Pole elektryczne i kondensator na maturze z fizyki — prawo Coulomba, natężenie pola i energia kondensatora

Pole elektryczne na maturze z fizyki wygląda niewinnie: kilka wzorów, które i tak masz na karcie. Problem w tym, że natężenie pola jest wektorem, a w zadaniach z arkuszy z maja 2024 i maja 2026 ładunki były trzy. Trzy ładunki w wierzchołkach kwadratu, punkt bez ładunku w czwartym wierzchołku, pytanie o wypadkowe natężenie — i nagle liczy się nie wzór, ale to, czy umiesz poprawnie dodać wektory. Ten poradnik (pole elektryczne, matura, fizyka rozszerzona) porządkuje cały dział: prawo Coulomba, natężenie pola od układu ładunków, napięcie i potencjał, przewodnik w polu elektrycznym, kondensator płaski z dielektrykiem i energię kondensatora. Przy każdym etapie dostajesz wzór w brzmieniu z karty i zadanie, które pojawiło się w prawdziwym arkuszu — z maja 2023, maja 2024 i maja 2026 — albo w Informatorze. Na końcu znajdziesz listę pułapek i krótkie odpowiedzi na pytania, które wracają przy tym dziale.

Pole elektryczne w podstawie programowej — co trzeba umieć na maturze z fizyki

W podstawie programowej fizyki dla zakresu rozszerzonego (rozporządzenie, Dz.U. 2024 poz. 1019) elektrostatyka to osobny dział VII. Zanim zaczniesz rozwiązywać zadania, zobacz, co dokładnie w nim zapisano — to jest zakres, z którego mogą pochodzić pytania o pole elektryczne.

Co zapisano w podstawie programowej (dział VII. Elektrostatyka)	Co to znaczy w praktyce
oblicza wartość siły wzajemnego oddziaływania ładunków, stosując prawo Coulomba	liczysz siłę między dwoma ładunkami punktowymi
posługuje się wektorem natężenia pola elektrycznego wraz z jego jednostką	natężenie ma kierunek i zwrot, nie tylko wartość
analizuje natężenie pola wytwarzanego przez układ ładunków punktowych i oblicza jego wartość	dodajesz wektory od kilku ładunków
opisuje jakościowo rozkład ładunków w przewodnikach, zerowe natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika (klatka Faradaya)	przewodnik „ekranuje” swoje wnętrze
analizuje ruch cząstek naładowanych w polu elektrycznym	cząstka przyspieszana albo odchylana przez pole
posługuje się pojęciem napięcia między punktami w polu elektrycznym; posługuje się pojęciem potencjału pola i jego jednostką	praca, energia i napięcie w jednym rachunku
stosuje związek między napięciem i natężeniem pola w jednorodnym polu elektrycznym	pole między płytami kondensatora
opisuje kondensator jako układ dwóch przeciwnie naładowanych przewodników, między którymi istnieje napięcie elektryczne, oraz jako urządzenie magazynujące energię	pojemność i energia kondensatora
opisuje polaryzację dielektryków w polu elektrycznym zewnętrznym	co zmienia wsunięcie dielektryka

Ten sam dział wymienia też doświadczenia: ilustrowanie pola elektrycznego oraz układu linii pola wokół przewodnika i demonstrowanie przekazu energii podczas rozładowania kondensatora (np. lampa błyskowa, przeskok iskry). Warto mieć z tyłu głowy, że zadanie z elektrostatyki może zaczynać się od opisu doświadczenia, a nie od gotowego rysunku z ładunkami.

Wskazówka: Wszystkie wzory z tego tekstu znajdziesz w broszurze „Wybrane wzory i stałe fizykochemiczne na egzamin maturalny z biologii, chemii i fizyki”, w części „Elektrostatyka”. Omówienie całej broszury jest we wpisie wzory fizyczne na maturze rozszerzonej. Ucz się tego działu z broszurą otwartą obok — na egzaminie od razu będziesz wiedzieć, gdzie szukać.

