Kombinatoryka i prawdopodobieństwo na maturze — reguły, wzory i typowe zadania

Prawdopodobieństwo na maturze to dział, w którym rachunki są krótkie, a punkty i tak uciekają. Rzadko zawodzi arytmetyka. Zawodzi decyzja podjęta w pierwszej minucie: czy kolejność ma znaczenie, czy elementy mogą się powtarzać, czy przypadki dodawać, czy mnożyć, i ile właściwie jest wszystkich możliwych wyników doświadczenia. Kto źle policzy $|\Omega|$, ten ma błędny mianownik i żaden późniejszy wysiłek tego nie naprawi. Poniżej masz uporządkowany schemat wyboru metody: regułę mnożenia i dodawania, tabelę decyzyjną dla permutacji, wariacji i kombinacji, rozpiskę tego, co daje karta wzorów CKE, definicję klasyczną z najczęstszymi pułapkami, zdarzenie przeciwne i sumę zdarzeń, drzewko z prawdopodobieństwem warunkowym i całkowitym oraz rozwiązane zadania z kostkami, kartami i kulami.

Kombinatoryka na maturze — reguła mnożenia i reguła dodawania

Cała kombinatoryka szkolna stoi na dwóch regułach. Wzory na wariacje czy kombinacje to tylko ich skróty.

Reguła mnożenia działa, gdy wykonujesz kilka czynności po kolei i każdy wynik pierwszej łączysz z każdym wynikiem drugiej. Słowo-klucz to „i”: wybieram pierwszą cyfrę i drugą, i trzecią. Jeżeli pierwszą czynność można wykonać na $m$ sposobów, a drugą na $n$ sposobów, to obie razem na $m \cdot n$ sposobów.

Reguła dodawania działa, gdy rozbijasz zadanie na przypadki, które się wzajemnie wykluczają. Słowo-klucz to „albo”: liczba kończy się zerem albo inną cyfrą parzystą. Liczby sposobów z rozłącznych przypadków dodajesz.

Przykład pierwszy. Ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach? Cyfrę setek wybierasz na 9 sposobów (bez zera), cyfrę dziesiątek na 9 sposobów (wraca zero, odpada cyfra już użyta), cyfrę jedności na 8 sposobów. Razem $9 \cdot 9 \cdot 8 = 648$.

Przykład drugi, w którym obie reguły pracują jednocześnie. Ile jest parzystych liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach? Kłopot sprawia zero: jeśli stoi na końcu, nie ogranicza cyfry setek, a jeśli nie stoi, to ogranicza. Dlatego rozbijasz na dwa przypadki:

• ostatnia cyfra to 0: setki na 9 sposobów, dziesiątki na 8 sposobów, razem $9 \cdot 8 = 72$,
• ostatnia cyfra to 2, 4, 6 albo 8: jedności na 4 sposoby, setki na 8 sposobów (bez zera i bez cyfry jedności), dziesiątki na 8 sposobów, razem $4 \cdot 8 \cdot 8 = 256$.

Przypadki są rozłączne, więc dodajesz: $72 + 256 = 328$.

Wskazówka: Zaczynaj liczenie od miejsca, na które nałożono najwięcej ograniczeń. W zadaniach o liczbach to zwykle ostatnia cyfra (parzystość, podzielność przez 5) i pierwsza cyfra (brak zera). Jeśli ograniczenia się ze sobą gryzą, rozbij zadanie na przypadki i użyj reguły dodawania.

Permutacje, wariacje, kombinacje — tabela decyzyjna

Zanim sięgniesz po wzór, zadaj sobie trzy pytania. Czy biorę wszystkie elementy, czy tylko część? Czy kolejność ma znaczenie? Czy elementy mogą się powtarzać?

Sytuacja	Kolejność ważna?	Powtórzenia?	Nazwa	Wzór	Przykład
Ustawiam wszystkie $n$ elementów	tak	nie	permutacja	$n!$	5 osób w kolejce: $5! = 120$
Wybieram $k$ z $n$ i ustawiam	tak	nie	wariacja bez powtórzeń	$\dfrac{n!}{(n-k)!}$	podium z 8 zawodników: $8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$
Wybieram $k$ razy z $n$ możliwości	tak	tak	wariacja z powtórzeniami	$n^k$	kod PIN z 4 cyfr: $10^4 = 10\,000$
Wybieram $k$ z $n$ bez ustawiania	nie	nie	kombinacja	$\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$	3 dyżurnych z 7 osób: $\dbinom{7}{3} = 35$

Test na kolejność jest prosty: zamień w myślach dwa wybrane elementy miejscami. Jeżeli dostajesz inny wynik (inny kod, inne podium, inna liczba), kolejność jest ważna. Jeżeli dostajesz to samo (ta sama trójka dyżurnych, ta sama para kart w ręce), kolejność nie gra roli i liczysz kombinacje.

