Test z trygonometrii: sinus, cosinus i tangens kątów od 0° do 180°, jedynka trygonometryczna, twierdzenie cosinusów, a na poziomie rozszerzonym wzory redukcyjne, równania i twierdzenie sinusów.
Konto zakładasz w minutę · pełny dostęp do wszystkich przedmiotów od 49 zł/mies.
Sprawdzian z trygonometrii w wersji szkolnej →
O temacie
Test obejmuje dział VII podstawy programowej „Trygonometria”. Zakres podstawowy to definicje sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów od 0° do 180° z wartościami dla 30°, 45° i 60°, wzory sin²α + cos²α = 1 i tg α = sin α / cos α, twierdzenie cosinusów, wzór na pole trójkąta P = ½·a·b·sin γ i rozwiązywanie trójkątów prostokątnych.
Zakres rozszerzony dodaje miarę łukową, wykresy i okresowość funkcji trygonometrycznych, wzory redukcyjne, wzory na funkcje sumy, różnicy i kąta podwojonego, równania trygonometryczne i twierdzenie sinusów.
Na egzaminie wolno korzystać z kalkulatora prostego i z „Wybranych wzorów matematycznych”, w których są tabela wartości dla 0°, 30°, 45°, 60°, 90° i tablica wartości funkcji trygonometrycznych.
Pytania z bazy dla tego tematu
Prawdziwe pytania z bazy — kliknij odpowiedź i sprawdź. Po jednym z każdego dostępnego typu (do 6 zakładek). Tak samo wyglądają pytania w Quizie w aplikacji, gdzie odpowiedzi otwarte ocenia AI.
Jak działa quiz
W tym quizie
Quiz losuje spośród 108 pytań w bazie. Każdy typ pokazujemy tak, jak wygląda w Quizie.
Wybierz jedną z 4 odpowiedzi A/B/C/D.
Odpowiedz pełnym zdaniem. AI ocenia w 30 s z komentarzem CKE.
Tangens kąta ostrego może być ujemny.
Dla każdego kąta zachodzi równość .
Oceń kilka stwierdzeń. Każde osobno punktowane.
Wybierz wszystkie poprawne
Zaznacz wszystkie poprawne odpowiedzi. Częściowe punkty za hity, kary za false-positive.
Zakres testu
8 kluczowych umiejętności – każdą przećwiczysz na pytaniach w Quizie.
sin α = przyprostokątna naprzeciw kąta / przeciwprostokątna, cos α = przyprostokątna przy kącie / przeciwprostokątna, tg α = przyprostokątna naprzeciw kąta / przyprostokątna przy kącie (VII.1, VII.4).
sin: 1/2, √2/2, √3/2, 1. cos: √3/2, √2/2, 1/2, 0. tg: √3/3, 1, √3, nie istnieje. Tabela tych wartości jest w karcie wzorów (VII.1).
sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α/cos α (VII.2, zakres podstawowy). Stąd cos α = ±√(1 − sin²α); znak zależy od tego, czy kąt jest ostry, czy rozwarty.
sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α, sin(90° − α) = cos α. Wybrane wzory redukcyjne są w karcie wzorów (VII, zakres rozszerzony, pkt 4).
sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1. Wszystkie postacie są w karcie wzorów (VII, zakres rozszerzony, pkt 5).
sin x = a ma rozwiązania x = x₀ + 2kπ lub x = π − x₀ + 2kπ, a cos x = a rozwiązania x = ±x₀ + 2kπ (k całkowite, x₀ — jedno z rozwiązań). Podstawienie t = sin x sprowadza wiele równań do kwadratowych (VII, zakres rozszerzony, pkt 6).
Cosinusów (poziom podstawowy): c² = a² + b² − 2ab·cos γ. Sinusów (poziom rozszerzony): a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Oba są w karcie wzorów.
P = ½·a·b·sin γ, gdzie γ to kąt między bokami a i b (VII.3).
