📐 MatematykaPP+PR

Logarytmy — zadania maturalne

Q: Czy logarytmy są na maturze podstawowej z matematyki?

Tak. Podstawa programowa (Dz.U. 2024 poz. 1019) wymaga w zakresie podstawowym stosowania związku logarytmowania z potęgowaniem oraz wzorów na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi. W zakresie rozszerzonym dochodzi wzór na zamianę podstawy logarytmu.

Q: Jakie wzory na logarytmy trzeba znać?

Na poziomie podstawowym: definicję, logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi. Na poziomie rozszerzonym także wzór na zamianę podstawy.

Q: Ile punktów na maturze jest za ten temat?

CKE nie podaje podziału punktów na tematy. Informator określa cały arkusz: na poziomie podstawowym 180 minut i 50 punktów, z czego połowa za zadania zamknięte i połowa za otwarte; na poziomie rozszerzonym 180 minut, 50 punktów i wyłącznie zadania otwarte. Ten temat wraca też jako etap zadań z innych działów.

Q: Jak zrobić powtórkę z logarytmów przed maturą?

Sprawdza się taka kolejność. 1) Każdy logarytm zamieniaj najpierw na pytanie „do jakiej potęgi podnieść podstawę?”, a dopiero potem sięgaj po wzory. 2) Przed użyciem wzoru sprawdź, czy logarytmy mają tę samą podstawę. 3) Przy wyrażeniach z niewiadomą zacznij od warunku: liczba logarytmowana większa od zera.

Logarytmy na maturze: definicja, obliczanie wartości, wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi, a na poziomie rozszerzonym zamiana podstawy.

Zacznij ćwiczyć: Logarytmy → Jak działa quiz ↓

Konto zakładasz w minutę · pełny dostęp od 49 zł/mies.

zadań w katalogu: 64; zadań w katalogu
typów zadań: 11; typów zadań

Aplikacja Matury Online — nowa sesja quizu: Matematyka, wybór działu i liczby pytań

Quiz w aplikacji Matury Online — Matematyka: pytanie i wyjaśnienie po odpowiedzi

Quiz · Logarytmy

„Logarytmy” w Quizie — jak ćwiczysz

64 pytania z tego działu w jednym miejscu. Wybierasz je filtrem, po każdej odpowiedzi widzisz wyjaśnienie, a quiz sam dobiera trudność i wraca do Twoich błędów.

Quiz w Matury Online — panel „Filtruj”: Matematyka, wybór tematu, typu zadania i trudności 1–5 z liczbą pytań przy każdej opcji

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wybierasz dział, typ zadania — np. zamknięte, obliczenia, dowód — i trudność 1–5. Przy każdej opcji widzisz, ile pytań zostaje w puli.
Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Od razu wiesz, czy dobrze — i dlaczego. Zadania otwarte ocenia AI według zasad oceniania CKE, z punktacją częściową.
Powtórki pytań, na których się mylisz

Pytanie z błędem wraca po kilku dniach z plakietką „Powtórka”. Powtórki zajmują najwyżej 30% sesji; wyłączasz je jednym przełącznikiem.
Trudność dobiera się do Ciebie

Quiz liczy Twój poziom z ostatnich odpowiedzi i podsuwa pytania, przy których trafiasz ok. 70% — nie za łatwe, nie za trudne.

11 typów zadań — Logarytmy

z 19 typów w całym quizie · liczba pytań · filtr „Typ” w quizie

Zamknięte (A–D) 18
Obliczenia 10
Otwarte 9
Uzupełnij 7
Tabela danych 6
Dopasuj 5
Wielokrotny wybór 3
Wykres 2
Prawda/Fałsz 2
Znajdź błąd 1
Uporządkuj 1

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Zaznaczasz odpowiedź, klikasz „Sprawdź” i widzisz, która była poprawna i dlaczego. Możesz też odsłonić odpowiedź bez rozwiązywania albo pominąć pytanie.

Quiz w Matury Online — Matematyka: zaznaczona odpowiedź, poprawna odpowiedź na zielono i wyjaśnienie pod pytaniem

Wypróbuj bez logowania

Kilka pytań z bazy z działu „Logarytmy” — kliknij odpowiedź i sprawdź.

Ćwicz dział „Logarytmy” w Quizie → darmowe konto: 5 pytań dziennie · bez dziennego limitu od 49 zł/mies.

