📐 MatematykaPP+PR

Wielomiany — zadania maturalne

Wielomiany na maturze: działania, wartość wielomianu, równania w postaci iloczynowej, a na poziomie rozszerzonym dzielenie przez dwumian, rozkład na czynniki i pierwiastki całkowite.

Zacznij ćwiczyć: Wielomiany → Jak działa quiz ↓

Konto zakładasz w minutę · pełny dostęp od 49 zł/mies.

zadań w katalogu: 60; zadań w katalogu
typów zadań: 9; typów zadań

Aplikacja Matury Online — nowa sesja quizu: Matematyka, wybór działu i liczby pytań

Quiz w aplikacji Matury Online — Matematyka: pytanie i wyjaśnienie po odpowiedzi

Quiz · Wielomiany

„Wielomiany” w Quizie — jak ćwiczysz

60 pytań z tego działu w jednym miejscu. Wybierasz je filtrem, po każdej odpowiedzi widzisz wyjaśnienie, a quiz sam dobiera trudność i wraca do Twoich błędów.

Quiz w Matury Online — panel „Filtruj”: Matematyka, wybór tematu, typu zadania i trudności 1–5 z liczbą pytań przy każdej opcji

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wybierasz dział, typ zadania — np. zamknięte, obliczenia, dowód — i trudność 1–5. Przy każdej opcji widzisz, ile pytań zostaje w puli.
Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Od razu wiesz, czy dobrze — i dlaczego. Zadania otwarte ocenia AI według zasad oceniania CKE, z punktacją częściową.
Powtórki pytań, na których się mylisz

Pytanie z błędem wraca po kilku dniach z plakietką „Powtórka”. Powtórki zajmują najwyżej 30% sesji; wyłączasz je jednym przełącznikiem.
Trudność dobiera się do Ciebie

Quiz liczy Twój poziom z ostatnich odpowiedzi i podsuwa pytania, przy których trafiasz ok. 70% — nie za łatwe, nie za trudne.

9 typów zadań — Wielomiany

z 19 typów w całym quizie · liczba pytań · filtr „Typ” w quizie

Zamknięte (A–D) 13
Otwarte 10
Wielokrotny wybór 8
Obliczenia 7
Tabela danych 6
Prawda/Fałsz 5
Wykres 4
Uzupełnij 4
Dopasuj 3

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Zaznaczasz odpowiedź, klikasz „Sprawdź” i widzisz, która była poprawna i dlaczego. Możesz też odsłonić odpowiedź bez rozwiązywania albo pominąć pytanie.

Quiz w Matury Online — Matematyka: zaznaczona odpowiedź, poprawna odpowiedź na zielono i wyjaśnienie pod pytaniem

Wypróbuj bez logowania

Kilka pytań z bazy z działu „Wielomiany” — kliknij odpowiedź i sprawdź.

Ćwicz dział „Wielomiany” w Quizie → darmowe konto: 5 pytań dziennie · bez dziennego limitu od 49 zł/mies.

Wprowadzenie

Wielomiany na maturze

W zakresie podstawowym wielomiany to przede wszystkim rachunek: dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów oraz rozwiązywanie równań W(x) = 0, gdy wielomian jest już zapisany w postaci iloczynowej. Zakres rozszerzony jest wyraźnie szerszy.

Dochodzi dzielenie wielomianu przez dwumian x − a, rozkład na czynniki przez wyłączanie wspólnego czynnika i grupowanie wyrazów, szukanie pierwiastków całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych oraz równania i nierówności wielomianowe, które trzeba najpierw doprowadzić do postaci iloczynowej.

Zadania często łączą kilka z tych kroków: znaleźć pierwiastek, podzielić, rozłożyć resztę i zapisać odpowiedź.

Przed maturą

Powtórka z wielomianów krok po kroku

1

Odśwież wzory

Zacznij od: Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu, Dzielenie przez dwumian x − a, Różnica kwadratów i 3 kolejnych pozycji.
Pełna lista
2

Sprawdź, co umiesz

7 umiejętności do odhaczenia, od „Działania na wielomianach” po „Równania i nierówności wielomianowe (poziom rozszerzony)”.
Lista umiejętności
3

Uważaj na typowe błędy

6 pułapek, np. „Pierwiastkami wielomianu (x − 2)(x + 3) są liczby −2 i 3”. Przy każdej jest poprawna wersja i wyjaśnienie.
Typowe błędy
4

Sprawdź się

Zadania z bazy mają wyjaśnienie po każdej odpowiedzi.