Symbol Newtona na maturze liczysz zawsze przez skracanie, nigdy przez wymnażanie pełnych silni. Przykład: $\dbinom{10}{3} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$. W liczniku jest tyle czynników, ile wynosi dolna liczba, zaczynasz od górnej i schodzisz w dół. Przydaje się też symetria $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$: zamiast liczyć $\dbinom{20}{18}$, liczysz $\dbinom{20}{2} = \dfrac{20 \cdot 19}{2} = 190$. Warto pamiętać trzy wartości brzegowe: $\dbinom{n}{0} = 1$, $\dbinom{n}{1} = n$, $\dbinom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$.

Wariacji bez powtórzeń nie musisz traktować jako osobnego wzoru. To zwykła reguła mnożenia z malejącymi czynnikami: pierwsze miejsce na 8 sposobów, drugie na 7, trzecie na 6. Wielu maturzystów liczy w ten sposób całą kombinatorykę z poziomu podstawowego i nie traci na tym ani punktu.

Kombinatoryka i prawdopodobieństwo na karcie wzorów CKE

Na egzaminie masz do dyspozycji „Wybrane wzory matematyczne” CKE, w których kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa mają osobne działy. Układ całej broszury opisuje tekst Karta wybranych wzorów matematycznych CKE — co na niej jest, a czego musisz się nauczyć. Dla tego działu podział wygląda następująco.

Wzór lub fakt	Na karcie CKE?	Komentarz
Silnia i symbol Newtona z własnościami	tak	dział o silni i współczynniku dwumianowym
Permutacje, kombinacje, wariacje z powtórzeniami i bez	tak	same wzory, bez podpowiedzi, kiedy który
Własności prawdopodobieństwa, w tym $P(A') = 1 - P(A)$ i wzór na sumę zdarzeń	tak	wystarczy odczytać
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa	tak	$P(A)$ jako iloraz liczby wyników sprzyjających i wszystkich
Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite, wzór Bayesa	tak	poziom rozszerzony
Schemat Bernoullego	tak	poziom rozszerzony
Wybór między regułą mnożenia a dodawania	nie	to decyzja, której nie zastąpi wzór
Test „czy kolejność jest ważna”	nie	musisz go rozstrzygnąć z treści zadania
Niezależność zdarzeń: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$	nie	do zapamiętania na rozszerzenie
Sposób zbudowania $\Omega$	nie	źródło większości błędów w tym dziale

Wniosek jest wyraźny: karta daje wszystkie wzory, ale nie daje ani jednej decyzji. Kto zna pełną listę z tekstu Wzory matematyczne na maturze — pełna ściąga, ten w tym dziale nie zyska już nic na uczeniu się wzorów na pamięć. Zyska wyłącznie na ćwiczeniu rozpoznawania sytuacji.

Na poziomie podstawowym wymagania obejmują regułę mnożenia i dodawania oraz prawdopodobieństwo w modelu klasycznym. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite, wzór Bayesa i schemat Bernoullego to materiał rozszerzony.

Prawdopodobieństwo klasyczne na maturze — zdarzenia elementarne, $|\Omega|$ i $|A|$

Definicja klasyczna mieści się w jednej linijce:

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$

gdzie $\Omega$ to zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli pojedynczych możliwych wyników doświadczenia, a $A$ to zbiór wyników sprzyjających. Wzór ma jeden warunek, o którym łatwo zapomnieć: wszystkie zdarzenia elementarne muszą być jednakowo prawdopodobne. Z tego warunku biorą się trzy typowe pułapki.

Pułapka pierwsza: nierównoprawdopodobne wyniki. Rzucasz dwiema monetami. Kuszący opis to trzy wyniki: dwa orły, dwie reszki, orzeł i reszka. Tyle że „orzeł i reszka” wypada dwa razy częściej, bo powstaje na dwa sposoby. Poprawna $\Omega$ ma 4 elementy: OO, OR, RO, RR. To samo dotyczy sumy oczek na dwóch kostkach: możliwych sum jest 11 (od 2 do 12), ale nie są równie prawdopodobne, więc $\Omega$ to 36 par, a nie 11 sum.