📝 Do zapamiętania
Wzory, które wracają w pytaniach z działu „Trygonometria” – minimum, bez którego quiz nie ma sensu.
Na czym potykają się maturzyści
Sprawdź, czy nie wpadasz w te pułapki – przy każdej jest poprawna wersja i wyjaśnienie.
sin 60° = 1/2
sin 60° = √3/2 (a 1/2 to sin 30°)
Dlaczego: Zamiana 30° z 60°. Mnemonika: sin 30° = 1/2 (mała wartość dla małego kąta), sin 60° = √3/2 (większa wartość); sinus rośnie w przedziale od 0° do 90°.
sin²α + cos²α = 0
sin²α + cos²α = 1 (jedynka trygonometryczna)
Dlaczego: Suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest zawsze równa 1. Sprawdź: sin²30° + cos²30° = 1/4 + 3/4 = 1.
tg α = cos α / sin α
tg α = sin α / cos α
Dlaczego: Klasyczne pomylenie licznika z mianownikiem. Sprawdź: tg 60° = (√3/2)/(1/2) = √3.
Rozwiązując sin x = 1/2, podajesz tylko x = 30°.
Rozwiązania to x = 30° + k·360° lub x = 150° + k·360°.
Dlaczego: sin x = 1/2 ma w ⟨0°, 360°) dwa rozwiązania (I i II ćwiartka). Równania trygonometryczne to poziom rozszerzony; pamiętaj o okresowości (+ k·360°).
cos 2α = 2 cos α
cos 2α = cos²α − sin²α (lub 1 − 2sin²α, lub 2cos²α − 1)
Dlaczego: Wzór na podwójny kąt z cosinusa nie jest mnożeniem przez 2. Sprawdź dla α = 60°: cos 120° = −1/2, a 2·cos 60° = 1.
sin(180° − α) = −sin α
sin(180° − α) = sin α
Dlaczego: Sinus jest dodatni w I i II ćwiartce – więc dla 180° − α (II ćwiartka) znak się nie zmienia. Wzór redukcyjny: sin(180° − α) = sin α, ale cos(180° − α) = −cos α.
Pole trójkąta z bokami 3, 4 i kątem 30° między nimi: P = ½·3·4·30 = 180
P = ½·3·4·sin 30° = ½·3·4·½ = 3
Dlaczego: Wzór wymaga sinusa kąta, nie samego kąta. Przy liczeniu wartość sinusa weź z tabeli w karcie wzorów.
Strategia
Kolejność kroków przy rozwiązywaniu – w quizie i na maturze.
Zadania z działu „Trygonometria” na poziomie podstawowym i rozszerzonym, w zakresie wymagań podstawy programowej z matematyki (Dz.U. 2024 poz. 1019).
Zamknięte i otwarte, tak jak w arkuszu: wybór odpowiedzi, prawda–fałsz, dopasowanie, uzupełnianie oraz zadania z pełnym rozwiązaniem. Rozkład typów w tym teście widać wyżej na stronie i pochodzi z bazy pytań.
Odpowiedzi otwarte ocenia AI i pokazuje, w którym kroku rozwiązania jest błąd. Na egzaminie w zadaniach otwartych liczy się tok rozumowania, a nie tylko wynik.
Test obejmuje jeden dział i podaje wyjaśnienie po każdej odpowiedzi. Arkusz na poziomie podstawowym to 180 minut i 50 punktów, z czego połowa za zadania zamknięte i połowa za otwarte; na poziomie rozszerzonym 180 minut, 50 punktów i wyłącznie zadania otwarte (Informator CKE).
Te działy łączą się z tematem „Trygonometria” – przećwicz je w Quizie.
108 pytań w bazie, wyjaśnienie po każdej odpowiedzi, ocena AI odpowiedzi otwartych, trudność dopasowana do Ciebie i powtórki tego, co sprawiło Ci kłopot. Pełny dostęp do wszystkich przedmiotów — 49 zł/mies.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane przypomnienia o nauce).