Wprowadzenie

Logarytmy na maturze

Podstawa programowa wymaga dwóch rzeczy: stosowania związku logarytmowania z potęgowaniem oraz posługiwania się wzorami na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi. Na poziomie rozszerzonym dochodzi wzór na zamianę podstawy logarytmu.

Zadania sprowadzają się więc do trzech czynności: zamiany zapisu logarytmicznego na potęgowy, obliczenia wartości wyrażenia przez zastosowanie wzorów i ustalenia, dla jakich liczb wyrażenie w ogóle ma sens. Logarytm pojawia się też w dziale o funkcjach, gdzie funkcja logarytmiczna służy do opisu zjawisk praktycznych.

Większość błędów w tym temacie to nie brak wiedzy, tylko stosowanie wzorów, które nie istnieją, np. „logarytm sumy”.

Przed maturą

Powtórka z logarytmów krok po kroku

1

Odśwież wzory

Zacznij od: Definicja logarytmu, Logarytm iloczynu, Logarytm ilorazu i 5 kolejnych pozycji.
Pełna lista
2

Sprawdź, co umiesz

7 umiejętności do odhaczenia, od „Definicja logarytmu” po „Zamiana podstawy logarytmu (poziom rozszerzony)”.
Lista umiejętności
3

Uważaj na typowe błędy

6 pułapek, np. „log(x + y) = log x + log y”. Przy każdej jest poprawna wersja i wyjaśnienie.
Typowe błędy
4

Sprawdź się

Zadania z bazy mają wyjaśnienie po każdej odpowiedzi.

Rozwiąż zadania z bazy

Zakres materiału

Logarytmy — co musisz umieć

Wymagania szczegółowe podstawy programowej z matematyki: dział I „Liczby rzeczywiste”, pkt 1 i 9, oraz dział V „Funkcje”, pkt 14; w zakresie rozszerzonym wzór na zamianę podstawy logarytmu (Dz.U. 2024 poz. 1019).

1
Definicja logarytmu
Związek logarytmowania z potęgowaniem: logₐb = c dokładnie wtedy, gdy aᶜ = b, przy a > 0, a ≠ 1 i b > 0 (I.9).
2
Obliczanie wartości logarytmów
Wykonywanie działań w zbiorze liczb rzeczywistych, w tym logarytmowania, np. log₅125 = 3, bo 5³ = 125 (I.1).
3
Logarytm iloczynu i ilorazu
Wzory logₐ(xy) = logₐx + logₐy oraz logₐ(x/y) = logₐx − logₐy, stosowane w obie strony: do rozbijania i do łączenia logarytmów o tej samej podstawie (I.9).
4
Logarytm potęgi
Wzór logₐ(xⁿ) = n·logₐx, także dla wykładników ułamkowych, czyli dla pierwiastków (I.9).
5
Kiedy logarytm istnieje
Liczba logarytmowana musi być dodatnia, a podstawa dodatnia i różna od 1. Na tej podstawie wyznacza się dziedzinę wyrażeń i funkcji z logarytmem.
6
Funkcja logarytmiczna w zastosowaniach
Posługiwanie się funkcją logarytmiczną i jej wykresem do opisu i interpretacji zagadnień praktycznych (V.14).

Pokaż pozostałe 1

7
Zamiana podstawy logarytmu (poziom rozszerzony)
Wzór logₐb = log_c b / log_c a, który pozwala sprowadzić logarytmy o różnych podstawach do wspólnej (I, zakres rozszerzony).

Typowe błędy

Tu łatwo stracić punkty

Typowe błędy rachunkowe i poprawne przekształcenie obok każdego z nich.

✗ Błąd

log(x + y) = log x + log y

✓ Poprawnie

log x + log y = log(xy); dla logarytmu sumy nie ma wzoru

Dlaczego: Wzory dotyczą iloczynu, ilorazu i potęgi. Suma pod logarytmem zostaje sumą, dopóki nie da się jej obliczyć.

✗ Błąd

log₂8 = 4, bo 2 · 4 = 8

✓ Poprawnie

log₂8 = 3, bo 2³ = 8

Dlaczego: Logarytm odpowiada na pytanie o wykładnik potęgi, a nie o czynnik w mnożeniu.