Pułapka druga: niespójny model. Jeśli w $\Omega$ liczysz wyniki z uwzględnieniem kolejności, to w $A$ też musisz ją uwzględniać. Jeśli w mianowniku stoi symbol Newtona, w liczniku również mają być kombinacje. Mieszanie obu podejść daje wynik dwa razy za duży albo dwa razy za mały i jest najczęstszym błędem w zadaniach z losowaniem bez zwracania.

Pułapka trzecia: ze zwracaniem czy bez. „Losujemy kolejno dwie liczby ze zbioru $\{1, 2, \dots, 9\}$” daje $9 \cdot 9 = 81$ wyników przy losowaniu ze zwracaniem i $9 \cdot 8 = 72$ bez zwracania. To zdanie w treści zadania decyduje o mianowniku, a wielu zdających czyta je pobieżnie.

Dobry nawyk w zadaniu otwartym: pierwszym zdaniem rozwiązania opisz, czym jest zdarzenie elementarne. Na przykład: „Zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para $(a, b)$ różnych liczb ze zbioru $\{1, \dots, 9\}$, $|\Omega| = 72$”. Taki zapis porządkuje dalsze liczenie, a egzaminatorowi pokazuje model. Za poprawne wyznaczenie $|\Omega|$ lub $|A|$ zwykle przyznawany jest punkt cząstkowy, o czym więcej w tekście Zadania otwarte z matematyki — jak zdobywać punkty częściowe.

Zdarzenie przeciwne i suma zdarzeń w zadaniach z prawdopodobieństwa

Zdarzenie przeciwne $A'$ to wszystko, co nie jest zdarzeniem $A$. Ponieważ razem wyczerpują całą $\Omega$:

$P(A') = 1 - P(A)$

Sięgaj po ten wzór za każdym razem, gdy w treści widzisz „co najmniej jeden”, „przynajmniej raz”, „nie wszystkie”. Liczenie wprost wymagałoby wtedy kilku przypadków, a zdarzenie przeciwne ma zwykle jeden.

Przykład. Rzucasz dwa razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że szóstka wypadnie co najmniej raz? Zdarzenie przeciwne: szóstka nie wypadła ani razu, czyli w obu rzutach jeden z 5 pozostałych wyników: $5 \cdot 5 = 25$. Stąd $P(A) = 1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}$. Typowy błąd to odpowiedź $\dfrac{12}{36}$, w której wynik $(6, 6)$ policzono dwukrotnie.

Ten sam mechanizm podwójnego liczenia opisuje wzór na sumę zdarzeń:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Przykład. Ze zbioru liczb naturalnych od 1 do 30 losujesz jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest podzielna przez 2 lub przez 3? Liczb podzielnych przez 2 jest 15, podzielnych przez 3 jest 10, a podzielnych przez 6 (czyli policzonych w obu grupach) jest 5. Zatem $P(A \cup B) = \dfrac{15 + 10 - 5}{30} = \dfrac{20}{30} = \dfrac{2}{3}$.

Gdy zdarzenia się wykluczają, czyli $A \cap B = \varnothing$, ostatni składnik znika i zostaje zwykłe dodawanie. To ta sama reguła dodawania, od której zaczęła się kombinatoryka.

W zadaniach „teoretycznych”, w których dane są same liczby, wzór na sumę służy do wyznaczenia brakującego składnika. Jeśli $P(A) = 0{,}6$, $P(B) = 0{,}5$ i $P(A \cup B) = 0{,}8$, to $P(A \cap B) = 0{,}6 + 0{,}5 - 0{,}8 = 0{,}3$.

Drzewko prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite (rozszerzenie)

Drzewko stosujesz, gdy doświadczenie ma etapy, a wynik pierwszego etapu zmienia szanse w drugim. Obowiązują trzy zasady: prawdopodobieństwa na gałęziach wychodzących z jednego węzła sumują się do 1, wzdłuż ścieżki mnożysz, a wyniki z różnych ścieżek prowadzących do tego samego zdarzenia dodajesz.

Prawdopodobieństwo warunkowe odpowiada na pytanie: jaka jest szansa zdarzenia $A$, jeśli wiem już, że zaszło $B$?