Rozwiąż zadania z bazy

Zakres materiału

Wielomiany — co musisz umieć

Wymagania szczegółowe podstawy programowej z matematyki: dział II „Wyrażenia algebraiczne” i dział III „Równania i nierówności” w zakresie podstawowym i rozszerzonym (Dz.U. 2024 poz. 1019).

1
Działania na wielomianach
Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów jednej i wielu zmiennych (II.2).
2
Wartość wielomianu
Obliczanie W(a) przez podstawienie liczby w miejsce zmiennej; liczba a jest pierwiastkiem wielomianu, gdy W(a) = 0.
3
Równania w postaci iloczynowej
Rozwiązywanie równań W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej: każdy czynnik przyrównuje się do zera (III.5).
4
Dzielenie przez dwumian (poziom rozszerzony)
Dzielenie wielomianu W(x) przez dwumian x − a; reszta z tego dzielenia jest równa W(a) (II, zakres rozszerzony, pkt 1).
5
Rozkład na czynniki (poziom rozszerzony)
Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias i grupowanie wyrazów (II, zakres rozszerzony, pkt 2).
6
Pierwiastki całkowite (poziom rozszerzony)
Znajdowanie pierwiastków całkowitych wielomianu o współczynnikach całkowitych; szuka się ich wśród dzielników wyrazu wolnego (II, zakres rozszerzony, pkt 3).

Pokaż pozostałe 1

7
Równania i nierówności wielomianowe (poziom rozszerzony)
Równania W(x) = 0 oraz nierówności typu W(x) > 0 dla wielomianów, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej wyłączaniem czynnika lub grupowaniem (III, zakres rozszerzony, pkt 1).

Typowe błędy

Tu łatwo stracić punkty

Typowe błędy rachunkowe i poprawne przekształcenie obok każdego z nich.

✗ Błąd

Pierwiastkami wielomianu (x − 2)(x + 3) są liczby −2 i 3

✓ Poprawnie

Pierwiastkami są 2 i −3

Dlaczego: Czynnik x − 2 zeruje się dla x = 2, a czynnik x + 3 dla x = −3. Znak w nawiasie jest przeciwny do znaku pierwiastka.

✗ Błąd

Reszta z dzielenia W(x) przez x + 2 to W(2)

✓ Poprawnie

Reszta z dzielenia przez x + 2 to W(−2), bo x + 2 = x − (−2)

Dlaczego: Reszta z dzielenia przez x − a jest równa W(a), więc przy dwumianie x + 2 podstawia się −2.

✗ Błąd

Pierwiastków całkowitych szukam wśród dzielników współczynnika przy najwyższej potędze

✓ Poprawnie

Pierwiastków całkowitych szuka się wśród dzielników wyrazu wolnego, dodatnich i ujemnych

Dlaczego: Dla wielomianu o współczynnikach całkowitych każdy pierwiastek całkowity dzieli wyraz wolny.

✗ Błąd

x³ − 4x = 0, dzielę przez x i rozwiązuję x² − 4 = 0

✓ Poprawnie

x(x² − 4) = 0, czyli x(x − 2)(x + 2) = 0, więc x = 0, x = 2 lub x = −2

Dlaczego: Dzielenie przez x gubi rozwiązanie x = 0. Wspólny czynnik trzeba wyłączyć przed nawias.

Pokaż pozostałe 2

✗ Błąd

Stopień iloczynu wielomianów jest równy iloczynowi ich stopni

✓ Poprawnie

Stopień iloczynu niezerowych wielomianów jest sumą ich stopni

Dlaczego: Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki się dodaje, więc najwyższe potęgi dają x do sumy stopni.

✗ Błąd

W nierówności wielomianowej znak zmienia się w każdym pierwiastku

✓ Poprawnie

Znak zmienia się w pierwiastkach o krotności nieparzystej; w pierwiastku o krotności parzystej wykres odbija się od osi

Dlaczego: Czynnik podniesiony do parzystej potęgi jest nieujemny, więc nie zmienia znaku całego iloczynu.

Do zapamiętania

Wzory i własności do powtórzenia

Bez tych nie ma o czym mówić.

