Fizyka jądrowa na maturze z fizyki — rozpady promieniotwórcze, prawo rozpadu i energia wiązania

Fizyka jądrowa na maturze z fizyki to dział, w którym rachunki są krótkie, a punkty łatwo tracić na drobiazgach: na liczbie atomowej po rozpadzie beta plus, na wykładniku w prawie rozpadu, na zaokrągleniu energii wiązania do żądanej liczby cyfr znaczących. Jeśli przygotowujesz się do fizyki rozszerzonej, ten poradnik porządkuje cały materiał krok po kroku: wymagania z podstawy programowej, zapis rozpadów alfa, beta minus i beta plus, prawo rozpadu i czas połowicznego rozpadu, deficyt masy i energię wiązania. Każdy z tych tematów pokazujemy na prawdziwym zadaniu — z arkuszy z maja 2023, 2024, 2025 i 2026 oraz z zadania 25. z Informatora o egzaminie z fizyki. Wzory podajemy w takiej postaci, w jakiej stoją w broszurze z wzorami, którą dostaniesz na egzaminie, a rozwiązania — zgodnie z zasadami oceniania.

Fizyka jądrowa w podstawie programowej — co trzeba umieć

W podstawie programowej fizyki dla zakresu rozszerzonego (rozporządzenie, Dz.U. 2024 poz. 1019) fizyka jądrowa jest połączona z elementami fizyki relatywistycznej w jeden dział XII. Informator o egzaminie z fizyki wymienia „elementy fizyki atomowej i jądrowej (XI, XII)” jako jeden z obszarów tematycznych, z których będą zadania. Wymagania jądrowe zebraliśmy w tabeli.

Wymaganie z działu XII podstawy programowej	Co to znaczy w zadaniu
posługuje się pojęciami pierwiastek, jądro atomowe, izotop, proton, neutron, elektron; opisuje skład jądra atomowego na podstawie liczb masowej i atomowej	liczba protonów i neutronów w jądrze
zapisuje reakcje jądrowe, stosując zasadę zachowania liczby nukleonów i zasadę zachowania ładunku	uzupełnianie schematu reakcji
stosuje zasadę zachowania energii do opisu reakcji jądrowych; posługuje się pojęciem energii wiązania	bilans energii przed i po rozpadzie
oblicza dla dowolnego izotopu energię spoczynkową, deficyt masy i energię wiązania	rachunek z masami nukleonów
wymienia właściwości promieniowania jądrowego; opisuje rozpady alfa, beta (β+, β–)	trzy typy rozpadów
opisuje rozpad izotopu promieniotwórczego; posługuje się pojęciem czasu połowicznego rozpadu	prawo rozpadu, odczyt z wykresu

W tym samym dziale podstawy są też: jądra stabilne i niestabilne oraz powstawanie promieniowania gamma, przypadkowy charakter rozpadu, datowanie na podstawie węgla 14C, wpływ promieniowania jonizującego na organizmy, rozszczepienie uranu 235U i reakcja łańcuchowa, elektrownia jądrowa, reakcja termojądrowa jako źródło energii gwiazd oraz kreacja i anihilacja par cząstka-antycząstka. Tych zagadnień nie rozwijamy tutaj, ale warto je przejrzeć przy powtórce, bo należą do tego samego działu.

Fizyka jądrowa w arkuszach z maja 2023–2026

W każdym z czterech arkuszy z fizyki rozszerzonej z lat 2023–2026 była wiązka zadań o rozpadzie albo reakcji jądrowej. Zestawienie poniżej opracowaliśmy na podstawie arkuszy i zasad oceniania.

Sesja	Zadanie	Jądro	Co trzeba było zrobić
maj 2023	zad. 11.1–11.3	kopernik Cn-277	reakcja jądrowa, sześć rozpadów α, energia wiązania
maj 2024	zad. 11.1–11.3	fluor F-18	czas połowicznego rozpadu z wykresu, rozpad β+, energia kinetyczna produktów
maj 2025	zad. 12.1–12.3	pluton Pu-238	rozpad α, stosunek energii kinetycznych, czas połowicznego rozpadu
maj 2026	zad. 11.1–11.3	neon Ne-23	rozpad β−, bilans mas, czas połowicznego rozpadu z wykresu logarytmu
Informator	zad. 25.1–25.3	technet Tc-99m	trzy reakcje jądrowe, prawo rozpadu, masa jądra wzbudzonego

Schemat się powtarza: najpierw zapis rozpadu, potem albo prawo rozpadu, albo bilans energii. Dlatego te trzy umiejętności omawiamy po kolei. Jeśli chcesz zobaczyć, jak fizyka jądrowa wypada na tle innych działów, zajrzyj do przeglądu co najczęściej pojawia się na fizyce rozszerzonej.

