podstawa programowa nie wymienia. Wzory na wyrazy i sumy obu ciągów, sumę szeregu geometrycznego i wybrane granice są w karcie wzorów.
Pytania z bazy dla tego tematu
Prawdziwe pytania z bazy — kliknij odpowiedź i sprawdź. Po jednym z każdego dostępnego typu (do 6 zakładek). Tak samo wyglądają pytania w Quizie w aplikacji, gdzie odpowiedzi otwarte ocenia AI.
Jak działa quiz
W tym quizie
Quiz losuje spośród 110 pytań w bazie. Każdy typ pokazujemy tak, jak wygląda w Quizie.
Wybierz jedną z 4 odpowiedzi A/B/C/D.
Odpowiedz pełnym zdaniem. AI ocenia w 30 s z komentarzem CKE.
Dane: m = 4 kg, F = 12 N
Wzór + wynik liczbowy. AI sprawdza obliczenia krok po kroku.
Ciąg jest malejący.
Wyraz jest równy .
Ciąg jest arytmetyczny o różnicy .
Oceń kilka stwierdzeń. Każde osobno punktowane.
Zakres testu
7 kluczowych umiejętności – każdą przećwiczysz na pytaniach w Quizie.
Stała różnica r między kolejnymi wyrazami: aₙ₊₁ − aₙ = r. Wzór ogólny: aₙ = a₁ + (n − 1)·r. Suma: Sₙ = n/2·(a₁ + aₙ) = n/2·(2a₁ + (n − 1)·r) (VI.5).
Stały iloraz q między kolejnymi wyrazami: aₙ₊₁ / aₙ = q. Wzór ogólny: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. Suma: Sₙ = a₁·(1 − qⁿ)/(1 − q) dla q ≠ 1, Sₙ = n·a₁ dla q = 1 (VI.6).
lim aₙ = g oznacza, że dla każdego ε > 0 prawie wszystkie wyrazy są w (g − ε, g + ε). Granice z karty wzorów: lim 1/nᵏ = 0 dla k > 0, lim qⁿ = 0 dla |q| < 1, lim ⁿ√a = 1 dla a > 0, lim (1 + 1/n)ⁿ = e. W ilorazie wielomianów dzieli się licznik i mianownik przez najwyższą potęgę n z mianownika (VI, zakres rozszerzony, pkt 1).
Dla |q| < 1: S∞ = a₁ / (1 − q). Klasyczne zastosowanie: ułamek okresowy 0,(3) = 3/10 + 3/100 + ... = (3/10)/(1 − 1/10) = (3/10)/(9/10) = 1/3 (VI, zakres rozszerzony, pkt 2).
W prostych przypadkach bada się znak różnicy aₙ₊₁ − aₙ: dodatnia dla każdego n oznacza ciąg rosnący, ujemna — malejący (VI.3).
Procent składany, stałe dopłaty, wzrost lub spadek wielkości. Stała zmiana o tę samą kwotę to ciąg arytmetyczny, stała zmiana o ten sam procent — geometryczny (VI.7).
Obliczanie początkowych wyrazów ciągu zadanego przez a₁ i zależność aₙ₊₁ od aₙ, np. a₁ = 1, aₙ₊₁ = 3aₙ + 1 daje 1, 4, 13, 40 (VI.2).
📝 Do zapamiętania
Wzory, które wracają w pytaniach z działu „Ciągi” – minimum, bez którego quiz nie ma sensu.
Na czym potykają się maturzyści
Sprawdź, czy nie wpadasz w te pułapki – przy każdej jest poprawna wersja i wyjaśnienie.
Suma 10 pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego o a₁ = 3 i r = 2 to S₁₀ = 10·(3 + 21) = 240.
a₁₀ = 3 + 9·2 = 21, więc S₁₀ = (3 + 21)/2 · 10 = 12·10 = 120.
Dlaczego: Wzór: Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n. Łatwo pominąć dzielenie przez 2 i pomnożyć sumę skrajnych wyrazów przez n.
Ciąg 2, 4, 8, 16 jest arytmetyczny.
Ciąg 2, 4, 8, 16 jest geometryczny (q = 2).
Dlaczego: Sprawdzaj różnicę I iloraz. Tu różnice są 2, 4, 8 – nie stałe. Iloraz: 4/2 = 2, 8/4 = 2, 16/8 = 2 – stały.
Suma nieskończonego ciągu 1 + 2 + 4 + 8 + ... istnieje.
Ten ciąg jest rozbieżny (q = 2 > 1), suma nie istnieje.
Dlaczego: Wzór S = a₁/(1 − q) wolno stosować tylko przy |q| < 1 (poziom rozszerzony).
lim (n² + 1)/(n + 2) = 1 przy n → ∞
lim (n² + 1)/(n + 2) = ∞ (rozbieżny do +∞)
Dlaczego: Po podzieleniu licznika i mianownika przez n: (n + 1/n)/(1 + 2/n); licznik rośnie nieograniczenie, mianownik dąży do 1. Gdy stopień licznika jest wyższy niż mianownika, granica jest niewłaściwa (poziom rozszerzony).
W ciągu geometrycznym o a₁ = 3 i q = 2 czwarty wyraz to 3·2⁴ = 48.
a₄ = a₁·q³ = 3·2³ = 24.
Dlaczego: We wzorze aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ wykładnik jest o jeden mniejszy od numeru wyrazu. Kolejne wyrazy: 3, 6, 12, 24.
W ciągu arytmetycznym aₙ = a₁ + n·r.
W ciągu arytmetycznym aₙ = a₁ + (n − 1)·r.
Dlaczego: Od a₁ do aₙ jest n − 1 kroków o r. Sprawdzenie: dla n = 1 wzór musi dać a₁.
Suma 0,5 + 0,25 + 0,125 + ... = 2.
Suma = 0,5/(1 − 0,5) = 1.
Dlaczego: S = a₁/(1 − q), a₁ = 0,5, q = 0,5, więc 0,5/0,5 = 1. Wynik 2 to suma szeregu 1 + 0,5 + 0,25 + …, który zaczyna się od innego wyrazu.
Strategia
Kolejność kroków przy rozwiązywaniu – w quizie i na maturze.
Zadania z działu „Ciągi” na poziomie podstawowym i rozszerzonym, w zakresie wymagań podstawy programowej z matematyki (Dz.U. 2024 poz. 1019).
Zamknięte i otwarte, tak jak w arkuszu: wybór odpowiedzi, prawda–fałsz, dopasowanie, uzupełnianie oraz zadania z pełnym rozwiązaniem. Rozkład typów w tym teście widać wyżej na stronie i pochodzi z bazy pytań.
Odpowiedzi otwarte ocenia AI i pokazuje, w którym kroku rozwiązania jest błąd. Na egzaminie w zadaniach otwartych liczy się tok rozumowania, a nie tylko wynik.
Test obejmuje jeden dział i podaje wyjaśnienie po każdej odpowiedzi. Arkusz na poziomie podstawowym to 180 minut i 50 punktów, z czego połowa za zadania zamknięte i połowa za otwarte; na poziomie rozszerzonym 180 minut, 50 punktów i wyłącznie zadania otwarte (Informator CKE).
Te działy łączą się z tematem „Ciągi” – przećwicz je w Quizie.
110 pytań w bazie, wyjaśnienie po każdej odpowiedzi, ocena AI odpowiedzi otwartych, trudność dopasowana do Ciebie i powtórki tego, co sprawiło Ci kłopot. Pełny dostęp do wszystkich przedmiotów — 49 zł/mies.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane przypomnienia o nauce).
