Sprawdzian z planimetrii

Poprawna odpowiedź: C

Wielokąt o $n$ bokach da się podzielić przekątnymi z jednego wierzchołka na $n-2$ trójkąty, więc suma kątów to $(n-2)\cdot 180°$. Dla sześciokąta: $4\cdot 180°=720°$. Wynik $540°$ dotyczy pięciokąta, a $360°$ czworokąta.

Poprawna odpowiedź: F, P, P, P

Suma podstaw to $14+6=20\text{ cm}$. Pole: $P=\frac{a+b}{2}\cdot h=10\cdot 4=40{\text{ cm}}^2$. Wysokość jest czynnikiem we wzorze, więc pole od niej zależy, i to wprost proporcjonalnie: dwa razy większa wysokość daje dwa razy większe pole.

Poprawna odpowiedź: C

Gdy czworokąt jest wpisany w okrąg, suma jego przeciwległych kątów wynosi $180°$, bo oba są kątami wpisanymi opartymi na łukach, które razem dają cały okrąg. Kąt $C$ leży naprzeciw kąta $A$, więc $|\sphericalangle C|=180°-70°=110°$. Wynik $140°$ to podwojony kąt, czyli pomyłka z kątem środkowym.

Poprawna odpowiedź: A, D

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy. Kwadrat jest szczególnym rombem, więc ma tę samą własność. W prostokącie przekątne są równe, ale prostopadłe tylko wtedy, gdy prostokąt jest kwadratem. W trapezie zdarza się to tylko w wyjątkowych przypadkach.

Poprawna odpowiedź: 1–C, 2–A, 3–B, 4–D

• 1. twierdzenie Pitagorasa → C. $a^2+b^2=c^2$
• 2. twierdzenie cosinusów → A. $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$
• 3. twierdzenie sinusów → B. $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$
• 4. pole trójkąta z kątem → D. $\frac{1}{2}ab\sin C$

Twierdzenie Pitagorasa dotyczy tylko trójkąta prostokątnego. Twierdzenie cosinusów je uogólnia: dla $C=90°$ składnik z cosinusem znika. Twierdzenie sinusów mówi, że stosunek boku do sinusa przeciwległego kąta jest stały. Pole liczymy z dwóch boków i sinusa kąta między nimi.