Rozpady alfa, beta minus i beta plus — zapis reakcji na maturze

Na karcie wzorów, w części „Elementy fizyki atomowej i jądrowej”, wśród zasad zachowania w procesach na poziomie fundamentalnym wymieniono zachowanie ładunku układu, zachowanie energii, zachowanie pędu i zachowanie liczby nukleonów. Do zapisu rozpadu potrzebne są dwie z nich — zachowanie ładunku i zachowanie liczby nukleonów: suma liczb masowych (górnych) i suma liczb atomowych (dolnych) muszą się zgadzać po obu stronach strzałki.

Rozpad	Co ucieka z jądra	Zmiana liczby masowej A	Zmiana liczby atomowej Z
alfa	jądro helu ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$	maleje o 4	maleje o 2
beta minus	elektron i antyneutrino	bez zmian	rośnie o 1
beta plus	cząstka β+ i neutrino	bez zmian	maleje o 1

Rozpad alfa — maj 2025, zadanie 12.1, i maj 2023, zadanie 11.2

W arkuszu z maja 2025 trzeba było uzupełnić schemat rozpadu α plutonu ${}^{238}_{94}\mathrm{Pu}$. Według zasad oceniania powstaje jądro uranu:

${}^{238}_{94}\mathrm{Pu} \to {}^{234}_{92}\mathrm{U} + \alpha$

Za pełne uzupełnienie — liczby atomową i masową oraz symbol pierwiastka — były 2 punkty.

Zadanie 11.2. z maja 2023 sprawdzało to samo, tylko sześć razy z rzędu. Kopernik Cn-277 o liczbie atomowej 112 przechodzi sześć kolejnych rozpadów α. W zasadach oceniania rachunek wygląda tak: $A = 277 - 6 \cdot 4 = 253$, $Z = 112 - 6 \cdot 2 = 100$, a pierwiastek o liczbie atomowej 100 to ferm. Zauważ, że liczba masowa była zapisem opcjonalnym — do nazwy pierwiastka wystarczała liczba atomowa.

Rozpad beta plus — maj 2024, zadanie 11.2

Izotop fluoru ${}^{18}_{9}\mathrm{F}$ ulega przemianie β+. W rozpadzie powstają cząstka β+, jądro nowego pierwiastka i neutrino. Liczba atomowa maleje o jeden, więc powstaje tlen:

${}^{18}_{9}\mathrm{F} \to {}^{18}_{8}\mathrm{O} + \beta^{+}$

Zasady oceniania przewidywały 1 punkt za samą poprawną nazwę pierwiastka albo za same poprawne liczby. Jeżeli zdający błędnie określił liczbę atomową, ale poprawnie liczbę masową i zgodnie ze swoją liczbą atomową podał nazwę pierwiastka, także dostawał 1 punkt.

Rozpad beta minus — maj 2026, zadanie 11.1, i zadanie 25. z Informatora

W maju 2026 neon ${}^{23}_{10}\mathrm{Ne}$ przechodził przemianę β−, a produktem było jądro sodu:

${}^{23}_{10}\mathrm{Ne} \to {}^{23}_{11}\mathrm{Na} + \beta^{-} + \bar{\nu}$

Zadanie 25.1. z Informatora wymaga zapisania trzech przemian związanych z technetem Tc-99m, który stosuje się w medycynie. Pełne rozwiązanie z Informatora:

${}^{99m}_{43}\mathrm{Tc} \to {}^{99}_{43}\mathrm{Tc} + \gamma$

${}^{99}_{42}\mathrm{Mo} \to {}^{99m}_{43}\mathrm{Tc} + e^{-} + \bar{\nu}_e$

${}^{1}_{1}p + {}^{100}_{42}\mathrm{Mo} \to {}^{99m}_{43}\mathrm{Tc} + 2\,{}^{1}_{0}n$

Informator dopisuje uwagę, że zapis antyneutrina w reakcji nie jest wymagany, a elektron można zapisać jako β−. Pierwsza reakcja jest pouczająca: przejście jądra ze stanu wzbudzonego do podstawowego z emisją kwantu gamma nie zmienia ani liczby masowej, ani atomowej.

