Rozcieńczanie i mieszanie roztworów — reguła krzyża i przeliczenia stężeń

Rozcieńczanie roztworów to zadania na maturę z chemii, które wyglądają niewinnie — dolewasz wodę, mieszasz dwie butelki, odparowujesz trochę rozpuszczalnika — a mimo to regularnie kosztują punkty. Powód prawie zawsze jest ten sam: liczysz masę roztworu zamiast masy substancji, mylisz gramy z centymetrami sześciennymi albo bierzesz gęstość w złych jednostkach. Tymczasem wszystkie te zadania da się rozwiązać jednym schematem: masa (albo liczba moli) substancji rozpuszczonej przed operacją równa się masie (liczbie moli) po operacji. Poniżej masz ten schemat rozpisany na pięć typów zadań — rozcieńczanie wodą, zatężanie przez odparowanie, mieszanie dwóch roztworów, regułę krzyża i przeliczanie stężenia procentowego na molowe. Każdy typ rozwiązujemy krok po kroku na przykładowych danych i pokazujemy, za co w zadaniu obliczeniowym przyznaje się punkty.

Rozcieńczanie roztworów w podstawie programowej — co musisz umieć

Obliczenia na roztworach są w podstawie programowej chemii dla zakresu rozszerzonego w dziale V „Roztwory”. Wymaganie mówi wprost o obliczeniach związanych z przygotowaniem, rozcieńczaniem i zatężaniem roztworów z użyciem stężenia procentowego, molowego i rozpuszczalności. To znaczy, że na egzaminie może pojawić się każda kombinacja: rozcieńczanie roztworu o stężeniu molowym, zatężanie roztworu o stężeniu procentowym, a nawet mieszanie dwóch roztworów, z których jeden opisano procentowo, a drugi molowo.

Druga ważna informacja: broszura CKE „Wybrane wzory i stałe fizykochemiczne”, z której korzystasz na egzaminie, nie podaje wzorów na stężenie procentowe ani molowe. Nie ma w niej też zależności $n = \frac{m}{M}$ ani definicji rozpuszczalności — jest tylko tabela rozpuszczalności w gramach na 100 g wody i układ okresowy z masami atomowymi. Co dokładnie znajdziesz w broszurze, a czego nie, rozpisaliśmy na stronie karta wzorów z chemii. Wzory z tego wpisu musisz więc mieć w głowie.

Wielkość	Wzór	Jednostka
Stężenie procentowe	$c_p = \frac{m_s}{m_r} \cdot 100\%$	%
Masa roztworu	$m_r = m_s + m_{rozp}$	g
Stężenie molowe	$c_m = \frac{n}{V}$	$\mathrm{mol \cdot dm^{-3}}$
Liczba moli	$n = \frac{m}{M}$	mol
Gęstość	$d = \frac{m_r}{V}$	$\mathrm{g \cdot cm^{-3}}$ lub $\mathrm{g \cdot dm^{-3}}$
Przeliczenie $c_p \to c_m$	$c_m = \frac{c_p \cdot d}{100\% \cdot M}$ ($d$ w $\mathrm{g \cdot dm^{-3}}$)	$\mathrm{mol \cdot dm^{-3}}$

Jeśli te wzory jeszcze się mylą, zacznij od podstaw w tekście zadania stechiometryczne — algorytm rozwiązywania, bo liczba moli i masa molowa wracają tu w każdym przykładzie.

Zasada zachowania masy substancji rozpuszczonej — fundament zadań ze stężeń

Cała reszta tego wpisu to warianty jednej obserwacji. Kiedy dolewasz wodę, substancji rozpuszczonej nie przybywa. Kiedy odparowujesz wodę (i substancja nie jest lotna), substancji nie ubywa. Kiedy mieszasz dwa roztwory tej samej substancji, które ze sobą nie reagują, masa substancji w mieszaninie jest sumą mas z obu roztworów. Zmienia się tylko masa (lub objętość) roztworu.

Zapisane wzorem:

$m_{s1} = m_{s2} \quad \Rightarrow \quad c_{p1} \cdot m_{r1} = c_{p2} \cdot m_{r2}$

dla rozcieńczania i zatężania oraz

$c_{p1} \cdot m_{r1} + c_{p2} \cdot m_{r2} = c_{p3} \cdot (m_{r1} + m_{r2})$

dla mieszania. To samo w wersji molowej: $c_1 V_1 = c_2 V_2$, bo liczba moli substancji się nie zmienia.

