Sprawdzian z kombinatoryki

Poprawna odpowiedź: A

Ustawiamy wszystkie 4 książki, więc to permutacja: na pierwsze miejsce mamy 4 kandydatki, na drugie 3, na trzecie 2, na ostatnie 1. Razem $4!=24$. Liczba $16=4^2$ i liczba $12=4\cdot 3$ opisują inne sytuacje.

Poprawna odpowiedź: F, P, P, F

Symbol Newtona liczy kombinacje, czyli podzbiory bez kolejności (wariacji jest $6\cdot 5=30$). $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=\frac{6\cdot 5}{2}=15$. Wybrać 2 elementy to to samo, co wskazać 4 pozostawione, stąd symetria. Pusty podzbiór jest jeden, więc $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{0}\right)=1$.

Poprawna odpowiedź: 1–A, 2–C, 3–D, 4–B

• 1. Wybór 2-osobowej delegacji z grupy 5 osób (kolejność bez znaczenia) → A. $10$
• 2. Ustawienie w rzędzie 4 różnych flag → C. $24$
• 3. Wybór przewodniczącego i zastępcy spośród 6 osób → D. $30$
• 4. Wybór 3-osobowego zespołu z grupy 6 osób → B. $20$

Delegacja i zespół to kombinacje: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ i $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$. Flagi ustawiamy wszystkie, więc $4!=24$. Przewodniczący i zastępca to dwie różne funkcje, kolejność ma znaczenie: $6\cdot 5=30$.

Poprawna odpowiedź: B, E

Każdy rzut ma 2 wyniki, więc wszystkich ciągów jest $2^4=16$. Bez orła jest dokładnie jeden wynik (same reszki), stąd prawdopodobieństwo $\frac{1}{16}$. Dwa orły to wybór 2 pozycji z 4: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$. Co najmniej trzy orły: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)=5$.

Poprawna odpowiedź: B

Wyraz ogólny to $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{k}\right)x^{6-k}{\left(\frac{2}{x}\right)}^k=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{k}\right)2^k{x}^{6-2k}$. Wyraz wolny ma $x^0$, więc $k=3$. Stąd $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)\cdot 2^3=20\cdot 8=160$.