Sprawdzian z ciągów

Poprawna odpowiedź: 1–D, 2–C, 3–B, 4–A

• 1. $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego → D. $a_1+(n-1)d$
• 2. $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego → C. $a_1\cdot q^{n-1}$
• 3. suma $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego → B. $\frac{n}{2}(a_1+a_n)$
• 4. suma $n$ wyrazów ciągu geometrycznego → A. $a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$

W ciągu arytmetycznym od $a_1$ do $a_n$ dodajemy różnicę $n-1$ razy, w geometrycznym tyle samo razy mnożymy przez $q$. Suma arytmetyczna to średnia pierwszego i ostatniego wyrazu razy ich liczba. Wzór na sumę geometryczną działa dla $q\ne 1$.

Poprawna odpowiedź: A, B, E

Sprawdzamy iloraz sąsiednich wyrazów. W pierwszym ciągu $q=2$, w drugim $q=-1$ (ciąg geometryczny może zmieniać znak), w ostatnim $q=3$. Ciągi $2,4,6,8$ i $1,2,3,4$ mają stałą różnicę, a nie iloraz: $4:2\ne 6:4$, więc są arytmetyczne.

Poprawna odpowiedź: (1) 31

Ze wzoru $S_5=a_1\cdot \frac{q^5-1}{q-1}=\frac{32-1}{1}=31$. Można też dodać wyrazy wprost: $1+2+4+8+16=31$. Częsty błąd to wpisanie $32$, czyli samego $q^5$.

Poprawna odpowiedź: P, F

Kolejne wyrazy to $-1,2,-3,4,\dots$ Dla parzystego $n$ czynnik $(-1{)}^n$ jest równy 1, więc $a_{10}=10$. Wartości bezwzględne wyrazów rosną bez końca, dlatego żadna liczba nie ogranicza ciągu ani z góry, ani z dołu.

Poprawna odpowiedź: 380

$a_5+a_{15}=2a_1+18r=2a_{10}$, więc $a_{10}=20$. Wyraz $a_{10}$ jest środkowym z 19 wyrazów, a $a_1+a_{19}=2a_{10}=40$. Stąd $S_{19}=\frac{19}{2}\cdot 40=380$.