Reakcja jądrowa wywołana — maj 2023, zadanie 11.1

Kopernik otrzymano, bombardując tarczę z ołowiu jonami cynku. Zasady oceniania podają rozwiązanie:

${}^{208}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{70}_{30}\mathrm{Zn} \to {}^{277}_{112}\mathrm{Cn} + {}^{1}_{0}n$

Liczby atomowe ołowiu i cynku trzeba było ustalić samodzielnie — uwaga do zadania odsyłała do broszury z wzorami i stałymi. Sumy się zgadzają: $208 + 70 = 277 + 1$ oraz $82 + 30 = 112 + 0$, więc brakującą cząstką jest neutron.

Prawo rozpadu i czas połowicznego rozpadu — wzór z karty

Na karcie wzorów jest statystyczne prawo rozpadu promieniotwórczego:

$N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$

gdzie $N_0$ to początkowa liczba jąder, a $T$ — czas połowicznego rozpadu. W arkuszach to prawo wracało w trzech odmianach.

Wariant 1. Ile jąder się rozpadło — zadanie 25.2. z Informatora

Czas połowicznego rozpadu wzbudzonych jąder technetu wynosi 6 h. Pytanie brzmi: jaka część jąder przejdzie do stanu podstawowego po 2 h. W rozwiązaniu z Informatora najpierw liczy się część jąder, które zostały: $\frac{N(t)}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/3} \approx 0{,}79$. Potem odejmuje się ją od jedynki: $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{1/3} \approx 0{,}21$.

To typowa pułapka: prawo rozpadu daje liczbę jąder, które pozostały, a polecenie pyta o te, które się rozpadły. W zasadach oceniania do zadania 25.2 za poprawną metodę obliczenia samego stosunku $N(t)/N_0$ z prawidłowym wynikiem przewidziano 1 punkt z 2. Potęgę o wykładniku ułamkowym liczysz na kalkulatorze naukowym — tak też robi to Informator.

Wariant 2. Odczyt z wykresu — maj 2024, zadanie 11.1

W arkuszu z maja 2024 był wykres ilorazu $N_r/N_0$ (część jąder fluoru, które już się rozpadły) od czasu. Czas połowicznego rozpadu odczytuje się w chwili, gdy ten iloraz osiąga 0,5. Według zasad oceniania czas połowicznego rozpadu fluoru F-18 wynosi 110 minut.

Wariant 3. Logarytm — maj 2025, zadanie 12.3, i maj 2026, zadanie 11.3

W maju 2025 moc cieplna próbki z plutonem spadła ze 100 J/s do 96,13 J/s w ciągu 5 lat, a moc była proporcjonalna do liczby jąder. Z prawa rozpadu dostajesz $0{,}9613 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{5\ \text{lat}}{T}}$, a niewiadoma siedzi w wykładniku — dlatego arkusz podpowiadał definicję logarytmu i wzór na zmianę jego podstawy. Wynik według zasad oceniania: $T \approx 88$ lat.

W maju 2026 wykres przedstawiał zależność $\log_{10} m$ od czasu dla masy jąder neonu Ne-23. Połowie masy początkowej odpowiada logarytm mniejszy o $\log_{10} 2 \approx 0{,}3$. W rozwiązaniu wzorcowym logarytm masy połówkowej wynosił w przybliżeniu 1,1, co dało czas połowicznego rozpadu ok. 0,62 min; zasady oceniania uznawały wartości od 0,60 min do 0,65 min.

Wskazówka: Jeśli $t/T$ wychodzi liczbą całkowitą, wynik policzysz w pamięci: po trzech czasach połowicznego rozpadu zostaje $\frac{1}{8}$ jąder. Gdy wykładnik jest ułamkiem albo niewiadomą — od razu sięgnij po kalkulator i logarytm.

Deficyt masy i energia wiązania na maturze z fizyki

Na karcie wzorów, w części o mechanice relatywistycznej, są dwa wzory potrzebne w tym dziale: równoważność masy i energii spoczynkowej $E_0 = mc^2$ oraz związek między zmianą masy układu a energią pochłoniętą albo emitowaną przez układ $\Delta E = \Delta m c^2$. W tabeli stałych na końcu karty znajdziesz masę protonu, masę neutronu i jednostkę masy atomowej.