✗ Błąd

log₂6 + log₃6 = log 36

✓ Poprawnie

Wzór na sumę logarytmów działa tylko przy tej samej podstawie

Dlaczego: Przy różnych podstawach trzeba najpierw sprowadzić logarytmy do wspólnej podstawy, co jest wymaganiem z poziomu rozszerzonego.

✗ Błąd

(log x)² = log x²

✓ Poprawnie

log x² = 2·log x, a (log x)² to kwadrat liczby log x

Dlaczego: Wzór na logarytm potęgi dotyczy wykładnika liczby logarytmowanej, nie wykładnika całego logarytmu.

Pokaż pozostałe 2

✗ Błąd

logₐ1 = 1, a logₐa = 0

✓ Poprawnie

logₐ1 = 0, bo a⁰ = 1; logₐa = 1, bo a¹ = a

Dlaczego: Obie równości wynikają wprost z definicji i często są potrzebne w ostatnim kroku obliczeń.

✗ Błąd

Dziedziną wyrażenia log(10 − 2x) są wszystkie liczby rzeczywiste

✓ Poprawnie

Musi być 10 − 2x > 0, czyli x < 5

Dlaczego: Logarytm jest określony tylko dla liczb dodatnich, więc warunek trzeba zapisać, zanim zacznie się przekształcenia.

Do zapamiętania

Wzory i własności do powtórzenia

Bez tych nie ma o czym mówić.

logₐb = c ⇔ aᶜ = b: Definicja logarytmu; w karcie wzorów CKE
logₐ(xy) = logₐx + logₐy: Logarytm iloczynu; w karcie wzorów CKE
logₐ(x/y) = logₐx − logₐy: Logarytm ilorazu; w karcie wzorów CKE
logₐ(xⁿ) = n·logₐx: Logarytm potęgi; w karcie wzorów CKE
logₐ1 = 0: Logarytm jedynki; brak w karcie; wynika z definicji
logₐa = 1: Logarytm podstawy; brak w karcie; wynika z definicji
a^logₐb = b: Potęga o wykładniku logarytmicznym; w karcie wzorów CKE
logₐb = log_c b / log_c a: Zamiana podstawy; poziom rozszerzony; w karcie wzorów CKE

Przykłady z bazy

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Logarytmy”

Poniżej 5 prawdziwych zadań z bazy — każde innego typu.

🔣 Logarytmy ◉ Zamknięte (A–D) ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie Autorskie · PP 1 pkt

Rozwiązaniem równania $lo g_{3} (2 x - 1) = 2$ jest:

A 4

B 10

C 5

D 8

Rozwiąż na platformie →

🔣 Logarytmy ✎ Otwarte ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie 🤖 Ocena AI Autorskie · PP 3 pkt

Rozwiąż równanie $lo g_{2} (x + 5) = 4$ .

Rozwiąż samodzielnie — AI sprawdzi krok po kroku →

🔣 Logarytmy 🧮 Obliczenia ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie 🤖 Ocena AI Autorskie · PP 1 pkt

Skorzystaj z własności logarytmu ilorazu.

Oblicz wartość wyrażenia $lo g_{5} 250 - lo g_{5} 2$ .

wyrażenie =

lo g_{5} 250 - lo g_{5} 2

Rozwiąż samodzielnie — AI sprawdzi krok po kroku →

🔣 Logarytmy ⎵ Uzupełnij ⚫⚫⚪⚪⚪ Łatwe 🤖 Ocena AI Autorskie · PP 1 pkt

Wartość wyrażenia $lo g_{3} 9 \cdot lo g_{2} 8$ wynosi _______ .

Luka

Rozwiąż samodzielnie — AI sprawdzi krok po kroku →

🔣 Logarytmy ⇄ Dopasuj ⚫⚫⚫⚪⚪ Średnie Autorskie · PP 1 pkt

Dopasuj wyrażenie do jego wartości.

log₂ 8

→

log₃ 1

→

log₅ 5

→

log₄ 16

→

Do wyboru: 3120

Rozwiąż na platformie →

Jak się uczyć

Strategia opanowania działu

Kroki w kolejności, w jakiej naprawdę warto je wykonać.