Prawo Coulomba i natężenie pola elektrycznego — wzory z karty

Na karcie wzorów prawo Coulomba zapisano tak:

$F_e = k\frac{q_1 q_2}{r^2}, \qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$

Wartość stałej nie musisz pamiętać. W tabeli wartości wybranych stałych fizycznych na końcu broszury jest zarówno przenikalność elektryczna próżni, jak i gotowa stała $k \approx 8{,}99 \cdot 10^9\ \mathrm{N \cdot m^2/C^2}$ (dokładniej $8{,}987\,551\,8 \cdot 10^9$).

Natężenie pola karta definiuje jako siłę przypadającą na ładunek:

$\vec{E} = \frac{\vec{F}_e}{q}$

a dla pola na zewnątrz sferycznego rozkładu ładunku (w tym ładunku punktowego) podaje wartość:

$E = k\frac{Q}{r^2}$

Z definicji wynika jednostka: niuton na kulomb. Ten sam wymiar ma wolt na metr — zobaczysz to niżej przy związku napięcia z natężeniem.

Kierunek i zwrot wektora natężenia

Wzór daje tylko wartość. Zwrot ustalasz osobno i właśnie tu łatwo o błąd. Linie pola definiuje się przez siłę działającą na dodatni ładunek próbny, więc dla ładunku dodatniego zwrot linii jest skierowany od źródła, a dla ładunku ujemnego — do źródła. Im większe zagęszczenie linii pola, tym większe natężenie pola elektrycznego w tym miejscu.

W praktyce: przy każdym ładunku rysujesz w badanym punkcie strzałkę „od plusa” albo „do minusa”, długość dobierasz do odległości, a dopiero potem liczysz. Wzór $E = kQ/r^2$ wstawiasz z wartością bezwzględną ładunku — znak ładunku już „zużyłeś” na zwrot strzałki.

Zasada superpozycji

Gdy ładunków jest kilka, wypadkowe natężenie jest wektorową sumą natężeń od poszczególnych ładunków. Tak zaczyna się przykładowe rozwiązanie zadania z maja 2026: wektor natężenia w punkcie jest wektorową sumą wektorów natężeń pochodzących od kolejnych ładunków. Na tym polega cała trudność działu — dodajesz strzałki, a nie liczby.

Natężenie pola od kilku ładunków — zadania z arkuszy 2024 i 2026

Zadania o natężeniu pola od układu ładunków punktowych z arkuszy z maja 2024 i maja 2026 mają ten sam szkielet: ładunki w wierzchołkach kwadratu o boku $a$ i pytanie o wypadkowe natężenie w wybranym punkcie, wyrażone tylko przez $a$, ładunek i stałą fizyczną.

Maj 2024, zadanie 6. — symetria robi połowę roboty

W arkuszu z maja 2024 w zadaniu 6. (0–3 pkt) trzy ujemne ładunki umieszczono w wierzchołkach kwadratu: $Q_1 = -2q$, $Q_2 = -q$, $Q_3 = -2q$. Trzeba było narysować wektor wypadkowego natężenia w punkcie $S$ — przecięciu przekątnych — i zapisać wzór na jego wartość.

Klucz leży w symetrii. Ładunki $Q_1$ i $Q_3$ są równe i leżą na końcach jednej przekątnej, więc ich natężenia w środku kwadratu mają te same wartości i przeciwne zwroty — znoszą się. Zostaje samo pole od $Q_2$, liczone z odległości równej połowie przekątnej:

$E_S = k\frac{q}{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{2kq}{a^2}$

Wektor leży na odcinku od $S$ do $Q_2$ i ma zwrot w stronę $Q_2$ — bo $Q_2$ jest ujemny. Według zasad oceniania pełne 3 pkt wymagały poprawnego narysowania wektora oraz poprawnego wzoru na jego wartość. Za sam poprawny wektor albo za sam wzór można było dostać 2 pkt, a 1 pkt — za zauważenie, że wypadkowe natężenie pochodzi tylko od ładunku $Q_2$.

