Nierówności na maturze: liniowe i kwadratowe, zapis rozwiązania przedziałami, a na poziomie rozszerzonym nierówności wielomianowe, wymierne, z wartością bezwzględną i z parametrem.
Konto zakładasz w minutę · pełny dostęp od 49 zł/mies.
Quiz · Nierówności
59 pytań z tego działu w jednym miejscu. Wybierasz je filtrem, po każdej odpowiedzi widzisz wyjaśnienie, a quiz sam dobiera trudność i wraca do Twoich błędów.
Wybierasz dział, typ zadania — np. zamknięte, obliczenia, dowód — i trudność 1–5. Przy każdej opcji widzisz, ile pytań zostaje w puli.
Od razu wiesz, czy dobrze — i dlaczego. Zadania otwarte ocenia AI według zasad oceniania CKE, z punktacją częściową.
Pytanie z błędem wraca po kilku dniach z plakietką „Powtórka”. Powtórki zajmują najwyżej 30% sesji; wyłączasz je jednym przełącznikiem.
Quiz liczy Twój poziom z ostatnich odpowiedzi i podsuwa pytania, przy których trafiasz ok. 70% — nie za łatwe, nie za trudne.
Zaznaczasz odpowiedź, klikasz „Sprawdź” i widzisz, która była poprawna i dlaczego. Możesz też odsłonić odpowiedź bez rozwiązywania albo pominąć pytanie.
Kilka pytań z bazy z działu „Nierówności” — kliknij odpowiedź i sprawdź.
Wprowadzenie
Zakres podstawowy obejmuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą i nierówności kwadratowe, razem z umiejętnością zapisania zbioru rozwiązań jako przedziału i zaznaczenia go na osi liczbowej. Nierówność kwadratową rozwiązuje się w dwóch krokach: wyznacza się miejsca zerowe trójmianu, a potem odczytuje z położenia paraboli, gdzie przyjmuje on wartości dodatnie, a gdzie ujemne.
Zakres rozszerzony dodaje nierówności wielomianowe, wymierne, z wartością bezwzględną oraz analizę nierówności z parametrem. Wspólna trudność wszystkich typów to zapis odpowiedzi: kierunek nierówności, nawiasy przy końcach przedziałów i spójniki „i” oraz „lub”.
Przed maturą
Zacznij od: Mnożenie przez liczbę ujemną odwraca zwrot, Wartości ujemne między miejscami zerowymi, Wartości dodatnie poza miejscami zerowymi i 3 kolejnych pozycji.
Pełna lista7 umiejętności do odhaczenia, od „Nierówności liniowe” po „Wartość bezwzględna i parametr (poziom rozszerzony)”.
Lista umiejętności6 pułapek, np. „−2x > 6, więc x > −3”. Przy każdej jest poprawna wersja i wyjaśnienie.
Typowe błędyZakres materiału
Wymagania szczegółowe podstawy programowej z matematyki: dział III „Równania i nierówności”, pkt 1–4 w zakresie podstawowym oraz pkt 1, 2, 4 i 5 w zakresie rozszerzonym, a także dział I, pkt 6 (Dz.U. 2024 poz. 1019).
Rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą przez przekształcenia równoważne; przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną zmienia się zwrot nierówności (III.1, III.3).
Interpretowanie nierówności liniowych, których nie spełnia żadna liczba albo które spełnia każda liczba (III.2).
Wyznaczenie miejsc zerowych trójmianu, naszkicowanie paraboli z uwzględnieniem znaku współczynnika a i odczytanie zbioru rozwiązań (III.4).
Posługiwanie się pojęciem przedziału, zaznaczanie przedziałów na osi liczbowej, nawiasy otwarte i domknięte (I.6).
Nierówności typu W(x) > 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej (III, zakres rozszerzony, pkt 1).
Nierówności wymierne, które dają się sprowadzić do liniowych lub kwadratowych, z uwzględnieniem dziedziny (III, zakres rozszerzony, pkt 2).
Nierówności z wartością bezwzględną oraz analiza nierówności liniowych i kwadratowych z parametrem (III, zakres rozszerzony, pkt 4 i 5).
Typowe błędy
Typowe błędy rachunkowe i poprawne przekształcenie obok każdego z nich.
−2x > 6, więc x > −3
−2x > 6, więc x < −3
Dlaczego: Dzieląc obie strony przez liczbę ujemną, trzeba odwrócić zwrot nierówności.
x² < 4, więc x < 2
x² < 4 dokładnie wtedy, gdy −2 < x < 2
Dlaczego: Nierówność kwadratową rozwiązuje się przez miejsca zerowe i parabolę, a nie przez pierwiastkowanie stron.
(x − 1)(x − 4) < 0 dla x < 1 lub x > 4
(x − 1)(x − 4) < 0 dla 1 < x < 4
Dlaczego: Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc wartości ujemne przyjmuje między miejscami zerowymi.
Przy Δ < 0 nierówność kwadratowa nie ma rozwiązań
Przy Δ < 0 trójmian ma stały znak, więc nierówność spełnia każda liczba albo żadna
Dlaczego: Brak miejsc zerowych oznacza, że parabola leży cała nad osią albo cała pod osią. Odpowiedź zależy od znaku a i zwrotu nierówności.
(x + 1)/(x − 2) ≥ 0, mnożę obie strony przez x − 2
Znak ilorazu jest taki sam jak znak iloczynu (x + 1)(x − 2) przy założeniu x ≠ 2
Dlaczego: Nie wiadomo, czy x − 2 jest dodatnie, czy ujemne, więc mnożenie przez nie może odwrócić zwrot nierówności.
Rozwiązanie x ≥ 3 zapisuję jako (3, +∞)
x ≥ 3 to przedział ⟨3, +∞), domknięty z lewej strony
Dlaczego: Przy nierówności nieostrej koniec przedziału należy do zbioru rozwiązań. Przy nieskończoności nawias jest zawsze otwarty.
Do zapamiętania
Bez tych nie ma o czym mówić.
Przykłady z bazy
Poniżej 5 prawdziwych zadań z bazy — każde innego typu.
Sprowadź niewiadome na jedną stronę.
Luka
Jak się uczyć
Kroki w kolejności, w jakiej naprawdę warto je wykonać.
Przenieś wszystko na jedną stronę, tak aby po drugiej zostało zero.
W nierówności kwadratowej wyznacz miejsca zerowe i naszkicuj parabolę; nie próbuj odczytywać rozwiązania z samego wzoru.
Zanim zapiszesz odpowiedź, sprawdź jedną liczbę z otrzymanego zbioru i jedną spoza niego.
Zwracaj uwagę na nawiasy: nierówność ostra daje koniec otwarty, nieostra domknięty.
W nierówności wymiernej zacznij od dziedziny i nie mnoż przez wyrażenie o nieznanym znaku.
FAQ
Wiedza z działu „Nierówności” przyda Ci się też tutaj:
59 zadań z tego działu w quizie z wyjaśnieniami, powtórkami i oceną AI krok po kroku. Subskrypcja odblokowuje cały katalog i pozostałe przedmioty — anulujesz, kiedy chcesz.
Pełny dostęp od 49 zł/mies. · jednorazowo 59 zł na 30 dni (BLIK / Przelewy24 / Google Pay / Apple Pay / Revolut / Karta) · subskrypcję anulujesz w 1 kliknięciu
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane przypomnienia o nauce).