Wskazówka: zanim zaczniesz liczyć, wypisz trzy kolumny: „przed”, „operacja”, „po”. W każdej wpisz masę substancji i masę roztworu. Masa substancji w kolumnie „przed” i „po” musi wyjść taka sama — jeśli nie wychodzi, błąd jest w danych, nie w rachunku.

Ta tabelka to nie ozdobnik. W zadaniach obliczeniowych z chemii zasady oceniania CKE zwykle przyznają punkty za poprawną metodę (czyli właśnie za ułożenie bilansu), poprawne obliczenia i wynik z jednostką podany z wymaganą dokładnością. Jeśli bilans jest dobry, a pomylisz się w rachunkach, w zadaniu za 2 punkty często zostaje 1. Jeśli bilansu nie ma — zostaje zero, nawet przy przypadkowo dobrym wyniku.

Rozcieńczanie wodą i zatężanie przez odparowanie — wzory i przykłady

Rozcieńczanie wodą

Przykład 1. Masz 200 g roztworu soli o stężeniu 15%. Ile gramów wody trzeba dolać, żeby otrzymać roztwór o stężeniu 6%?

Krok 1 — masa substancji przed rozcieńczeniem: $m_s = 0{,}15 \cdot 200\ \mathrm{g} = 30\ \mathrm{g}$

Krok 2 — masa substancji się nie zmienia, więc masa roztworu po rozcieńczeniu: $m_{r2} = \frac{30\ \mathrm{g}}{0{,}06} = 500\ \mathrm{g}$

Krok 3 — masa dolanej wody: $m_{H_2O} = 500\ \mathrm{g} - 200\ \mathrm{g} = 300\ \mathrm{g}$

Odpowiedź: trzeba dolać 300 g wody. Częsty błąd to zatrzymanie się na kroku 2 i podanie 500 g — a to jest masa całego roztworu, nie wody.

Zatężanie przez odparowanie

Przykład 2. Z 250 g roztworu chlorku sodu o stężeniu 8% odparowano 50 g wody. Oblicz stężenie procentowe otrzymanego roztworu.

Krok 1 — masa substancji: $m_s = 0{,}08 \cdot 250\ \mathrm{g} = 20\ \mathrm{g}$

Krok 2 — nowa masa roztworu: $m_{r2} = 250\ \mathrm{g} - 50\ \mathrm{g} = 200\ \mathrm{g}$

Krok 3 — nowe stężenie: $c_{p2} = \frac{20\ \mathrm{g}}{200\ \mathrm{g}} \cdot 100\% = 10\%$

Odparowanie działa jak rozcieńczanie „w drugą stronę”: masa substancji stała, masa roztworu maleje, stężenie rośnie. Pułapka pojawia się wtedy, gdy zatężasz roztwór tak mocno, że przekraczasz rozpuszczalność — wtedy część substancji krystalizuje i przestaje być w roztworze. Jeśli zadanie podaje temperaturę i każe skorzystać z tabeli rozpuszczalności, sprawdź, czy otrzymane stężenie nie przekracza stężenia roztworu nasyconego. Pamiętaj, że masa roztworu nasyconego to 100 g wody plus masa rozpuszczonej substancji, a nie 100 g.

Dosypanie substancji

Wariant rzadszy, ale logiczny: do roztworu dosypujesz substancję stałą. Wtedy rośnie i masa substancji, i masa roztworu — o tę samą wartość. Z 200 g roztworu 10% po dosypaniu 25 g soli masz 45 g substancji w 225 g roztworu, czyli 20%.

Mieszanie dwóch roztworów o różnych stężeniach — metoda bilansu

Przykład 3. Zmieszano 150 g roztworu o stężeniu 20% i 350 g roztworu tej samej substancji o stężeniu 5%. Oblicz stężenie procentowe otrzymanego roztworu.

	Roztwór 1	Roztwór 2	Mieszanina
Masa roztworu	150 g	350 g	500 g
Stężenie	20%	5%	?
Masa substancji	30 g	17,5 g	47,5 g

$c_{p3} = \frac{47{,}5\ \mathrm{g}}{500\ \mathrm{g}} \cdot 100\% = 9{,}5\%$

Zwróć uwagę na sprawdzian zdrowego rozsądku: wynik musi leżeć między stężeniami składników, czyli między 5% a 20%. Do tego jest bliżej 5%, bo tego roztworu było więcej. Jeśli wychodzi ci 25% albo 12,5% (średnia arytmetyczna bez wag), od razu wiesz, że coś jest nie tak.