Maj 2026, zadanie 7. — dwa wektory na jednej prostej

W arkuszu z maja 2026 zadanie 7. miało dwie części. Ładunki $Q_1 = +Q$, $Q_2 = -Q$ i $Q_3 = +Q$ umieszczono w trzech wierzchołkach kwadratu, a w czwartym wierzchołku $P$ ładunku nie było. W zadaniu 7.1 (0–1 pkt) trzeba było wybrać rysunek z poprawnym kierunkiem i zwrotem wypadkowej siły elektrycznej działającej na ładunek $Q_3$ — to wprost prawo Coulomba plus dodawanie sił.

Zadanie 7.2 (0–4 pkt) wymagało wyznaczenia wartości wypadkowego natężenia pola w punkcie $P$ w zależności tylko od $a$, $Q$ i stałej fizycznej. Rozwiązanie z zasad oceniania idzie tak:

1. Ładunki $Q_1$ i $Q_3$ leżą w odległości $a$ od $P$, więc $E_1 = E_3 = kQ/a^2$. Oba są dodatnie, więc ich wektory w $P$ są skierowane od ładunków i tworzą kąt prosty.
2. Ich suma to przekątna kwadratu o boku $E_1$: $E_{13} = \sqrt{2}\,kQ/a^2$.
3. Ładunek $Q_2$ leży w odległości $\sqrt{2}a$, więc $E_2 = kQ/(\sqrt{2}a)^2 = \tfrac{1}{2}\,kQ/a^2$. Jest ujemny, więc jego wektor wskazuje w stronę $Q_2$.
4. Wektory $\vec{E}_{13}$ i $\vec{E}_2$ leżą na jednej prostej (przekątnej) i mają przeciwne zwroty, więc wartości się odejmują:

$E_P = E_{13} - E_2 = \frac{kQ}{a^2}\left(\sqrt{2} - \frac{1}{2}\right)$

Zasady oceniania punktowały ten tok etapami: osobno wzór na natężenie od jednego ładunku, osobno zależności między wartościami, osobno wynik złożenia $E_{13}$. Za wskazanie, że wektory $\vec{E}_{13}$ i $\vec{E}_2$ leżą na jednej prostej, razem z poprawnymi wzorami na $E_{13}$ i $E_2$, można było dostać 3 pkt, nawet przy błędnych zwrotach. Wniosek praktyczny: nawet jeśli nie domkniesz wyniku, zapisuj każdy krok osobnym równaniem i rysuj wektory na rysunku pomocniczym.

Napięcie, potencjał i energia ładunku w polu elektrycznym

Druga połowa działu to opis energetyczny. Na karcie wzorów masz komplet potrzebnych związków:

Wielkość	Wzór z karty
napięcie między punktami A i B (praca przeciw sile elektrycznej przez ładunek)	$U_{AB} = W_{AB}/q$
związek napięcia z potencjałami	$U_{AB} = V_B - V_A$
energia potencjalna elektryczna układu dwóch ładunków	$E_{pot} = k q_1 q_2 / r$
związek napięcia z natężeniem w polu jednorodnym	$U = Ed$

Najczęstsze zastosowanie: cząstka naładowana przyspieszana napięciem. Z pierwszego wzoru praca sił pola przy przejściu ładunku przez napięcie $U$ to $qU$, a skoro cząstka startuje z prędkości zero, cała ta praca zamienia się w energię kinetyczną. Dla elektronu: $E_k = eU$.

Maj 2023, zadanie 10.3 — elektron rozpędzony w polu

W arkuszu z maja 2023 zadanie 10. opisywało elektron o prędkości początkowej równej zero, rozpędzony w polu elektrycznym o napięciu $U$. Energia kinetyczna, którą uzyskał, była dwa razy większa od jego energii spoczynkowej. W zadaniu 10.3 podano energię spoczynkową elektronu w zaokrągleniu, około $5{,}1 \cdot 10^5\ \mathrm{eV}$, i trzeba było wpisać napięcie.