W(a) = 0: Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu
W(x) = (x − a)·Q(x) + W(a): Dzielenie przez dwumian x − a; poziom rozszerzony; brak w karcie wzorów CKE
a² − b² = (a − b)(a + b): Różnica kwadratów; w karcie wzorów CKE
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²): Suma sześcianów; poziom rozszerzony; w karcie wzorów CKE
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²): Różnica sześcianów; poziom rozszerzony; w karcie wzorów CKE
ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y): Grupowanie wyrazów; poziom rozszerzony; brak w karcie wzorów CKE

Przykłady z bazy

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Wielomiany”

Poniżej 5 prawdziwych zadań z bazy — każde innego typu.

〰️ Wielomiany ◉ Zamknięte (A–D) ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie Autorskie · PP 1 pkt

Dla wielomianu $W (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ wartość $W (1)$ wynosi:

6

0

4

2

Rozwiąż na platformie →

〰️ Wielomiany ✎ Otwarte ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie 🤖 Ocena AI Autorskie · PP 3 pkt

Dla jakiej wartości parametru $k$ wielomian $W (x) = x^{3} + k x^{2} - 4 x - 8$ ma pierwiastek $x = - 2$ ? Podaj wartość $k$ oraz pozostałe pierwiastki wielomianu dla tej wartości $k$ .

Rozwiąż samodzielnie — AI sprawdzi krok po kroku →

〰️ Wielomiany 🧮 Obliczenia ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie 🤖 Ocena AI Autorskie · PP 1 pkt

Podstaw wartość x=-3 do wzoru wielomianu.

Dla wielomianu $W (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 13 x + 6$ oblicz wartość $W (- 3)$ .

W(x) =

2 x^{3} + x^{2} - 13 x + 6

x =

- 3

Rozwiąż samodzielnie — AI sprawdzi krok po kroku →

〰️ Wielomiany ⎵ Uzupełnij ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie 🤖 Ocena AI Autorskie · PP 1 pkt

Reszta z dzielenia wielomianu $W (x) = x^{3} - 2 x + 5$ przez dwumian $(x - 2)$ jest równa ......... .

Luka

Rozwiąż samodzielnie — AI sprawdzi krok po kroku →

〰️ Wielomiany ⇄ Dopasuj ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie Autorskie · PP 1 pkt

Dopasuj wielomian do zbioru jego miejsc zerowych.

W (x) = (x - 1) (x + 2) (x - 4)

→

W (x) = x (x - 3)^{2}

→

W (x) = (x + 1) (x^{2} + 1)

→

W (x) = (x - 2) (x + 2) (x - 5)

→

Do wyboru:

{1, - 2, 4}

{- 1}

{0, 3}

{2, - 2, 5}

Rozwiąż na platformie →

Jak się uczyć

Strategia opanowania działu

Kroki w kolejności, w jakiej naprawdę warto je wykonać.

1
Zacznij od sprawdzenia, czy da się wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.
2
Jeśli wielomian ma cztery wyrazy, spróbuj grupowania parami.
3
Gdy to nie działa, wypisz dzielniki wyrazu wolnego i sprawdzaj kolejno, czy W(a) = 0.
4
Po znalezieniu pierwiastka podziel wielomian przez odpowiedni dwumian i rozłóż wynik dalej.
5
W nierówności zaznacz pierwiastki na osi i ustal znak wielomianu w każdym przedziale.

FAQ

FAQ — Wielomiany

Co z wielomianów jest na maturze podstawowej?

Zakres podstawowy podstawy programowej (Dz.U. 2024 poz. 1019) obejmuje dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów oraz równania W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej. Dzielenie przez dwumian, rozkład na czynniki, pierwiastki całkowite i nierówności wielomianowe należą do zakresu rozszerzonego.

Jak znaleźć pierwiastki wielomianu trzeciego stopnia?

Najpierw sprawdź wyłączanie czynnika i grupowanie. Jeśli nie działają, szukaj pierwiastka całkowitego wśród dzielników wyrazu wolnego, podziel wielomian przez dwumian x − a i rozwiąż otrzymane równanie kwadratowe.

Ile punktów na maturze jest za ten temat?

CKE nie podaje podziału punktów na tematy. Informator określa cały arkusz: na poziomie podstawowym 180 minut i 50 punktów, z czego połowa za zadania zamknięte i połowa za otwarte; na poziomie rozszerzonym 180 minut, 50 punktów i wyłącznie zadania otwarte. Ten temat wraca też jako etap zadań z innych działów.