Bilans działa także wtedy, gdy niewiadoma jest gdzie indziej — na przykład znasz stężenie końcowe i musisz obliczyć masę jednego ze składników. Wtedy oznaczasz szukaną masę jako $x$ i rozwiązujesz równanie liniowe:

$0{,}20 \cdot x + 0{,}05 \cdot 350 = 0{,}095 \cdot (x + 350)$

Po przekształceniu: $0{,}105x = 15{,}75$, więc $x = 150\ \mathrm{g}$. To ten sam przykład odwrócony — i dobry trening przed egzaminem.

Uwaga: bilans mas działa tylko wtedy, gdy mieszane substancje ze sobą nie reagują. Jeśli mieszasz kwas z zasadą (np. $\ce{HCl}$ z $\ce{NaOH}$), najpierw musisz policzyć stechiometrię reakcji i ustalić, co zostało w nadmiarze. Takie zadania łączą obliczenia ze stężeń z odczynem roztworu — schemat pokazujemy w tekście obliczanie pH na maturze z chemii.

Reguła krzyża w chemii — kiedy działa, jak ją stosować, ograniczenia

Reguła krzyża (zwana też regułą mieszania) to graficzny skrót tego samego bilansu. Nie jest nową chemią — to przekształcone równanie z poprzedniej sekcji, które od razu daje stosunek mas mieszanych roztworów.

Jak zapisać krzyż

Po lewej stronie zapisujesz stężenia roztworów wyjściowych (wyższe na górze, niższe na dole), w środku stężenie, które chcesz otrzymać, a po prawej — różnice liczone „na ukos”:

30%           12 − 5 = 7   (części roztworu 30%)
      \     /
        12%
      /     \
5%            30 − 12 = 18 (części roztworu 5%)

Przykład 4. Masz roztwory 30% i 5%. Ile gramów każdego z nich trzeba zmieszać, żeby otrzymać 500 g roztworu 12%?

Z krzyża: stosunek mas roztworu 30% do roztworu 5% wynosi 7 : 18. Razem to 25 części, więc jedna część to $500\ \mathrm{g} : 25 = 20\ \mathrm{g}$.

• roztwór 30%: $7 \cdot 20\ \mathrm{g} = 140\ \mathrm{g}$
• roztwór 5%: $18 \cdot 20\ \mathrm{g} = 360\ \mathrm{g}$

Sprawdzenie bilansem: $0{,}30 \cdot 140 + 0{,}05 \cdot 360 = 42 + 18 = 60\ \mathrm{g}$ substancji w 500 g roztworu, czyli 12%. Zgadza się.

Woda i czysta substancja w krzyżu

W regule krzyża czysta woda ma stężenie 0%, a czysta substancja stała — 100%. Dzięki temu krzyżem rozwiążesz też rozcieńczanie. Chcesz z roztworu 30% zrobić 12%, dolewając wodę? Różnice to $12 - 0 = 12$ (części roztworu 30%) i $30 - 12 = 18$ (części wody), czyli stosunek 2 : 3. Na każde 2 g roztworu 30% dolewasz 3 g wody.

Ograniczenia reguły krzyża

Sytuacja	Czy krzyż działa?	Komentarz
Stężenia procentowe, masy roztworów	Tak	Krzyż daje stosunek mas
Stężenia molowe, objętości	Warunkowo	Tylko gdy przyjmujesz addytywność objętości (zadanie zwykle to podaje)
Stężenia procentowe, a pytanie o objętości	Nie wprost	Najpierw policz masy, potem przelicz przez gęstość każdego roztworu
Mieszanie substancji, które reagują	Nie	Potrzebna stechiometria reakcji
Dwa różne związki (np. $\ce{NaCl}$ i $\ce{KCl}$)	Nie	Krzyż dotyczy jednej substancji rozpuszczonej

Na egzaminie krzyż jest świetnym narzędziem do szybkiego sprawdzenia wyniku, ale w arkuszu warto zapisać pełny bilans — egzaminator musi zobaczyć metodę. Sam schemat krzyża bez komentarza, skąd biorą się liczby, może nie zostać uznany za czytelne rozwiązanie. Bezpieczna wersja: krzyż na brudnopisie, równanie bilansu w czystopisie.

Przeliczenia stężenia procentowego i molowego przy mieszaniu roztworów

Tu zaczynają się zadania, w których gubi się najwięcej osób, bo do gry wchodzi gęstość. Klucz jest jeden: gęstość łączy masę roztworu z jego objętością, a nie masę substancji z objętością.

Rozcieńczanie roztworu o stężeniu molowym

Przykład 5. Do 50 cm³ roztworu $\ce{HCl}$ o stężeniu 2 mol·dm⁻³ dolano wody do objętości 250 cm³. Oblicz stężenie molowe.