Rachunek mieści się w jednej linijce, jeśli pracujesz w elektronowoltach:

$eU = E_k = 2E_0 = 2 \cdot 5{,}1 \cdot 10^5\ \mathrm{eV} \quad\Rightarrow\quad U = 10{,}2 \cdot 10^5\ \mathrm{V}$

Taką wartość podają zasady oceniania. Pozostałe części tego zadania dotyczyły już fizyki relatywistycznej.

Przewodnik w polu elektrycznym — zadanie z Informatora

Karta wzorów zawiera też własności pola wewnątrz i na powierzchni bryły przewodnika: wewnątrz natężenie jest zerowe, a na powierzchni wektor natężenia jest do niej prostopadły. Podstawa programowa wymaga, żebyś umiał to opisać jakościowo — razem z rozkładem ładunków w przewodniku.

Dobry przykład pokazuje Informator o egzaminie maturalnym z fizyki od roku szkolnego 2024/2025, w zadaniu 15. (indukcja elektrostatyczna). Do metalowego klocka na nieprzewodzącej podstawie zbliżano naładowaną dodatnio kulkę z izolatora. W doświadczeniu D1 klocek był obojętny: poprawna odpowiedź to, że po stronie bliższej kulce pojawiają się ładunki ujemne, po dalszej dodatnie, a kulka jest przyciągana. W doświadczeniu D2 kulka nie była ani przyciągana, ani odpychana — i trzeba było ustalić znak całkowitego ładunku klocka.

Odpowiedź z Informatora: ładunek całkowity klocka jest dodatni. Uzasadnienie za 2 pkt musiało odwoływać się do rozkładu ładunków na obie strony przewodnika, równowagi sił działających na kulkę od ładunków dodatnich i ujemnych oraz zależności oddziaływania od odległości. Ładunki dodatnie są dalej od kulki niż ujemne, więc musi być ich więcej, żeby odpychanie zrównoważyło przyciąganie. To zadanie nie wymaga ani jednej liczby, a sprawdza zrozumienie prawa Coulomba lepiej niż niejeden rachunek.

Kondensator płaski i dielektryk na maturze z fizyki

Kondensator to według podstawy programowej układ dwóch przeciwnie naładowanych przewodników z napięciem między nimi, a zarazem urządzenie magazynujące energię. Na karcie wzorów są cztery związki, które obsługują prawie każdy rachunek z kondensatorem płaskim:

$C = \frac{Q}{U}, \qquad C = \varepsilon_r \varepsilon_0 \frac{S}{d}$

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}, \quad \sigma = \frac{Q}{\Delta S}, \qquad \vec{E} = \frac{\vec{E}_0}{\varepsilon_r}$

Pierwszy wzór to definicja pojemności, drugi — pojemność kondensatora płaskiego z dielektrykiem o przenikalności względnej $\varepsilon_r$. Trzeci daje natężenie pola między płytami naładowanymi różnoimiennie (przez gęstość powierzchniową ładunku), czwarty mówi, ile razy dielektryk osłabia pole zewnętrzne. Do tego dochodzi znany już związek $U = Ed$ dla pola jednorodnego.

Pole między płytami jest jednorodne: w każdym punkcie wektor natężenia ma taką samą wartość, kierunek i zwrot. Linie pola są prostopadłe do płyt i skierowane od płyty dodatniej do ujemnej. Dlatego do kondensatora płaskiego wolno ci stosować $U = Ed$, a do pola ładunku punktowego — nie.

