Wyrażenia algebraiczne na maturze: wzory skróconego mnożenia, wyłączanie przed nawias, działania na wyrażeniach wymiernych, a na poziomie rozszerzonym wzory na sześciany i potęgi dwumianu.
Konto zakładasz w minutę · pełny dostęp od 49 zł/mies.
Quiz · Wyrażenia algebraiczne
60 pytań z tego działu w jednym miejscu. Wybierasz je filtrem, po każdej odpowiedzi widzisz wyjaśnienie, a quiz sam dobiera trudność i wraca do Twoich błędów.
Wybierasz dział, typ zadania — np. zamknięte, obliczenia, dowód — i trudność 1–5. Przy każdej opcji widzisz, ile pytań zostaje w puli.
Od razu wiesz, czy dobrze — i dlaczego. Zadania otwarte ocenia AI według zasad oceniania CKE, z punktacją częściową.
Pytanie z błędem wraca po kilku dniach z plakietką „Powtórka”. Powtórki zajmują najwyżej 30% sesji; wyłączasz je jednym przełącznikiem.
Quiz liczy Twój poziom z ostatnich odpowiedzi i podsuwa pytania, przy których trafiasz ok. 70% — nie za łatwe, nie za trudne.
Zaznaczasz odpowiedź, klikasz „Sprawdź” i widzisz, która była poprawna i dlaczego. Możesz też odsłonić odpowiedź bez rozwiązywania albo pominąć pytanie.
Kilka pytań z bazy z działu „Wyrażenia algebraiczne” — kliknij odpowiedź i sprawdź.
Wprowadzenie
Dział II podstawy programowej to rachunek na literach. W zakresie podstawowym są cztery wymagania: wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnicę kwadratów, dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów, wyłączanie jednomianu przed nawias oraz mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych.
Zakres rozszerzony dodaje wzory na sumę i różnicę sześcianów oraz potęgi dwumianu, własności symbolu Newtona, a także dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych. Na tych przekształceniach opiera się upraszczanie wyrażeń, dowodzenie tożsamości i rozwiązywanie równań, dlatego błąd w tym miejscu przenosi się na całe zadanie.
Przed maturą
Zacznij od: Kwadrat sumy, Kwadrat różnicy, Różnica kwadratów i 4 kolejnych pozycji.
Pełna lista7 umiejętności do odhaczenia, od „Wzory skróconego mnożenia” po „Dodawanie wyrażeń wymiernych (poziom rozszerzony)”.
Lista umiejętności6 pułapek, np. „(a + b)² = a² + b²”. Przy każdej jest poprawna wersja i wyjaśnienie.
Typowe błędyZakres materiału
Wymagania szczegółowe podstawy programowej z matematyki: dział II „Wyrażenia algebraiczne” w zakresie podstawowym i rozszerzonym (Dz.U. 2024 poz. 1019).
Stosowanie wzorów na (a + b)², (a − b)² i a² − b², także w drugą stronę, do zwijania wyrażeń (II.1).
Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów jednej i wielu zmiennych, redukcja wyrazów podobnych (II.2).
Wyłączanie jednomianu poza nawias z sumy algebraicznej (II.3).
Skracanie przez wspólne czynniki licznika i mianownika oraz mnożenie i dzielenie ułamków algebraicznych (II.4).
Wzory na a³ + b³, a³ − b³, aⁿ − bⁿ oraz (a + b)ⁿ i (a − b)ⁿ (II, zakres rozszerzony, pkt 5).
Podstawowe własności trójkąta Pascala i współczynnika dwumianowego (II, zakres rozszerzony, pkt 4).
Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych przez sprowadzenie do wspólnego mianownika (II, zakres rozszerzony, pkt 6).
Typowe błędy
Typowe błędy rachunkowe i poprawne przekształcenie obok każdego z nich.
(a + b)² = a² + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Dlaczego: Kwadrat sumy zawiera podwojony iloczyn. Łatwo to sprawdzić na liczbach: (1 + 2)² = 9, a 1² + 2² = 5.
(a − b)² = a² − 2ab − b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Dlaczego: Kwadrat liczby −b jest dodatni, więc ostatni wyraz ma znak plus.
(x + 2)/2 = x
(x + 2)/2 = x/2 + 1; skracać można tylko wspólne czynniki całego licznika i mianownika
Dlaczego: Dwójka w liczniku jest składnikiem sumy, a nie czynnikiem. Skracanie składników zmienia wartość wyrażenia.
a² − b² = (a − b)²
a² − b² = (a − b)(a + b)
Dlaczego: Różnica kwadratów to iloczyn różnicy i sumy. Kwadrat różnicy jest innym wyrażeniem i ma trzy wyrazy.
−(a − b) = −a − b
−(a − b) = −a + b = b − a
Dlaczego: Minus przed nawiasem zmienia znak każdego wyrazu w nawiasie.
Upraszczam wyrażenie wymierne i pomijam jego dziedzinę
Wyrażenie wymierne jest określone tylko tam, gdzie mianownik jest różny od zera, także po skróceniu
Dlaczego: Skrócenie czynnika nie usuwa warunku, który z niego wynikał. Założenia zapisuje się dla wyrażenia wyjściowego.
Do zapamiętania
Bez tych nie ma o czym mówić.
Przykłady z bazy
Pełen zbiór zadań tego działu dostępny na platformie po założeniu konta.
Baza zadań z działu „Wyrażenia algebraiczne” jest aktywnie rozbudowywana. Zaloguj się, aby przeglądać aktualną kolekcję.
Przejdź do platformy →Jak się uczyć
Kroki w kolejności, w jakiej naprawdę warto je wykonać.
Naucz się trzech wzorów z poziomu podstawowego w obu kierunkach: rozwijania nawiasu i zwijania do nawiasu.
Każdy wzór sprawdź raz na liczbach, żeby pamiętać, skąd bierze się podwojony iloczyn.
Przed skracaniem ułamka rozłóż licznik i mianownik na czynniki.
Przy wyrażeniach wymiernych zacznij od zapisania, dla jakich wartości zmiennej mianownik jest różny od zera.
Po uproszczeniu podstaw prostą liczbę do wyrażenia wyjściowego i końcowego i porównaj wyniki.
FAQ
Wiedza z działu „Wyrażenia algebraiczne” przyda Ci się też tutaj:
60 zadań z tego działu w quizie z wyjaśnieniami, powtórkami i oceną AI krok po kroku. Subskrypcja odblokowuje cały katalog i pozostałe przedmioty — anulujesz, kiedy chcesz.
Pełny dostęp od 49 zł/mies. · jednorazowo 59 zł na 30 dni (BLIK / Przelewy24 / Google Pay / Apple Pay / Revolut / Karta) · subskrypcję anulujesz w 1 kliknięciu
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane przypomnienia o nauce).