$n = 2\ \mathrm{mol \cdot dm^{-3}} \cdot 0{,}050\ \mathrm{dm^3} = 0{,}1\ \mathrm{mol}$

$c_2 = \frac{0{,}1\ \mathrm{mol}}{0{,}250\ \mathrm{dm^3}} = 0{,}4\ \mathrm{mol \cdot dm^{-3}}$

Albo od razu z $c_1 V_1 = c_2 V_2$: $2 \cdot 50 = c_2 \cdot 250$. Uwaga na sformułowanie: „dolano wody do objętości 250 cm³” to co innego niż „dolano 250 cm³ wody”. W drugim przypadku objętość końcowa wynosi 300 cm³ (przy założeniu addytywności objętości).

Mieszanie dwóch roztworów molowych liczysz tak samo, sumując mole: 100 cm³ roztworu $\ce{NaOH}$ o stężeniu 0,5 mol·dm⁻³ i 300 cm³ roztworu 0,1 mol·dm⁻³ to $0{,}05 + 0{,}03 = 0{,}08$ mola w 0,4 dm³, czyli 0,2 mol·dm⁻³.

Przygotowanie roztworu z roztworu stężonego

Przykład 6. Stężony kwas siarkowy(VI) ma stężenie 96% i gęstość 1,84 g·cm⁻³. Oblicz jego stężenie molowe oraz objętość, którą trzeba odmierzyć, żeby przygotować 500 cm³ roztworu o stężeniu 1 mol·dm⁻³. Masa molowa $\ce{H2SO4}$ to 98,08 g·mol⁻¹ (z mas atomowych z układu okresowego w broszurze CKE).

Krok 1 — gęstość w g·dm⁻³: $1{,}84\ \mathrm{g \cdot cm^{-3}} = 1840\ \mathrm{g \cdot dm^{-3}}$

Krok 2 — stężenie molowe: $c_m = \frac{96\% \cdot 1840\ \mathrm{g \cdot dm^{-3}}}{100\% \cdot 98{,}08\ \mathrm{g \cdot mol^{-1}}} \approx 18{,}01\ \mathrm{mol \cdot dm^{-3}}$

Krok 3 — potrzebna liczba moli: $n = 1\ \mathrm{mol \cdot dm^{-3}} \cdot 0{,}5\ \mathrm{dm^3} = 0{,}5\ \mathrm{mol}$

Krok 4 — objętość stężonego kwasu: $V = \frac{0{,}5\ \mathrm{mol}}{18{,}01\ \mathrm{mol \cdot dm^{-3}}} \approx 0{,}0278\ \mathrm{dm^3} \approx 27{,}8\ \mathrm{cm^3}$

Sprawdzenie drogą masową: 0,5 mola $\ce{H2SO4}$ to 49,04 g; roztworu 96% potrzeba $49{,}04 : 0{,}96 \approx 51{,}08$ g; jego objętość to $51{,}08 : 1{,}84 \approx 27{,}8$ cm³. Ten sam wynik — i dobra metoda kontroli, gdy wzór na przeliczenie wypadnie ci z głowy. Jeśli w zadaniu pojawia się pytanie o sposób wykonania: kwas wlewa się do wody, nie odwrotnie.

Mieszanie roztworu procentowego z molowym

Przykład 7. Zmieszano 200 g roztworu $\ce{NaOH}$ o stężeniu 10% i 100 cm³ roztworu $\ce{NaOH}$ o stężeniu 2 mol·dm⁻³ i gęstości 1,08 g·cm⁻³. Oblicz stężenie procentowe mieszaniny ($M_{\ce{NaOH}} = 40{,}00\ \mathrm{g \cdot mol^{-1}}$).

	Roztwór 1	Roztwór 2	Mieszanina
Masa roztworu	200 g	$1{,}08 \cdot 100 = 108$ g	308 g
Masa $\ce{NaOH}$	$0{,}10 \cdot 200 = 20$ g	$0{,}2\ \mathrm{mol} \cdot 40{,}00 = 8{,}00$ g	28,00 g

$c_p = \frac{28{,}00\ \mathrm{g}}{308\ \mathrm{g}} \cdot 100\% \approx 9{,}09\%$

Zasada: sprowadź oba roztwory do tej samej „waluty” — tu do gramów — a potem zrób zwykły bilans. Nie próbuj sumować procentów z molami.

