Obwody elektryczne na maturze z fizyki — prawa Kirchhoffa krok po kroku

Obwody elektryczne na maturze z fizyki rzadko są trudne pod względem rachunków. Kłopot zaczyna się wcześniej: na schemacie są dwie gałęzie, źródło ma opór wewnętrzny, a ty nie wiesz, od którego równania zacząć. Wtedy pojawiają się równania sprzeczne ze sobą, pomylone znaki i wynik, który nie ma sensu fizycznego. Ten poradnik (obwody elektryczne, matura, fizyka rozszerzona) układa cały dział w jeden algorytm: od prawa Ohma i siły elektromotorycznej, przez I i II prawo Kirchhoffa, po opór zastępczy i moc prądu. Wzory wyjściowe sprawdzisz na karcie wybranych wzorów, a każdy etap ćwiczysz na prawdziwych zadaniach — z arkusza z maja 2024 i z przykładowych zadań z Informatora o egzaminie z fizyki. Na końcu znajdziesz listę pułapek, na których najłatwiej zgubić punkty, i to, co realnie pomaga je wyeliminować.

Obwody elektryczne w podstawie programowej — co trzeba umieć na maturze z fizyki

Zanim zaczniesz liczyć, zobacz, czego dokładnie dotyczy dział. Wymagania dotyczące obwodów znajdziesz w podstawie programowej fizyki dla zakresu rozszerzonego, w dziale „Prąd elektryczny”. Poniżej zestawienie punktów, które bezpośrednio dotyczą obwodów, z krótkim komentarzem, co z nich wynika dla ciebie.

Co zapisano w podstawie programowej (zakres rozszerzony)	Co to znaczy w praktyce
stosuje do obliczeń proporcjonalność natężenia prądu stałego do napięcia dla przewodników (prawo Ohma)	liczysz natężenie, napięcie albo opór dla pojedynczego elementu
posługuje się pojęciami oporu wewnętrznego i siły elektromotorycznej jako cechami źródła napięcia	źródło to nie tylko „bateria o napięciu U” — ma swój opór
stosuje do obliczeń związek mocy wydzielonej na oporniku (ciepła Joule’a-Lenza) z natężeniem prądu i oporem oraz napięciem i oporem	dobierasz wzór na moc do tego, co znasz
interpretuje I prawo Kirchhoffa jako przykład zasady zachowania ładunku	bilans prądów w węźle
analizuje dodawanie i odejmowanie napięć w obwodzie, z uwzględnieniem źródeł i odbiorników energii (II prawo Kirchhoffa)	bilans napięć w oczku, ze znakami
posługuje się pojęciem oporu zastępczego; oblicza opór zastępczy układu oporników połączonych szeregowo lub równolegle	upraszczasz fragment obwodu do jednego opornika

W tym samym dziale podstawa wymienia też doświadczenia, m.in. demonstrowanie I prawa Kirchhoffa i badanie dodawania napięć w układzie ogniw połączonych szeregowo. To ważna wskazówka: zadanie o obwodzie może mieć formę opisu pomiaru, a nie gotowego schematu do policzenia. Przykład takiego zadania omawiamy niżej.

Wskazówka: Wzory wyjściowe, z których korzystamy w tym tekście (poza I prawem Kirchhoffa), są w broszurze „Wybrane wzory i stałe fizykochemiczne”. Jej omówienie znajdziesz we wpisie wzory fizyczne na maturze rozszerzonej. Warto uczyć się obwodów z broszurą otwartą obok — wtedy na egzaminie od razu wiesz, gdzie szukać.

Prawo Ohma i opór wewnętrzny źródła

Na karcie wybranych wzorów, w części „Prąd elektryczny”, prawo Ohma zapisano jako stałość ilorazu napięcia i natężenia dla stałej temperatury przewodnika, a obok podano definicję oporu:

$R = \frac{U}{I}$

To wystarcza dla pojedynczego opornika. W obwodzie ze źródłem rzeczywistym potrzebujesz jeszcze jednego związku, który karta podaje jako związek siły elektromotorycznej z napięciem na baterii:

$\mathcal{E} = U + IR_w$

Ze wzoru widać, że gdy płynie prąd, część siły elektromotorycznej $\mathcal{E}$ „zużywa się” na oporze wewnętrznym $R_w$, więc na zaciskach baterii (i na obwodzie zewnętrznym) zostaje tylko $U$. Jeśli na zewnątrz podłączono opornik $R$, to $U = IR$ i po podstawieniu dostajesz prawo Ohma dla obwodu zamkniętego:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R + R_w}$

Przykład liczbowy (własny): $\mathcal{E} = 6\ \text{V}$, $R_w = 1\ \Omega$, $R = 5\ \Omega$. Wtedy $I = 6/(5+1) = 1\ \text{A}$, a napięcie na zaciskach wynosi $U = IR = 5\ \text{V}$, czyli o $1\ \text{V}$ mniej niż siła elektromotoryczna. Gdybyś pominął opór wewnętrzny, wyszłoby $1{,}2\ \text{A}$ — wynik błędny o 20%.