Deficyt masy to różnica między sumą mas wszystkich nukleonów a masą jądra. Energia wiązania to energia, którą trzeba dostarczyć, żeby rozbić jądro na oddzielne nukleony — i jest równa deficytowi masy pomnożonemu przez $c^2$.

Maj 2023, zadanie 11.3 — energia wiązania kopernika

Polecenie: oblicz najmniejszą energię, którą trzeba dostarczyć do jądra Cn-277, aby rozbić je na oddzielne nukleony; wynik zaokrąglij do trzech cyfr znaczących. Jądro ma 112 protonów i 165 neutronów, więc według zasad oceniania:

$E_w = (112\,m_p + 165\,m_n - m_{\mathrm{Cn}})\,c^2$

Po podstawieniu mas z broszury i masy jądra podanej w zadaniu wynik to $E_w \approx 3{,}20 \cdot 10^{-10}\ \mathrm{J} \approx 2{,}00\ \mathrm{GeV}$. Zasady oceniania uznawały $(3{,}20 \pm 0{,}05) \cdot 10^{-10}$ J albo $(2{,}00 \pm 0{,}03)$ GeV. Wyjaśniają też, dlaczego do kalkulatora trzeba wprowadzić dane z pełną dokładnością: nie wiadomo z góry, ile cyfr znaczących będzie miała różnica mas, więc wynik zaokrągla się na samym końcu albo pośrednie wyniki zachowuje się z czterema cyframi znaczącymi.

Maj 2024, zadanie 11.3 — energia wydzielona w rozpadzie

Ten sam mechanizm działa w drugą stronę. Masa jądra fluoru F-18 jest większa niż suma mas produktów jego rozpadu, a nadwyżka zamienia się w energię kinetyczną produktów. W zadaniu podano masy w jednostkach atomowych i związek $1\ \mathrm{u} \cdot c^2 \approx 931{,}5\ \mathrm{MeV}$. Rozwiązanie z zasad oceniania:

$E_{kin} = (m_F - m_X - m_\beta)\,c^2 = 0{,}00068\ \mathrm{u} \cdot c^2 \approx 0{,}63\ \mathrm{MeV}$

Zwróć uwagę na $m_\beta$ — o masie cząstki β+ łatwo zapomnieć, a bez niej wynik jest zawyżony.

Podobnie sprawdzało rozumienie zadanie 11.2. z maja 2026: dwa stwierdzenia do oceny — że masa jądra neonu jest większa od sumy mas produktów rozpadu β− i że produkty uzyskują energię kinetyczną. Według zasad oceniania oba są prawdziwe.

Zadanie 25.3. z Informatora — masa jądra wzbudzonego

Tu zasadę zachowania energii łączy się ze wzorem na energię fotonu z karty, $E_f = \frac{hc}{\lambda}$. Jądro w stanie wzbudzonym ma większą masę niż w podstawowym o energię wyemitowanego kwantu gamma podzieloną przez $c^2$:

$m_m = m + \frac{h}{c\lambda}$

Wynik trzeba było podać z ośmioma cyframi znaczącymi — z taką dokładnością, z jaką podano masę jądra w stanie podstawowym.

Pęd w rozpadzie alfa — maj 2025, zadanie 12.2

Rozpad to także zasada zachowania pędu. Jądro plutonu przed rozpadem spoczywało, więc pędy produktów mają równe wartości i przeciwne zwroty. Z $p_X = p_\alpha$ i $E_{kin} = \frac{p^2}{2m}$ wynika, że stosunek energii kinetycznych jest odwrotnością stosunku mas. Przy podanym w zadaniu $\frac{m_X}{m_\alpha} \approx 58{,}5$ zasady oceniania dają $\frac{E_{kin\,X}}{E_{kin\,\alpha}} = \frac{1}{58{,}5} \approx 0{,}017$. Prawie całą energię rozpadu unosi lżejsza cząstka α.