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$

W modelu klasycznym oznacza to po prostu zawężenie $\Omega$ do zbioru $B$. Przykład: rzucasz dwa razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek wynosi 8, jeśli wiadomo, że w pierwszym rzucie wypadła liczba parzysta? Zdarzenie $B$ ma $3 \cdot 6 = 18$ wyników. Wśród nich sumę 8 dają $(2, 6)$, $(4, 4)$ i $(6, 2)$. Wynik: $P(A \mid B) = \dfrac{3}{18} = \dfrac{1}{6}$.

Prawdopodobieństwo całkowite to formalny zapis drzewka dwuetapowego. Jeśli zdarzenia $B_1, B_2, \dots, B_n$ wykluczają się parami i razem dają całą $\Omega$, to:

$P(A) = P(A \mid B_1) \cdot P(B_1) + P(A \mid B_2) \cdot P(B_2) + \dots + P(A \mid B_n) \cdot P(B_n)$

Zadanie wzorcowe. W pierwszej urnie są 3 kule białe i 2 czarne, w drugiej 1 biała i 4 czarne. Rzucasz kostką: jeśli wypadnie 1 lub 2, losujesz kulę z pierwszej urny, w przeciwnym razie z drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.

Ścieżka na drzewku	Etap 1	Etap 2	Iloczyn
urna pierwsza, kula biała	$\tfrac{1}{3}$	$\tfrac{3}{5}$	$\tfrac{3}{15}$
urna druga, kula biała	$\tfrac{2}{3}$	$\tfrac{1}{5}$	$\tfrac{2}{15}$

Suma: $P(\text{biała}) = \dfrac{3}{15} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{1}{3}$.

Częste rozszerzenie tego zadania to pytanie odwrócone: wylosowano kulę białą, jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodziła z pierwszej urny? Dzielisz iloczyn z właściwej ścieżki przez prawdopodobieństwo całkowite: $\dfrac{3/15}{5/15} = \dfrac{3}{5}$. To jest wzór Bayesa, tylko odczytany z drzewka zamiast z karty.

Na rozszerzeniu pojawia się też schemat Bernoullego, czyli $n$ niezależnych prób z tym samym prawdopodobieństwem sukcesu $p$. Prawdopodobieństwo dokładnie $k$ sukcesów wynosi $\dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$. Przykład: dokładnie 3 orły w 5 rzutach monetą to $\dbinom{5}{3} \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{10}{32} = \dfrac{5}{16}$.

Uwaga: $P(A \mid B)$ i $P(B \mid A)$ to dwie różne liczby. W zadaniu z urnami $P(\text{biała} \mid \text{urna pierwsza}) = \tfrac{3}{5}$ odczytujesz z treści, a $P(\text{urna pierwsza} \mid \text{biała})$ trzeba dopiero policzyć. To, że w tym przykładzie obie wartości wyszły równe, jest przypadkiem wynikającym z doboru liczb.

Typowe zadania z prawdopodobieństwa na maturze — kostki, karty, kule

Prawdopodobieństwo pojawia się w arkuszach rok w rok, co pokazuje zestawienie 15 typów zadań, które wracają na maturze z matematyki. Rekwizyty są przy tym niemal zawsze te same.

Kostki

Dla dwóch rzutów zawsze $|\Omega| = 36$, a zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para $(a, b)$. Jeśli nie widzisz od razu, ile jest wyników sprzyjających, narysuj tabelę $6 \times 6$ i zaznacz pola. Zajmuje to minutę i eliminuje pomyłki.

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek w dwóch rzutach wynosi 8. Wyniki sprzyjające: $(2, 6)$, $(3, 5)$, $(4, 4)$, $(5, 3)$, $(6, 2)$, razem 5. Odpowiedź: $\dfrac{5}{36}$. Zwróć uwagę, że $(3, 5)$ i $(5, 3)$ to dwa różne wyniki, a $(4, 4)$ występuje raz.

Zadanie 2. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn oczek jest parzysty. Zdarzenie przeciwne jest prostsze: iloczyn nieparzysty, czyli obie liczby nieparzyste, $3 \cdot 3 = 9$ wyników. Odpowiedź: $1 - \dfrac{9}{36} = \dfrac{3}{4}$.

Karty

Talia ma 52 karty: 4 kolory po 13 kart, w tym 4 asy. Gdy losujesz kilka kart jednocześnie, kolejność nie ma znaczenia i pracujesz na kombinacjach.

Zadanie 3. Z talii losujesz jednocześnie 2 karty. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie są kierami. $|\Omega| = \dbinom{52}{2} = \dfrac{52 \cdot 51}{2} = 1326$, $|A| = \dbinom{13}{2} = 78$. Odpowiedź: $\dfrac{78}{1326} = \dfrac{1}{17}$.