Opór wewnętrzny w zadaniu z Informatora

Informator o egzaminie z fizyki zawiera zadanie 17. „Badanie własności baterii płaskiej”: uczniowie mierzyli natężenie prądu i napięcie na oporniku z suwakiem, a z wykresu $U(I)$ mieli wyznaczyć siłę elektromotoryczną i opór wewnętrzny baterii. W przykładowym rozwiązaniu zadania 17.3 z II prawa Kirchhoffa i związku $U = IR$ wyprowadzono zależność $U = -R_wI + \mathcal{E}$, czyli równanie prostej. Współczynnik kierunkowy to (z minusem) opór wewnętrzny, a punkt przecięcia z osią napięcia to siła elektromotoryczna. Wynik w przykładowym rozwiązaniu: $R_w = (1{,}3 \pm 0{,}2)\ \Omega$.

W zasadach oceniania tego zadania (0–2) samo wyznaczenie równania równoważnego $U = -R_wI + \mathcal{E}$ daje 1 pkt, a drugi wymaga poprawnej identyfikacji współczynników prostej i zapisu wyników z jednostkami i niepewnościami. Jeśli funkcja liniowa i współczynnik kierunkowy nie są dla ciebie oczywiste, powtórz je we wpisie o funkcji liniowej na maturze — to ta sama matematyka.

Prawa Kirchhoffa — I i II prawo bez tajemnic

I prawo Kirchhoffa dotyczy węzła, czyli rozgałęzienia przewodów. Suma natężeń prądów wpływających do węzła obwodu elektrycznego jest równa sumie natężeń prądów wypływających z niego. Podstawa programowa łączy je wprost z zasadą zachowania ładunku: ładunek nie znika i nie gromadzi się w węźle, więc ile wpłynęło, tyle musi wypłynąć.

II prawo Kirchhoffa dotyczy oczka, czyli zamkniętej drogi w obwodzie. Na karcie wzorów zapisano je jako sumę sił elektromotorycznych minus sumę napięć na odbiornikach, równą zeru, ze znakami $\pm$ przy każdym składniku:

$\sum_{i=1}^{k} (\pm\mathcal{E}_i) - \sum_{j=1}^{n} (\pm U_j) = 0$

Te znaki $\pm$ są całym sednem sprawy. Obchodząc oczko w wybranym kierunku, dodajesz siłę elektromotoryczną, gdy przechodzisz przez źródło od bieguna ujemnego do dodatniego, i odejmujesz, gdy idziesz odwrotnie. Napięcie na oporniku $U = IR$ odejmujesz, gdy idziesz zgodnie z założonym kierunkiem prądu, a dodajesz, gdy idziesz pod prąd.

Na karcie jest też zapis dodawania napięć pomiędzy punktami przewodnika: $U_{AC} = U_{AB} + U_{BC}$. To ta sama idea w prostszej postaci i często wystarcza, gdy obwód ma tylko jedno źródło.

Algorytm: jak układać równania z praw Kirchhoffa krok po kroku

Poniższy schemat to nasza propozycja pracy, sprawdzona na typowych obwodach z dwoma oczkami. Trzymaj się kolejności — większość błędów bierze się z jej pominięcia.

1. Przerysuj schemat i oznacz węzły literami. Na nowym rysunku łatwiej zapisywać prądy niż na ciasnym rysunku w arkuszu.
2. W każdej gałęzi załóż kierunek prądu i nazwij prąd ($I_1$, $I_2$, $I_3$). Kierunek wybierasz dowolnie. Jeśli zgadniesz źle, wynik wyjdzie ujemny i to wszystko.
3. Zapisz I prawo dla węzłów. Przy dwóch węzłach wystarczy jedno równanie — drugie byłoby tym samym.
4. Wybierz oczka i kierunek obiegu. Potrzebujesz tylu niezależnych równań, ile masz niewiadomych prądów.
5. Zapisz II prawo dla każdego oczka, pilnując znaków (patrz wyżej). Nie zapominaj o oporach wewnętrznych źródeł — to zwykłe oporniki w tej samej gałęzi co źródło.
6. Rozwiąż układ równań i sprawdź wynik w równaniu, którego nie używałeś.

