Test z geometrii analitycznej: równanie prostej, odległość punktów, równanie okręgu, symetrie, a na poziomie rozszerzonym wektory, prosta prostopadła i styczna do okręgu.
Konto zakładasz w minutę · pełny dostęp do wszystkich przedmiotów od 49 zł/mies.
Sprawdzian z geometrii analitycznej w wersji szkolnej →
O temacie
Test obejmuje dział IX podstawy programowej „Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej”.
Zakres podstawowy to: wzajemne położenie prostych i ich punkt wspólny, równanie prostej w postaci kierunkowej i ogólnej (m.in. przez dwa punkty, o danym współczynniku kierunkowym, równoległej do danej), odległość dwóch punktów, równanie okręgu (x − a)² + (y − b)² = r² oraz obrazy okręgów i wielokątów w symetriach względem osi układu i początku układu.
Zakres rozszerzony dodaje punkty wspólne prostej i okręgu oraz dwóch okręgów, wektory i wyznaczanie prostej prostopadłej do danej oraz stycznej do okręgu. Wzory na długość i środek odcinka, równania prostej, warunki równoległości i prostopadłości, odległość punktu od prostej i równanie okręgu są w karcie wzorów.
Pytania z bazy dla tego tematu
Prawdziwe pytania z bazy — kliknij odpowiedź i sprawdź. Po jednym z każdego dostępnego typu (do 6 zakładek). Tak samo wyglądają pytania w Quizie w aplikacji, gdzie odpowiedzi otwarte ocenia AI.
Jak działa quiz
W tym quizie
Quiz losuje spośród 109 pytań w bazie. Każdy typ pokazujemy tak, jak wygląda w Quizie.
Wybierz jedną z 4 odpowiedzi A/B/C/D.
Odpowiedz pełnym zdaniem. AI ocenia w 30 s z komentarzem CKE.
Wykres funkcji / pomiarów → wyciągnij wnioski, oszacuj wartości.
Połącz elementy w pary: termin → definicja, autor → dzieło, wzór → nazwa.
Zakres testu
8 kluczowych umiejętności – każdą przećwiczysz na pytaniach w Quizie.
d(A, B) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Środek S = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Oba wzory są w karcie wzorów (IX.3).
y = ax + b (postać kierunkowa), Ax + By + C = 0 (postać ogólna), y − y₁ = a(x − x₁) (prosta przez punkt o danym współczynniku kierunkowym). Z dwóch punktów: a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) (IX.2).
Proste równoległe: a₁ = a₂. Prostopadłe: a₁·a₂ = −1. W postaci ogólnej: równoległe A₁B₂ − A₂B₁ = 0, prostopadłe A₁A₂ + B₁B₂ = 0 (karta wzorów). Równanie prostej prostopadłej to poziom rozszerzony.
Trzy punkty są współliniowe, gdy leżą na jednej prostej, np. gdy prosta AB przechodzi przez C. Środek ciężkości trójkąta: G = ((xA + xB + xC)/3, (yA + yB + yC)/3) — wzór jest w karcie.
Kanoniczna: (x − a)² + (y − b)² = r², środek S(a, b), promień r (IX.4, zakres podstawowy). Karta podaje też postać ogólną x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 z c = a² + b² − r²; do kanonicznej przechodzi się przez uzupełnienie do kwadratu.
Styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności. Równanie stycznej w punkcie P(x₀, y₀) okręgu można też zapisać jako (x₀ − a)(x − a) + (y₀ − b)(y − b) = r² (tego wzoru nie ma w karcie).
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²) dla prostej Ax + By + C = 0 i punktu P(x₀, y₀). Wzór jest w karcie wzorów; przydaje się m.in. do badania położenia prostej względem okręgu.
Symetralna odcinka AB to prosta prostopadła do AB przechodząca przez jego środek. Symetrie: względem osi Ox (x, y) → (x, −y), względem osi Oy (x, y) → (−x, y), względem początku układu (x, y) → (−x, −y) (IX.5).
📝 Do zapamiętania
Wzory, które wracają w pytaniach z działu „Geometria analityczna” – minimum, bez którego quiz nie ma sensu.
