Test z planimetrii: trójkąty, czworokąty, okręgi, kąty wpisane i środkowe, twierdzenie Talesa, podobieństwo i pola figur.
Konto zakładasz w minutę · pełny dostęp do wszystkich przedmiotów od 49 zł/mies.
Sprawdzian z planimetrii w wersji szkolnej →
O temacie
Test obejmuje dział VIII podstawy programowej „Planimetria”.
Zakres podstawowy to m.in.: promienie, średnice, cięciwy i odcinki stycznych w okręgu, rozpoznawanie trójkątów ostrokątnych, prostokątnych i rozwartokątnych po długościach boków, wielokąty foremne, własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach, kąty wpisane i środkowe, pole wycinka koła i długość łuku, twierdzenie Talesa, cechy podobieństwa trójkątów, stosunek obwodów i pól figur podobnych, punkty szczególne trójkąta, dowody geometryczne i trygonometria w figurach płaskich.
Zakres rozszerzony dodaje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu oraz twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa. Wzory na pola figur, w tym wzór Herona, są w „Wybranych wzorach matematycznych”.
Pytania z bazy dla tego tematu
Prawdziwe pytania z bazy — kliknij odpowiedź i sprawdź. Po jednym z każdego dostępnego typu (do 6 zakładek). Tak samo wyglądają pytania w Quizie w aplikacji, gdzie odpowiedzi otwarte ocenia AI.
Jak działa quiz
W tym quizie
Quiz losuje spośród 118 pytań w bazie. Każdy typ pokazujemy tak, jak wygląda w Quizie.
Wybierz jedną z 4 odpowiedzi A/B/C/D.
Odpowiedz pełnym zdaniem. AI ocenia w 30 s z komentarzem CKE.
Suma miar kątów ostrych trójkąta prostokątnego jest równa 100°.
Istnieje trójkąt o bokach długości 3, 4 i 8.
Każdy trójkąt równoramienny jest równoboczny.
Oceń kilka stwierdzeń. Każde osobno punktowane.
Wykres funkcji / pomiarów → wyciągnij wnioski, oszacuj wartości.
Zakres testu
8 kluczowych umiejętności – każdą przećwiczysz na pytaniach w Quizie.
Trójkąt: P = ½·a·h. Kwadrat: P = a². Prostokąt: P = a·b. Romb: P = ½·d₁·d₂. Trapez: P = ½·(a + b)·h. Koło: P = πr². Wzory na pole trójkąta, trapezu, równoległoboku, rombu, deltoidu i koła są w karcie wzorów.
Dla trójkąta prostokątnego: a² + b² = c² (c – przeciwprostokątna). Także w drugą stronę: jeśli a² + b² = c², to trójkąt jest prostokątny (VIII.2).
Przekątna prostokąta: d = √(a² + b²), kwadratu: d = a√2. W stereometrii: przekątna prostopadłościanu d = √(a² + b² + c²), sześcianu d = a√3.
Jeśli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, odcinki wyznaczone na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim (VIII.7). Twierdzenie odwrotne to poziom rozszerzony.
Cechy podobieństwa z karty wzorów: bok–bok–bok, bok–kąt–bok, kąt–kąt–kąt. Stosunek obwodów = k, stosunek pól = k² (VIII.8, VIII.9).
Kąt wpisany = ½ kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Kąt wpisany oparty na półokręgu jest prosty (VIII.5). W czworokącie wpisanym w okrąg sumy przeciwległych kątów wynoszą 180° (poziom rozszerzony).
Wycinek koła: P = (α/360°)·πr², łuk: L = (α/360°)·2πr — oba wzory są w karcie (VIII.6). Pierścień: P = π(R² − r²), czyli różnica pól dwóch kół.
Z karty wzorów: wzór Herona P = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), gdzie p = (a + b + c)/2, oraz P = abc/(4R) i P = p·r (R, r — promienie okręgu opisanego i wpisanego, p — połowa obwodu).
📝 Do zapamiętania
Wzory, które wracają w pytaniach z działu „Planimetria” – minimum, bez którego quiz nie ma sensu.
Na czym potykają się maturzyści
Sprawdź, czy nie wpadasz w te pułapki – przy każdej jest poprawna wersja i wyjaśnienie.
Pole trójkąta = a · h.
Pole trójkąta = ½·a·h.
Dlaczego: Trójkąt to połowa równoległoboku o tej samej podstawie i wysokości.
Trójkąt o bokach 5, 12, 13 to dowolny trójkąt.
To trójkąt prostokątny (5² + 12² = 13²).
Dlaczego: 25 + 144 = 169 = 13², więc z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa trójkąt jest prostokątny.
Każdy czworokąt o prostopadłych przekątnych to romb.
Romb to czworokąt, którego przekątne są prostopadłe i dzielą się na połowy; kwadrat ma dodatkowo przekątne równej długości.
Dlaczego: Prostopadłe przekątne ma też deltoid, w którym jedna przekątna nie jest dzielona na połowy.
Kąt wpisany oparty na cięciwie = kąt środkowy oparty na tej samej cięciwie.
Kąt wpisany = ½ kąta środkowego (na tym samym łuku).
Dlaczego: Sprawdź: kąt środkowy 60° → kąt wpisany oparty na tym samym łuku 30°.
Stosunek pól dwóch podobnych trójkątów = stosunek boków.
Stosunek pól = (stosunek boków)². Jeśli boki 1:2, pola 1:4.
Dlaczego: Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa (karta wzorów).
Przekątna kwadratu o boku a wynosi a.
Przekątna kwadratu o boku a wynosi a√2.
Dlaczego: Z twierdzenia Pitagorasa: d = √(a² + a²) = √(2a²) = a√2.
Wysokość trójkąta równobocznego o boku a to a.
Wysokość trójkąta równobocznego = a√3/2.
Dlaczego: Z twierdzenia Pitagorasa: h² = a² − (a/2)² = 3a²/4. Wzór jest w karcie wzorów.
Strategia
Kolejność kroków przy rozwiązywaniu – w quizie i na maturze.
Zadania z działu „Planimetria” na poziomie podstawowym i rozszerzonym, w zakresie wymagań podstawy programowej z matematyki (Dz.U. 2024 poz. 1019).
Zamknięte i otwarte, tak jak w arkuszu: wybór odpowiedzi, prawda–fałsz, dopasowanie, uzupełnianie oraz zadania z pełnym rozwiązaniem. Rozkład typów w tym teście widać wyżej na stronie i pochodzi z bazy pytań.
Odpowiedzi otwarte ocenia AI i pokazuje, w którym kroku rozwiązania jest błąd. Na egzaminie w zadaniach otwartych liczy się tok rozumowania, a nie tylko wynik.
Test obejmuje jeden dział i podaje wyjaśnienie po każdej odpowiedzi. Arkusz na poziomie podstawowym to 180 minut i 50 punktów, z czego połowa za zadania zamknięte i połowa za otwarte; na poziomie rozszerzonym 180 minut, 50 punktów i wyłącznie zadania otwarte (Informator CKE).
Te działy łączą się z tematem „Planimetria” – przećwicz je w Quizie.
118 pytań w bazie, wyjaśnienie po każdej odpowiedzi, ocena AI odpowiedzi otwartych, trudność dopasowana do Ciebie i powtórki tego, co sprawiło Ci kłopot. Pełny dostęp do wszystkich przedmiotów — 49 zł/mies.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane przypomnienia o nauce).