Przykład: dwa źródła, trzy oporniki

Przykład własny. Lewa gałąź: źródło $\mathcal{E}_1 = 12\ \text{V}$ i opornik $R_1 = 2\ \Omega$. Prawa gałąź: źródło $\mathcal{E}_2 = 6\ \text{V}$ i opornik $R_2 = 2\ \Omega$. Środkowa gałąź: opornik $R_3 = 4\ \Omega$. Oba źródła zwrócone biegunem dodatnim do górnego węzła. Zakładamy, że prądy $I_1$ i $I_2$ płyną z obu źródeł w górę do węzła, a $I_3$ spływa z niego przez $R_3$.

• I prawo dla górnego węzła: $I_1 + I_2 = I_3$
• II prawo dla lewego oczka: $12 - 2I_1 - 4I_3 = 0$
• II prawo dla prawego oczka: $6 - 2I_2 - 4I_3 = 0$

Po dodaniu dwóch ostatnich równań: $18 = 2(I_1 + I_2) + 8I_3 = 10I_3$, więc $I_3 = 1{,}8\ \text{A}$. Dalej $I_1 = (12 - 7{,}2)/2 = 2{,}4\ \text{A}$ i $I_2 = (6 - 7{,}2)/2 = -0{,}6\ \text{A}$.

Minus przy $I_2$ nie jest błędem. Oznacza, że prąd w prawej gałęzi płynie przeciwnie do założonego, czyli silniejsze źródło $\mathcal{E}_1$ „przepycha” prąd przez słabsze. Sprawdzenie w I prawie: $2{,}4 + (-0{,}6) = 1{,}8$. Zgadza się.

Opór zastępczy — połączenie szeregowe i równoległe na maturze z fizyki

Karta wzorów podaje oba wzory na opór zastępczy:

$R_z = \sum_{i=1}^{n} R_i \quad \text{(szeregowo)} \qquad \frac{1}{R_z} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_i} \quad \text{(równolegle)}$

Trudność nie leży we wzorach, tylko w rozpoznaniu, które połączenie masz przed sobą. Pomaga prosta reguła: patrz na węzły, a nie na to, jak oporniki są narysowane.

Cecha	Połączenie szeregowe	Połączenie równoległe
Jak rozpoznać	między opornikami nie ma węzła, prąd nie ma wyboru drogi	oba końce oporników łączą się w tych samych dwóch węzłach
Co jest wspólne	natężenie prądu	napięcie
Co się dodaje	napięcia	natężenia prądów
Opór zastępczy	suma oporów, większy od największego	odwrotność sumy odwrotności, mniejszy od najmniejszego
Kiedy stosować	gałąź bez rozgałęzień	gałęzie spięte tymi samymi węzłami

Metoda oporu zastępczego działa, gdy obwód ma jedno źródło i da się go „zwijać” od środka. Przy dwóch źródłach w różnych gałęziach (jak w przykładzie wyżej) jej nie zastosujesz — wtedy zostają prawa Kirchhoffa.

Zadanie 7. z arkusza z maja 2024

W arkuszu z fizyki rozszerzonej z maja 2024 zadanie 7. dotyczyło trzech identycznych oporników o oporze $R$ i amperomierza podłączonych do źródła stałego napięcia $U$. W treści zapisano, że opór wewnętrzny amperomierza i źródła napięcia oraz opór przewodów pomijamy. Ze schematu w arkuszu wynika układ: oporniki $\mathcal{R}_1$ i $\mathcal{R}_2$ tworzą jedną gałąź, $\mathcal{R}_3$ drugą, a obie gałęzie są połączone równolegle. Potem opornik $\mathcal{R}_1$ ulega uszkodzeniu i obwód w tym miejscu zostaje przerwany.

• Zadanie 7.1 (0–2) — ocena prawdziwości trzech stwierdzeń o sytuacji początkowej; poprawna odpowiedź to FPP. Natężenie w $\mathcal{R}_1$ nie jest równe natężeniu w amperomierzu (amperomierz mierzy sumę prądów obu gałęzi), napięcia na $\mathcal{R}_1$ i $\mathcal{R}_2$ są równe (identyczne oporniki połączone szeregowo), a prąd w $\mathcal{R}_1$ jest mniejszy niż w $\mathcal{R}_3$ (gałąź górna ma dwa razy większy opór).
• Zadanie 7.2 (0–1) — moc cieplna na $\mathcal{R}_3$ po przerwaniu obwodu; poprawna odpowiedź to C1: moc jest taka sama, ponieważ napięcie między zaciskami X i Y się nie zmieniło.
• Zadanie 7.3 (0–3) — iloraz wskazań amperomierza po i przed przerwaniem; prawidłowy wynik to 2/3.