Jak zrobić powtórkę z wielomianów przed maturą?

Sprawdza się taka kolejność. 1) Zacznij od sprawdzenia, czy da się wyłączyć wspólny czynnik przed nawias. 2) Jeśli wielomian ma cztery wyrazy, spróbuj grupowania parami. 3) Gdy to nie działa, wypisz dzielniki wyrazu wolnego i sprawdzaj kolejno, czy W(a) = 0.

Wielomiany — zadania maturalne

„Wielomiany” w Quizie — jak ćwiczysz

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Powtórki pytań, na których się mylisz

Trudność dobiera się do Ciebie

9 typów zadań — Wielomiany

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Wypróbuj bez logowania

Wielomiany na maturze

Powtórka z wielomianów krok po kroku

Odśwież wzory

Sprawdź, co umiesz

Uważaj na typowe błędy

Sprawdź się

Wielomiany — co musisz umieć

Działania na wielomianach

Wartość wielomianu

Równania w postaci iloczynowej

Dzielenie przez dwumian (poziom rozszerzony)

Rozkład na czynniki (poziom rozszerzony)

Pierwiastki całkowite (poziom rozszerzony)

Równania i nierówności wielomianowe (poziom rozszerzony)

Tu łatwo stracić punkty

Wzory i własności do powtórzenia

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Wielomiany”

Dla wielomianu $W (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ wartość $W (1)$ wynosi:

Dla jakiej wartości parametru $k$ wielomian $W (x) = x^{3} + k x^{2} - 4 x - 8$ ma pierwiastek $x = - 2$ ? Podaj wartość $k$ oraz pozostałe pierwiastki wielomianu dla tej wartości $k$ .

Dla wielomianu $W (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 13 x + 6$ oblicz wartość $W (- 3)$ .

Reszta z dzielenia wielomianu $W (x) = x^{3} - 2 x + 5$ przez dwumian $(x - 2)$ jest równa ......... .

Dopasuj wielomian do zbioru jego miejsc zerowych.

Strategia opanowania działu

FAQ — Wielomiany

Powiązane działy

Wielomiany do matury 2027

Wielomiany — zadania maturalne

„Wielomiany” w Quizie — jak ćwiczysz

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Powtórki pytań, na których się mylisz

Trudność dobiera się do Ciebie

9 typów zadań — Wielomiany

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Wypróbuj bez logowania

Wielomiany na maturze

Powtórka z wielomianów krok po kroku

Odśwież wzory

Sprawdź, co umiesz

Uważaj na typowe błędy

Sprawdź się

Wielomiany — co musisz umieć

Działania na wielomianach

Wartość wielomianu

Równania w postaci iloczynowej

Dzielenie przez dwumian (poziom rozszerzony)

Rozkład na czynniki (poziom rozszerzony)

Pierwiastki całkowite (poziom rozszerzony)

Równania i nierówności wielomianowe (poziom rozszerzony)

Tu łatwo stracić punkty

Wzory i własności do powtórzenia

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Wielomiany”

Dla wielomianu W(x)=x3−2x2−5x+6 wartość W(1) wynosi:

Dla jakiej wartości parametru k wielomian W(x)=x3+kx2−4x−8 ma pierwiastek x=−2? Podaj wartość k oraz pozostałe pierwiastki wielomianu dla tej wartości k.

Dla wielomianu W(x)=2x3+x2−13x+6 oblicz wartość W(−3).

Reszta z dzielenia wielomianu W(x)=x3−2x+5 przez dwumian (x−2) jest równa ......... .

Dopasuj wielomian do zbioru jego miejsc zerowych.

Strategia opanowania działu

FAQ — Wielomiany

Powiązane działy

Wielomiany do matury 2027

Dla wielomianu $W (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ wartość $W (1)$ wynosi:

Dla jakiej wartości parametru $k$ wielomian $W (x) = x^{3} + k x^{2} - 4 x - 8$ ma pierwiastek $x = - 2$ ? Podaj wartość $k$ oraz pozostałe pierwiastki wielomianu dla tej wartości $k$ .

Dla wielomianu $W (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 13 x + 6$ oblicz wartość $W (- 3)$ .

Reszta z dzielenia wielomianu $W (x) = x^{3} - 2 x + 5$ przez dwumian $(x - 2)$ jest równa ......... .