Najczęstsze błędy w zadaniach ze stężeń na maturze z chemii

Błąd	Jak wygląda	Jak go uniknąć
Masa roztworu zamiast masy wody	Odpowiedź „500 g” w przykładzie 1	Na końcu zadaj sobie pytanie: o co dokładnie pyta polecenie?
Średnia arytmetyczna stężeń	Mieszanie 20% i 5% daje „12,5%”	Stężenia trzeba ważyć masami roztworów
Gęstość w złych jednostkach	$c_m$ wychodzi 1000 razy za małe	Do wzoru $c_m = \frac{c_p \cdot d}{100\% \cdot M}$ wstawiaj $d$ w g·dm⁻³
Mylenie objętości roztworu i wody	„Dolano do 250 cm³” liczone jak „dolano 250 cm³”	Podkreśl w poleceniu słowo „do”
Brak jednostki lub złe zaokrąglenie	Wynik „9,09” bez %	Sprawdź, z jaką dokładnością polecenie każe podać wynik
Bilans przy reagujących substancjach	Mieszanie kwasu i zasady liczone jak rozcieńczanie	Najpierw równanie reakcji i nadmiar

Te błędy łatwiej wyłapać przy pracy seriami — kilka zadań tego samego typu pod rząd, zamiast jednego od czasu do czasu. Na matury-online.pl masz ponad 1700 zadań z chemii — zadania tematyczne (quiz) z wyjaśnieniem po odpowiedzi — więc po każdej pomyłce w bilansie od razu widzisz, w którym miejscu się rozjechał. Zacznij od działu zadania z chemii i zrób kilka zadań na roztwory pod rząd, zanim przejdziesz do kolejnego działu.

Jeśli planujesz powtórki na cały rok, rozpisz roztwory obok stechiometrii — to jeden blok umiejętności. Kolejność działów i tempo nauki znajdziesz w poradniku jak przygotować się do matury z chemii rozszerzonej, a o tym, jak często poszczególne działy wracają w arkuszach, piszemy w zestawieniu top 10 tematów z chemii rozszerzonej.

Najczęstsze pytania o zadania z rozcieńczania roztworów

Czy na maturze mogę rozwiązać zadanie samą regułą krzyża?

Możesz jej użyć, ale rozwiązanie musi pokazywać metodę. Sam rysunek krzyża bez wyjaśnienia, co oznaczają liczby, jest ryzykowny. Bezpieczniej zapisać równanie bilansu masy substancji — krzyż zostaw do sprawdzenia wyniku.

Czy przy mieszaniu roztworów objętości się sumują?

W rzeczywistości nie zawsze, bo objętość mieszaniny bywa nieco mniejsza niż suma objętości składników. W zadaniach maturalnych zwykle jest informacja, że należy przyjąć addytywność objętości albo że objętość końcową podano. Masy sumują się zawsze — dlatego bilans na masach jest najpewniejszy.

Jak zapamiętać wzór na przeliczenie stężenia procentowego na molowe?

Nie zapamiętuj go na sucho — wyprowadź go dla 1 dm³ roztworu. Masa 1 dm³ roztworu to $d$ (w gramach), masa substancji to $\frac{c_p}{100\%} \cdot d$, a liczba moli to ta masa podzielona przez $M$. Liczba moli w 1 dm³ to właśnie stężenie molowe.

Czy wzory na stężenia są w broszurze CKE?

Nie. Broszura „Wybrane wzory i stałe fizykochemiczne” w części chemicznej zawiera głównie tabele danych: układ okresowy, tabelę rozpuszczalności, stałe dysocjacji, iloczyny rozpuszczalności, potencjały standardowe i entalpie. Wzory na stężenie procentowe i molowe musisz znać na pamięć.

Podsumowanie

Rozcieńczanie roztworów i zadania z mieszania na maturze z chemii sprowadzają się do jednej zasady: masa (lub liczba moli) substancji rozpuszczonej przed operacją jest równa masie po operacji, a przy mieszaniu — sumie mas ze składników. Rozcieńczanie, zatężanie, mieszanie, reguła krzyża i przeliczenia przez gęstość to tylko różne sposoby zapisania tego samego bilansu. W rozwiązaniu pokaż bilans, pilnuj jednostek gęstości i zawsze sprawdź, czy stężenie mieszaniny leży między stężeniami składników.

Najwięcej daje regularne liczenie: kilka zadań dziennie przez dwa–trzy tygodnie wystarczy, żeby schemat „przed — operacja — po” stał się odruchem. Ćwiczyć możesz w dziale chemia na matury-online.pl, a gdy roztwory będą już pewne, przejdź do zadań, w których stężenia łączą się z reakcjami — stechiometrii i obliczeń pH.