Sprawdzian z trygonometrii

Poprawna odpowiedź: 1–A, 2–D, 3–C, 4–B

• 1. $30°$ → A. $\frac{1}{2}$
• 2. $45°$ → D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• 3. $60°$ → C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• 4. $90°$ → B. $1$

W trójkącie o kątach $30°$, $60°$, $90°$ krótsza przyprostokątna to połowa przeciwprostokątnej, stąd $\sin 30°=\frac{1}{2}$ i $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$. W trójkącie równoramiennym prostokątnym $\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Sinus rośnie w przedziale od $0°$ do $90°$ i osiąga $1$ dla $90°$.

Poprawna odpowiedź: F, P, P

Sinus jest funkcją nieparzystą: $\sin (-x)=-\sin x$, a jej wykres jest symetryczny względem początku układu. Parzysty jest cosinus. Wartości sinusa to rzędne punktów na okręgu jednostkowym, więc zawsze leżą w przedziale $⟨-1,1⟩$. Dla kąta $0°$ ta rzędna wynosi $0$.

Poprawna odpowiedź: D

Z jedynki trygonometrycznej ${\cos }^2\alpha =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$, więc $\cos \alpha =\frac{4}{5}$ albo $-\frac{4}{5}$. W II ćwiartce cosinus jest ujemny, dlatego $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$. Odpowiedź $\frac{4}{5}$ byłaby dobra dla kąta ostrego.

Poprawna odpowiedź: A, C, D, E

Tangens to iloraz sinusa przez cosinus, a cotangens to jego odwrotność, więc ich iloczyn wynosi 1. W trójkącie prostokątnym przyprostokątna leżąca naprzeciw $\alpha$ przylega do kąta $90°-\alpha$, stąd $\sin \alpha =\cos (90°-\alpha )$. Jedynką jest suma kwadratów, a nie sama suma: dla $45°$ mamy $\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{2}$.

Poprawna odpowiedź: C

Ze wzorów na sinus sumy i różnicy iloczyn ma postać $(p+q)(p-q)=p^2-q^2$, gdzie $p=\sin \alpha \cos \beta$, $q=\cos \alpha \sin \beta$. Po wstawieniu ${\cos }^2=1-{\sin }^2$: ${\sin }^2\alpha (1-{\sin }^2\beta )-(1-{\sin }^2\alpha ){\sin }^2\beta ={\sin }^2\alpha -{\sin }^2\beta$.