Sprawdzian ze stereometrii

Poprawna odpowiedź: B

Podstawa jest pięciokątem, więc ma 5 wierzchołków, a do nich dochodzi jeden wierzchołek ostrosłupa nad podstawą: razem 6. Liczba 10 to wierzchołki graniastosłupa pięciokątnego, który ma dwie podstawy.

Poprawna odpowiedź: 1–C, 2–D, 3–A, 4–B

• 1. sześcian (krawędź $a$) → C. $V=a^3$
• 2. walec (promień $r$, wysokość $h$) → D. $V=\pi r^{2}h$
• 3. stożek (promień $r$, wysokość $h$) → A. $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
• 4. kula (promień $r$) → B. $V=\frac{4}{3}\pi r^3$

Objętość graniastosłupa i walca to pole podstawy razy wysokość: dla sześcianu $a^2\cdot a$, dla walca $\pi r^2\cdot h$. Stożek ma tę samą podstawę i wysokość co walec, ale trzy razy mniejszą objętość. Kula ma osobny wzór $\frac{4}{3}\pi r^3$.

Poprawna odpowiedź: F, P, F

Podstawa to koło: $\pi r^2=9\pi {\text{ cm}}^2$, a $6\pi$ to obwód podstawy. Promień, wysokość i tworząca tworzą trójkąt prostokątny, więc $l=\sqrt{9+16}=5\text{ cm}$. Objętość: $\frac{1}{3}\cdot 9\pi \cdot 4=12\pi {\text{ cm}}^3$; $36\pi$ wychodzi bez czynnika $\frac{1}{3}$.

Poprawna odpowiedź: A, C, D, E

Sześcian ma 12 równych krawędzi, 6 ścian kwadratowych i 8 wierzchołków, a nie 6. Objętość to $a\cdot a\cdot a=a^3$. Przekrój przez dwie przeciwległe krawędzie ma boki $a$ i $a\sqrt{2}$ (przekątna ściany), więc jest prostokątem, który nie jest kwadratem.

Poprawna odpowiedź: C

Rzutem przekątnej sześcianu na podstawę jest przekątna podstawy o długości $a\sqrt{2}$. Krawędź boczna $a$, przekątna podstawy i przekątna sześcianu tworzą trójkąt prostokątny, więc $\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, czyli $\alpha \approx 35,3°$. Kąt $45°$ jest między przekątną ściany a krawędzią.