Na czym potykają się maturzyści
Sprawdź, czy nie wpadasz w te pułapki – przy każdej jest poprawna wersja i wyjaśnienie.
d(A, B) = √(x₂ − x₁ + y₂ − y₁)
d(A, B) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Dlaczego: Pod pierwiastkiem jest suma kwadratów różnic współrzędnych, jak w twierdzeniu Pitagorasa.
Proste y = 2x + 1 i y = −2x + 3 są równoległe.
Są to różne proste o przeciwnych współczynnikach kierunkowych. Równoległe miałyby a₁ = a₂.
Dlaczego: Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, a nie liczby przeciwne.
Proste y = 3x + 1 i y = (1/3)x + 5 są prostopadłe.
Nie są – musi być a₁·a₂ = −1. Tu 3 · (1/3) = 1, nie −1.
Dlaczego: Prostopadła do y = 3x + 1 ma współczynnik kierunkowy −1/3.
Równanie x² + y² = 4 to prosta.
To okrąg o środku (0, 0) i promieniu 2.
Dlaczego: To równanie okręgu (x − 0)² + (y − 0)² = 2².
Środek odcinka A(2, 4), B(8, 10) to S(6, 6).
S = ((2 + 8)/2, (4 + 10)/2) = (5, 7).
Dlaczego: Środek to średnia arytmetyczna współrzędnych, a nie ich różnica.
Prosta o równaniu 3y = 6 to prosta nachylona.
To prosta pozioma y = 2 (równoległa do osi Ox).
Dlaczego: Gdy w równaniu nie ma x, prosta jest pozioma; gdy nie ma y, prosta jest pionowa (x = const).
Trójkąt A(0,0), B(4,0), C(0,3) to równoboczny.
To trójkąt prostokątny (kąt prosty przy A) o bokach 3, 4, 5.
Dlaczego: |AB| = 4, |AC| = 3, |BC| = √(16 + 9) = 5, a 3² + 4² = 5².
Strategia
Kolejność kroków przy rozwiązywaniu – w quizie i na maturze.
Zadania z działu „Geometria analityczna” na poziomie podstawowym i rozszerzonym, w zakresie wymagań podstawy programowej z matematyki (Dz.U. 2024 poz. 1019).
Zamknięte i otwarte, tak jak w arkuszu: wybór odpowiedzi, prawda–fałsz, dopasowanie, uzupełnianie oraz zadania z pełnym rozwiązaniem. Rozkład typów w tym teście widać wyżej na stronie i pochodzi z bazy pytań.
Odpowiedzi otwarte ocenia AI i pokazuje, w którym kroku rozwiązania jest błąd. Na egzaminie w zadaniach otwartych liczy się tok rozumowania, a nie tylko wynik.
Test obejmuje jeden dział i podaje wyjaśnienie po każdej odpowiedzi. Arkusz na poziomie podstawowym to 180 minut i 50 punktów, z czego połowa za zadania zamknięte i połowa za otwarte; na poziomie rozszerzonym 180 minut, 50 punktów i wyłącznie zadania otwarte (Informator CKE).
Te działy łączą się z tematem „Geometria analityczna” – przećwicz je w Quizie.
109 pytań w bazie, wyjaśnienie po każdej odpowiedzi, ocena AI odpowiedzi otwartych, trudność dopasowana do Ciebie i powtórki tego, co sprawiło Ci kłopot. Pełny dostęp do wszystkich przedmiotów — 49 zł/mies.
Wybierz, które kategorie plików cookies akceptujesz. Zgodę możesz zmienić w dowolnym momencie.
Sesja, bezpieczeństwo, podstawowa funkcjonalność (logowanie, koszyk subskrypcji, zabezpieczenia reCAPTCHA). Bez nich serwis nie działa.
Google Analytics 4 — anonimowe statystyki użycia serwisu. Pomaga nam poprawiać aplikację na podstawie tego, które funkcje są faktycznie używane.
Google Ads — remarketing i pomiar skuteczności reklam. Dzięki temu możemy pokazywać Ci trafniejsze reklamy i finansować rozwój darmowej wersji.
Zapamiętywanie preferencji (motyw ciemny/jasny, wybrane przedmioty, ustawienia sesji).
Dopasowywanie treści do Twoich zainteresowań (rekomendacje pytań, spersonalizowane przypomnienia o nauce).
