Sprawdzian z algebry

Poprawna odpowiedź: F, F, P, P

Kwadrat różnicy ma wyraz środkowy: $(x-5{)}^2=x^2-10x+25$. Mnożąc nawias przez 2, mnożymy oba składniki, więc $2x+6$. Różnica kwadratów $x^2-7^2$ rozkłada się na $(x-7)(x+7)$, a $(x+5{)}^2=x^2+2\cdot 5x+25$.

Poprawna odpowiedź: (1) -2

Szukamy wykładnika $x$, dla którego ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x=9$. Ponieważ $\frac{1}{3}=3^{-1}$, mamy $3^{-x}=3^2$, więc $x=-2$. Przy podstawie mniejszej od 1 logarytm liczby większej od 1 jest ujemny.

Poprawna odpowiedź: 1–A, 2–C, 3–B

• 1. $x^2-6x+9=0$ → A. jedno rozwiązanie (podwójne)
• 2. $x^2+x+1=0$ → C. brak rozwiązań rzeczywistych
• 3. $x^2-x-6=0$ → B. dwa różne rozwiązania

Decyduje wyróżnik. Dla $x^2-6x+9$: $\Delta =36-36=0$, to pełny kwadrat $(x-3{)}^2$. Dla $x^2+x+1$: $\Delta =1-4=-3<0$. Dla $x^2-x-6$: $\Delta =1+24=25>0$, pierwiastki to $-2$ i $3$.

Poprawna odpowiedź: A

Schemat Hornera dla $x=2$ i współczynników $1,-3,-4,12$ daje kolejno $1,-1,-6$ i resztę $0$. Sprawdzenie: $(x-2)(x^2-x-6)=x^3-3x^2-4x+12$. Iloraz rozkłada się dalej na $(x-3)(x+2)$.

Poprawna odpowiedź: C, E

Dwa różne pierwiastki są wtedy, gdy $\Delta =16-4m>0$, czyli $m<4$. Z podanych wartości warunek spełniają $m=0$ i $m=2$. Dla $m=4$ wyróżnik jest równy zero i równanie ma jeden pierwiastek podwójny, a dla $m=5$ i $m=6$ nie ma pierwiastków.