Jak ćwiczyć fizykę jądrową przed maturą

Proponujemy kolejność, w jakiej ten dział pojawia się w zadaniach. Najpierw zapis rozpadów — zrób po kilka przykładów na α, β− i β+, aż przesunięcie liczby atomowej będzie odruchem. Potem prawo rozpadu w trzech wariantach z tego wpisu: część pozostała, część rozpadnięta i niewiadoma w wykładniku. Na końcu bilans mas i energii, najpierw w jednostkach atomowych z przelicznikiem na MeV, potem w kilogramach i dżulach.

Przy każdym rachunku warto zapisać wzór ogólny, zanim podstawisz liczby. W zasadach oceniania do zadań z tego działu punkty cząstkowe przyznaje się właśnie za zapis zasady zachowania energii albo prawa rozpadu z poprawnie dobranymi wielkościami, nawet gdy wynik liczbowy nie wyjdzie.

Do takiego treningu przydaje się natychmiastowa informacja zwrotna. Na matury-online.pl czeka ponad 1600 zadań z fizyki — w module fizyka po każdej odpowiedzi dostajesz wyjaśnienie. Możesz też rozwiązać pełne arkusze online — odpowiedzi otwarte ocenia AI według kryteriów CKE.

Bilans energii w rozpadzie ma ten sam charakter co bilans w polu elektrycznym czy magnetycznym, dlatego dobrze powtarzać te działy obok siebie: pole elektryczne i kondensator na maturze z fizyki oraz pole magnetyczne i indukcja elektromagnetyczna. Szerszy plan nauki całego przedmiotu znajdziesz we wpisie jak przygotować się do matury z fizyki rozszerzonej.

Pułapki w zadaniach z fizyki jądrowej

• Kierunek zmiany liczby atomowej. W rozpadzie β− liczba atomowa rośnie, w β+ maleje. Pomyłka o jeden daje sąsiedni pierwiastek.
• Pozostałe a rozpadnięte. $N(t)$ z prawa rozpadu to jądra, które jeszcze się nie rozpadły. Gdy pytanie dotyczy rozpadniętych, odejmij od $N_0$.
• Zaokrąglanie zbyt wcześnie. Przy deficycie masy odejmujesz liczby, które różnią się dopiero na dalszych miejscach po przecinku. Zaokrąglenie danych przed odejmowaniem może zniszczyć wynik.
• Pominięta masa cząstki β. W bilansie rozpadu β+ i β− cząstka β ma masę, którą trzeba odjąć.
• Jednostki. Jeśli masy podano w u, a zadanie podaje przelicznik na MeV, licz w MeV — przejście na kilogramy i dżule tylko wydłuża rachunek.

Najczęstsze pytania o fizykę jądrową na maturze

Czy prawo rozpadu promieniotwórczego jest na karcie wzorów?

Tak. Wzór $N(t) = N_0 (1/2)^{t/T}$ jest w broszurze „Wybrane wzory i stałe fizykochemiczne na egzamin maturalny z biologii, chemii i fizyki” jako statystyczne prawo rozpadu promieniotwórczego, w części o fizyce atomowej i jądrowej.

Czy wzór na energię wiązania jest na karcie wzorów?

Osobnego wzoru z nazwą „energia wiązania” na karcie nie ma. Jest związek $\Delta E = \Delta m c^2$ oraz masy protonu i neutronu w tabeli stałych — z nich budujesz wzór $E_w = (Z m_p + (A - Z) m_n - m_j) c^2$.

Czy na egzaminie z fizyki potrzebny jest kalkulator naukowy?

Tak. Według komunikatu dyrektora CKE o materiałach i przyborach pomocniczych w 2027 r. na egzaminie z fizyki obowiązkowe są linijka, kalkulator naukowy i broszura „Wybrane wzory i stałe fizykochemiczne na egzamin maturalny z biologii, chemii i fizyki”. Linijkę i kalkulator zapewnia zdający lub szkoła, broszurę — szkoła. Szczegóły są we wpisie co wolno wziąć na maturę.

Podsumowanie

Fizyka jądrowa na maturze sprowadza się do trzech umiejętności: zapisu rozpadu z zachowaniem liczby nukleonów i ładunku, prawa rozpadu z karty wzorów oraz bilansu mas i energii. Wszystkie trzy spotkasz w zadaniach z maja 2023–2026 i w zadaniu 25. z Informatora — przerób je w całości, z zasadami oceniania obok, a potem utrwal na zadaniach w module fizyka, gdzie po każdej odpowiedzi zobaczysz wyjaśnienie.