1
Każdy logarytm zamieniaj najpierw na pytanie „do jakiej potęgi podnieść podstawę?”, a dopiero potem sięgaj po wzory.
2
Przed użyciem wzoru sprawdź, czy logarytmy mają tę samą podstawę.
3
Przy wyrażeniach z niewiadomą zacznij od warunku: liczba logarytmowana większa od zera.
4
Ćwicz wzory w obie strony: rozbijanie jednego logarytmu na kilka i łączenie kilku w jeden.
5
Po obliczeniu sprawdź wynik potęgowaniem.

FAQ

FAQ — Logarytmy

Czy logarytmy są na maturze podstawowej z matematyki?

Tak. Podstawa programowa (Dz.U. 2024 poz. 1019) wymaga w zakresie podstawowym stosowania związku logarytmowania z potęgowaniem oraz wzorów na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi. W zakresie rozszerzonym dochodzi wzór na zamianę podstawy logarytmu.

Jakie wzory na logarytmy trzeba znać?

Na poziomie podstawowym: definicję, logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi. Na poziomie rozszerzonym także wzór na zamianę podstawy.

Ile punktów na maturze jest za ten temat?

CKE nie podaje podziału punktów na tematy. Informator określa cały arkusz: na poziomie podstawowym 180 minut i 50 punktów, z czego połowa za zadania zamknięte i połowa za otwarte; na poziomie rozszerzonym 180 minut, 50 punktów i wyłącznie zadania otwarte. Ten temat wraca też jako etap zadań z innych działów.

Jak zrobić powtórkę z logarytmów przed maturą?

Sprawdza się taka kolejność. 1) Każdy logarytm zamieniaj najpierw na pytanie „do jakiej potęgi podnieść podstawę?”, a dopiero potem sięgaj po wzory. 2) Przed użyciem wzoru sprawdź, czy logarytmy mają tę samą podstawę. 3) Przy wyrażeniach z niewiadomą zacznij od warunku: liczba logarytmowana większa od zera.

Logarytmy do matury 2027

64 zadania z tego działu w quizie z wyjaśnieniami, powtórkami i oceną AI krok po kroku. Subskrypcja odblokowuje cały katalog i pozostałe przedmioty — anulujesz, kiedy chcesz.

Logarytmy — zacznij ćwiczyć Ćwicz za darmo — 5 pytań dziennie

Pełny dostęp od 49 zł/mies. · jednorazowo 59 zł na 30 dni (BLIK / Przelewy24 / Google Pay / Apple Pay / Revolut / Karta) · subskrypcję anulujesz w 1 kliknięciu

Logarytmy — zadania maturalne

„Logarytmy” w Quizie — jak ćwiczysz

Filtrujesz, co chcesz ćwiczyć

Wyjaśnienie po każdej odpowiedzi

Powtórki pytań, na których się mylisz

Trudność dobiera się do Ciebie

11 typów zadań — Logarytmy

Po odpowiedzi — od razu wyjaśnienie

Wypróbuj bez logowania

Logarytmy na maturze

Powtórka z logarytmów krok po kroku

Odśwież wzory

Sprawdź, co umiesz

Uważaj na typowe błędy

Sprawdź się

Logarytmy — co musisz umieć

Definicja logarytmu

Obliczanie wartości logarytmów

Logarytm iloczynu i ilorazu

Logarytm potęgi

Kiedy logarytm istnieje

Funkcja logarytmiczna w zastosowaniach

Zamiana podstawy logarytmu (poziom rozszerzony)

Tu łatwo stracić punkty

Wzory i własności do powtórzenia

Zobacz, jak wyglądają zadania z działu „Logarytmy”

Rozwiązaniem równania log3​(2x−1)=2 jest:

Rozwiąż równanie log2​(x+5)=4.

Oblicz wartość wyrażenia log5​250−log5​2.

Wartość wyrażenia log3​9⋅log2​8 wynosi _______ .

Dopasuj wyrażenie do jego wartości.

Strategia opanowania działu

FAQ — Logarytmy

Powiązane działy

Logarytmy do matury 2027

Rozwiązaniem równania $lo g_{3} (2 x - 1) = 2$ jest:

Rozwiąż równanie $lo g_{2} (x + 5) = 4$ .

Oblicz wartość wyrażenia $lo g_{5} 250 - lo g_{5} 2$ .

Wartość wyrażenia $lo g_{3} 9 \cdot lo g_{2} 8$ wynosi _______ .