Odłączony czy podłączony do źródła — to pierwsze pytanie

W zadaniach z kondensatorem coś się zmienia: rozsuwasz płyty, wsuwasz dielektryk. Zanim zaczniesz liczyć, ustal, co jest stałe. Jeśli kondensator odłączono od źródła, ładunek nie ma dokąd odpłynąć, więc stałe jest $Q$. Jeśli nadal jest podłączony, źródło trzyma stałe $U$. Z wzorów z karty wynika wtedy taka tabela (dielektryk wypełnia w niej całą przestrzeń między płytami):

Zmiana	Stałe	Pojemność	Napięcie	Ładunek	Natężenie między płytami	Energia
rozsunięcie płyt dwa razy, kondensator odłączony	$Q$	maleje 2 razy	rośnie 2 razy	bez zmian	bez zmian	rośnie 2 razy
rozsunięcie płyt dwa razy, kondensator podłączony	$U$	maleje 2 razy	bez zmian	maleje 2 razy	maleje 2 razy	maleje 2 razy
wsunięcie dielektryka, kondensator odłączony	$Q$	rośnie $\varepsilon_r$ razy	maleje $\varepsilon_r$ razy	bez zmian	maleje $\varepsilon_r$ razy	maleje $\varepsilon_r$ razy
wsunięcie dielektryka, kondensator podłączony	$U$	rośnie $\varepsilon_r$ razy	bez zmian	rośnie $\varepsilon_r$ razy	bez zmian	rośnie $\varepsilon_r$ razy

Tabeli nie ucz się na pamięć — każdy wiersz wyprowadzisz w minutę. Przykład dla pierwszego wiersza: przy stałym $Q$ i podwojonym $d$ pojemność z wzoru $C = \varepsilon_r\varepsilon_0 S/d$ spada o połowę, napięcie $U = Q/C$ się podwaja, gęstość $\sigma = Q/S$ się nie zmienia, więc i natężenie $E = \sigma/\varepsilon_0$ zostaje takie samo. Energia $W = Q^2/(2C)$ przy stałym $Q$ i dwa razy mniejszym $C$ rośnie dwa razy.

Energia kondensatora — który wzór wybrać

Energia elektryczna kondensatora jest na karcie podana od razu w trzech postaciach:

$W = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}QU = \frac{1}{2}U^2 C$

To ten sam wzór, przekształcony przez $C = Q/U$. Wybór zależy od tego, co jest stałe w zadaniu. Gdy kondensator jest odłączony (stałe $Q$), najwygodniej liczyć z $Q^2/(2C)$ — zmienia się tylko mianownik. Gdy jest podłączony do źródła (stałe $U$), bierz $\tfrac{1}{2}U^2C$. Postać $\tfrac{1}{2}QU$ przydaje się, gdy znasz od razu ładunek i napięcie. Podstawa programowa łączy energię kondensatora z doświadczeniem: demonstrowaniem przekazu energii podczas rozładowania kondensatora (np. lampa błyskowa, przeskok iskry). Gdy w zadaniu kondensator jest częścią obwodu, przydadzą się prawa obwodów, które omawiamy we wpisie obwody elektryczne i prawa Kirchhoffa na maturze z fizyki.

Jeśli chcesz sprawdzić, czy elektrostatyka siedzi ci w ręce, a nie tylko w notatkach, najlepiej rozwiązywać zadania z natychmiastową informacją zwrotną. Na matury-online.pl czeka ponad 1600 zadań z fizyki, a w module fizyka możesz też rozwiązać pełne arkusze online — odpowiedzi otwarte ocenia AI według kryteriów CKE.

Pułapki w zadaniach o polu elektrycznym

Poniższa lista to nasze rady, ułożone pod potknięcia, o które łatwo przy tym dziale:

• Dodawanie wartości zamiast wektorów. Dwa natężenia po $kQ/a^2$ pod kątem prostym nie dają $2kQ/a^2$, tylko $\sqrt{2}\,kQ/a^2$. Zawsze najpierw rysunek ze strzałkami.
• Znak ładunku w dwóch miejscach naraz. Jeśli zwrot wektora ustaliłeś z rysunku, do wzoru na wartość wstawiaj wartość bezwzględną ładunku.
• Zła odległość. Ładunek w przeciwległym wierzchołku kwadratu jest w odległości $\sqrt{2}a$, w środku kwadratu — w odległości $a\sqrt{2}/2$. Kwadrat tej odległości to $2a^2$ albo $a^2/2$.
• $U = Ed$ tam, gdzie pole nie jest jednorodne. Ten związek dotyczy pola jednorodnego, np. między płytami kondensatora; przy ładunku punktowym korzystaj z energii potencjalnej i potencjałów.
• Nieustalenie, co jest stałe w kondensatorze. Odłączony — stały ładunek; podłączony — stałe napięcie. Bez tego każda dalsza zmiana wychodzi przypadkowo.
• Pominięcie symetrii. Zanim zaczniesz liczyć składowe, sprawdź, czy któreś wektory się nie znoszą — tak jak w zadaniu z maja 2024.

Uwaga: W zadaniach z poleceniem typu „Wyznacz … w zależności tylko od $a$, od $Q$ oraz od odpowiedniej stałej fizycznej” wynik ma zawierać wyłącznie te symbole. Pozostawienie w ostatecznym wzorze $E_1$ czy $E_{13}$ oznacza, że wynik nie jest doprowadzony do końca.

Jeśli planujesz naukę całego przedmiotu, a nie tylko elektrostatyki, przyda ci się szerszy plan z wpisu jak przygotować się do matury z fizyki rozszerzonej. Przegląd tego, jakie działy wracały w arkuszach, znajdziesz w tekście co najczęściej pojawia się na fizyce rozszerzonej.

Najczęstsze pytania o pole elektryczne na maturze z fizyki

Czy wzór na energię kondensatora jest na karcie wzorów?

Tak. W broszurze „Wybrane wzory i stałe fizykochemiczne” energia elektryczna kondensatora jest podana w trzech postaciach, obok pojemności kondensatora i pojemności kondensatora płaskiego z dielektrykiem.

Czy muszę pamiętać wartość stałej k?

Nie. W tabeli wartości wybranych stałych fizycznych podano przenikalność elektryczną próżni i stałą $k = 1/(4\pi\varepsilon_0)$ z wartością liczbową.

Czy broszurę i kalkulator trzeba przynieść samemu?

Według komunikatu dyrektora CKE o materiałach i przyborach pomocniczych w 2027 r. na egzaminie z fizyki obowiązkowe są linijka, kalkulator naukowy i broszura „Wybrane wzory i stałe fizykochemiczne na egzamin maturalny z biologii, chemii i fizyki”. Linijkę i kalkulator zapewnia zdający lub szkoła, broszurę — szkoła. Pełną listę przyborów omawiamy we wpisie co wolno wziąć na maturę.

Czy natężenie pola od ładunku ujemnego liczy się ze znakiem minus?

Najbezpieczniej nie. Wartość liczysz z wartości bezwzględnej ładunku, a znak ładunku decyduje o zwrocie: od ładunku dodatniego, do ładunku ujemnego.

Podsumowanie

Pole elektryczne na maturze z fizyki sprowadza się do dwóch umiejętności. Pierwsza to dodawanie wektorów natężenia od kilku ładunków — z poprawnym zwrotem, właściwą odległością i wykorzystaniem symetrii. Tego dotyczyły zadania z maja 2024 i maja 2026. Druga to opis energetyczny: napięcie jako praca na jednostkę ładunku, $U = Ed$ w polu jednorodnym i kondensator, w którym najpierw ustalasz, co jest stałe, a dopiero potem wybierasz postać wzoru na energię.

Wszystkie potrzebne wzory masz na karcie, więc na egzaminie liczy się tok rozumowania, a nie pamięć. Przećwicz kilka zadań z ładunkami w wierzchołkach figur i kilka z kondensatorem odłączonym i podłączonym do źródła — najlepiej w module fizyka, gdzie od razu sprawdzisz swoje rozwiązanie.