Rachunek do 7.3 w wersji z oporem zastępczym: przed awarią $\frac{1}{R_{z1}} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{R}$, więc $R_{z1} = \frac{2}{3}R$ i $I_{A1} = \frac{3}{2}\frac{U}{R}$. Po awarii zostaje tylko $\mathcal{R}_3$, więc $I_{A2} = \frac{U}{R}$, a iloraz wynosi $\frac{2}{3}$.

Zasady oceniania tego zadania pokazują, jak rozkładają się punkty: 1 pkt za poprawną metodę wyznaczenia natężeń prądów w gałęzi górnej i dolnej, 2 pkt za wyznaczenie wskazania amperomierza w sytuacji początkowej w funkcji $U$ i $R$, 3 pkt za poprawną metodę i prawidłowy wynik. Akceptowano też równoważne zapisy, np. odwrotny iloraz 3/2. Wniosek praktyczny: nawet jeśli nie dokończysz rachunku, zapisz natężenia w obu gałęziach — to już jest punkt.

Moc i praca prądu w obwodach elektrycznych

Karta wzorów podaje moc prądu stałego wydzieloną na oporniku w trzech postaciach:

$P = UI = I^2R = \frac{U^2}{R}$

Wybór postaci to nie kwestia gustu. Jeśli wiesz, że na oporniku nie zmienia się napięcie (bo jest połączony równolegle ze źródłem, jak $\mathcal{R}_3$ w zadaniu 7.2), użyj $P = U^2/R$ — od razu widać, że moc się nie zmieni. Jeśli znasz natężenie prądu w gałęzi szeregowej, wygodniejsze jest $P = I^2R$.

Mostek Wheatstone’a z Informatora

Informator zawiera też zadanie 18. o mostku Wheatstone’a. W zadaniu 18.3 (0–3) dane są: opór $R = 20{,}00\ \Omega$, napięcie zasilające $U = 6{,}00\ \text{V}$ i stosunek długości drutu $l_1 : l_2 = 2$; trzeba obliczyć moc wydzielaną na nieznanym oporniku $R_x$. W jednym z przykładowych rozwiązań (sposób 2.) najpierw wyznaczono $R_x = 40\ \Omega$, potem natężenie prądu w gałęzi $I_B = 6\ \text{V} / 60\ \Omega = 0{,}1\ \text{A}$, a na końcu moc: 0,4 W.

Zwróć uwagę, jak w tym zadaniu współpracują oba prawa Kirchhoffa. W przykładowym rozwiązaniu zadania 18.2 skorzystano z II prawa (jeśli napięcie między punktami B i S jest zerowe, to napięcia na odpowiadających sobie opornikach obu gałęzi są równe) i z I prawa (skoro między B i S prąd nie płynie, przez $R_x$ i $R$ płynie ten sam prąd). Dopiero potem pojawia się prawo Ohma.

Obwody elektryczne w arkuszach — czego się spodziewać

Prąd elektryczny pojawił się też w arkuszu z maja 2023, w zadaniu 8. o włóknie wolframowym żarówki. Nie było tam obwodu rozgałęzionego, ale były typowe dla działu umiejętności: zadanie 8.2 (0–3) polegało na wyznaczeniu temperatury włókna żarówki o mocy znamionowej 60 W zasilanej napięciem 230 V, a zadanie 8.3 (0–2) na obliczeniu długości drutu o średnicy 30 μm. W zasadach oceniania zadania 8.2 wśród wymagań wymieniono m.in. wykorzystywanie danych znamionowych urządzeń elektrycznych do obliczeń.

Wniosek: dział „Prąd elektryczny” sprawdza nie tylko prawa Kirchhoffa, ale też odczytywanie danych z wykresu, dane znamionowe i zależność oporu od wymiarów przewodnika. Szerszy przegląd tego, jakie działy pojawiały się w kolejnych sesjach, znajdziesz w analizie co najczęściej pojawia się na fizyce rozszerzonej.

Jeśli chcesz przećwiczyć ten dział na większej liczbie zadań, w serwisie matury-online.pl znajdziesz ponad 1600 zadań z fizyki: zadania tematyczne w formie quizu z wyjaśnieniem po każdej odpowiedzi oraz pełne arkusze rozwiązywane online, w których odpowiedzi otwarte ocenia AI według kryteriów CKE. Zacznij od działu o prądzie na stronie zadania z fizyki i sprawdzaj, czy twoje równania Kirchhoffa dają te same wyniki co rozwiązania.