Zadanie 4. W tym samym losowaniu oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch kart jest dokładnie jeden as. Asa wybierasz na 4 sposoby i kartę niebędącą asem na 48 sposobów: $|A| = 4 \cdot 48 = 192$. Odpowiedź: $\dfrac{192}{1326} = \dfrac{32}{221}$.

Kule w urnie

Zadanie 5. W urnie jest 5 kul białych i 3 czarne. Losujesz bez zwracania 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że są różnych kolorów.

Sposób pierwszy, bez kolejności: $|\Omega| = \dbinom{8}{2} = 28$, $|A| = 5 \cdot 3 = 15$, wynik $\dfrac{15}{28}$.

Sposób drugi, z kolejnością: $|\Omega| = 8 \cdot 7 = 56$, a wyniki sprzyjające to „biała, potem czarna” albo „czarna, potem biała”: $|A| = 5 \cdot 3 + 3 \cdot 5 = 30$, wynik $\dfrac{30}{56} = \dfrac{15}{28}$.

Oba modele dają tę samą odpowiedź, bo każdy jest wewnętrznie spójny. Błąd powstaje dopiero przy mieszaniu: $\dfrac{15}{56}$ to wynik osoby, która w mianowniku uwzględniła kolejność, a w liczniku nie.

Takie zadania najlepiej ćwiczyć seriami, bo dopiero przy dziesiątym podobnym przykładzie wybór modelu staje się odruchem. Na platformie znajdziesz zadania z matematyki pogrupowane działami, z rozwiązaniem i informacją zwrotną od razu po odpowiedzi. Dostęp do całej bazy 10 000+ zadań z 11 przedmiotów kosztuje 49 zł/mies.

Najczęstsze pytania o kombinatorykę i prawdopodobieństwo na maturze

Czy na poziomie podstawowym muszę znać wzory na wariacje i kombinacje?

Zadania z poziomu podstawowego da się rozwiązać samą regułą mnożenia i dodawania oraz definicją klasyczną. Wzory na kombinacje i wariacje są jednak na karcie CKE i potrafią skrócić rachunki, zwłaszcza przy losowaniu kilku elementów jednocześnie, więc warto umieć z nich korzystać.

Kiedy rysować drzewko, a kiedy liczyć z definicji klasycznej?

Drzewko wybierz, gdy doświadczenie ma wyraźne etapy i szanse w drugim etapie zależą od pierwszego: wybór urny, a potem kuli, albo losowanie bez zwracania. Definicję klasyczną wybierz, gdy łatwo opisać wszystkie równoprawdopodobne wyniki naraz, jak przy rzutach kostką czy losowaniu kart.

Czy wynik trzeba podać jako ułamek nieskracalny?

Jeśli polecenie tego wymaga, tak. W pozostałych przypadkach poprawny wynik w dowolnej postaci jest uznawany, ale skrócenie ułamka pozwala porównać go z odpowiedziami w zadaniu zamkniętym i wyłapać błąd. Wynik większy od 1 albo ujemny zawsze oznacza pomyłkę w modelu.

Jak sprawdzić, czy dobrze policzyłem $|\Omega|$?

Wypisz 3–4 przykładowe zdarzenia elementarne i sprawdź, czy są zapisane w ten sam sposób jak wyniki sprzyjające. Potem zadaj sobie pytanie, czy każde z nich jest równie prawdopodobne. Jeżeli nie, model jest zły.

Podsumowanie

Prawdopodobieństwo na maturze sprowadza się do kilku decyzji podejmowanych w stałej kolejności: opisz zdarzenie elementarne, ustal, czy kolejność jest ważna i czy są powtórzenia, policz $|\Omega|$, w tym samym modelu policz $|A|$, a przy sformułowaniu „co najmniej” przejdź na zdarzenie przeciwne. Na rozszerzeniu dochodzi drzewko, na którym wzdłuż ścieżek mnożysz, a między ścieżkami dodajesz. Wzory masz na karcie CKE, więc cały wysiłek warto włożyć w rozpoznawanie sytuacji.

Jeśli układasz dopiero plan powtórek, zajrzyj do tekstu Jak przygotować się do matury z matematyki — plan tematyczny, a potem przerób serię zadań z kostkami, kartami i kulami, za każdym razem zaczynając rozwiązanie od zapisania, czym jest zdarzenie elementarne.