Sprawdzian z rachunku różniczkowego

Poprawna odpowiedź: A

Pochodna sumy to suma pochodnych. $(x^2{)}^{\prime }=2x$, a $(3x{)}^{\prime }=3$, bo pochodna funkcji liniowej to jej współczynnik kierunkowy. Razem $h^{\prime }(x)=2x+3$. Odpowiedź $2x$ pomija pochodną drugiego składnika.

Poprawna odpowiedź: 1–A, 2–C, 3–D, 4–B

• 1. $f(x)=x^3$ → A. $3x^2$
• 2. $f(x)=\sin x$ → C. $\cos x$
• 3. $f(x)=e^x$ → D. $e^x$
• 4. $f(x)=\ln x$ → B. $\frac{1}{x}$

Dla potęgi wykładnik schodzi przed $x$, a nowy wykładnik jest o 1 mniejszy: $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$. Pochodną sinusa jest cosinus. Funkcja $e^x$ jest jedyną (z dokładnością do stałej), która równa się swojej pochodnej. Pochodna logarytmu naturalnego to $\frac{1}{x}$ dla $x>0$.

Poprawna odpowiedź: (1) 6x-5

Różniczkujemy każdy składnik osobno: $(3x^2{)}^{\prime }=3\cdot 2x=6x$, $(-5x{)}^{\prime }=-5$, a pochodna stałej $7$ jest równa $0$. Stąd $f^{\prime }(x)=6x-5$. Częsty błąd to zostawienie stałej w wyniku.

Poprawna odpowiedź: A

Z reguły ilorazu: $f^{\prime }(x)=\frac{e^x-x{e}^x}{e^{2x}}=\frac{1-x}{e^x}$. Mianownik jest zawsze dodatni, więc znak zależy od $1-x$: pochodna jest dodatnia dla $x<1$ i ujemna dla $x>1$. Funkcja rośnie, a potem maleje, więc w $x=1$ ma maksimum.

Poprawna odpowiedź: B, C, D

$f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$ zmienia znak w $-1$, $0$ i $1$, więc ekstrema są trzy: minima w $\pm 1$ i maksimum $f(0)=0$. $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-4$ zmienia znak w $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, stąd dwa punkty przegięcia. Są tylko parzyste potęgi, więc $f(-x)=f(x)$.