5 typowych pułapek w zadaniach z obwodów elektrycznych

Poniższe pułapki to nasze obserwacje z pracy nad zadaniami z tego działu. Każda kosztuje punkty, a każdą da się wyeliminować prostym nawykiem.

Pułapka	Jak jej uniknąć
Pominięcie oporu wewnętrznego źródła	przeczytaj w treści, czy opór wewnętrzny jest podany, czy wolno go pominąć — i wpisz go na schemat
Zły znak w II prawie Kirchhoffa	przed zapisaniem równania zaznacz strzałką kierunek obiegu oczka i kierunki prądów
Uznanie ujemnego natężenia za błąd	ujemny wynik oznacza tylko odwrotny kierunek prądu — nie zmieniaj założeń w połowie rozwiązania
Mylenie połączeń szeregowego i równoległego	szukaj węzłów; oporniki spięte tymi samymi dwoma węzłami są połączone równolegle, niezależnie od rysunku
Jednostki: mikrometry, miliampery, kiloomy	zamieniaj na jednostki podstawowe przed podstawieniem do wzoru, np. $30\ \mu\text{m} = 3 \cdot 10^{-5}\ \text{m}$, $200\ \text{mA} = 0{,}2\ \text{A}$

Dwie z tych pułapek widać bezpośrednio w omówionych zadaniach. W zadaniu 7. z maja 2024 założenie o pominięciu oporu wewnętrznego jest zapisane w treści — gdyby go nie było, wynik 2/3 byłby inny. W zadaniu 17. z Informatora prąd mierzono w miliamperach, a współczynnik kierunkowy w przykładowym rozwiązaniu liczono już w amperach.

Uwaga: Przy zadaniach typu „wykaż” lub „uzasadnij” nie poprzestawaj na samym wyniku. Warto nazwać prawo, z którego korzystasz („z I prawa Kirchhoffa…”, „napięcia na elementach połączonych szeregowo się dodają…”). W zasadach oceniania zadania 17.1 z Informatora pełne 2 pkt wymagały m.in. powołania się na zasadę dodawania napięć na elementach obwodu połączonych szeregowo.

Jak rozplanować naukę całego materiału z fizyki, żeby na obwody zostało wystarczająco dużo czasu, opisujemy w poradniku jak przygotować się do matury z fizyki rozszerzonej. Jeśli zdajesz też chemię, zwróć uwagę na pojęcie siły elektromotorycznej w ogniwach — omawiamy je we wpisie elektrochemia na maturze — ogniwa galwaniczne i SEM.

Najczęstsze pytania o obwody elektryczne na maturze

Czy prawa Kirchhoffa są na karcie wzorów?

II prawo Kirchhoffa jest na karcie zapisane wprost, jako wzór z sumami sił elektromotorycznych i napięć. I prawa nie znajdziesz tam w postaci osobnego wzoru — musisz je znać: suma prądów wpływających do węzła równa się sumie prądów wypływających.

Kiedy uwzględniać opór wewnętrzny źródła?

Zawsze, gdy treść zadania go podaje albo każe go wyznaczyć. Gdy treść mówi, że opór wewnętrzny pomijamy (tak było w zadaniu 7. z maja 2024), traktujesz źródło jako idealne i napięcie na jego zaciskach jest równe sile elektromotorycznej.

Co zrobić, gdy natężenie prądu wyszło ujemne?

Nic nie poprawiać. Ujemny znak oznacza, że prąd płynie w kierunku przeciwnym do założonego. Podaj wartość i zapisz zdanie, w którą stronę płynie prąd naprawdę.

Podsumowanie

Obwody elektryczne na maturze z fizyki to dział, w którym dobry porządek pracy daje więcej niż pamięciowe opanowanie wzorów, bo prawie wszystkie potrzebne wzory (poza I prawem Kirchhoffa) są na karcie. Zapamiętaj kolejność: oznacz węzły i prądy, zapisz I prawo dla węzłów, II prawo dla oczek ze starannie dobranymi znakami, nie zapomnij o oporze wewnętrznym i dopiero na końcu licz. Metoda oporu zastępczego przyspiesza rozwiązanie przy jednym źródle, a moc dobieraj w tej postaci, w której znasz wielkości.

Najlepszym sprawdzianem są prawdziwe zadania: zadanie 7. z maja 2024 oraz zadania o baterii płaskiej i mostku Wheatstone’a warto przerobić samodzielnie, zanim zajrzysz do rozwiązań.