Karta wzorów z matematyki na maturę 2027 „Wybrane wzory matematyczne” CKE — cała karta online

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej $x$ definiujemy wzorem:

Liczba $|x|$ jest to odległość na osi liczbowej punktu o współrzędnej $x$ od punktu o współrzędnej $0$.

Dla dowolnej liczby $x$ mamy:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x, y$ mamy:

Ponadto, jeśli $y \ne 0$, to:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ oraz $r \ge 0$ mamy:

Niech $n$ będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ definiujemy jej $n$-tą potęgę:

Pierwiastkiem arytmetycznym $\sqrt[n]{a}$ stopnia $n$ z liczby $a \ge 0$ nazywamy liczbę $b \ge 0$ taką, że $b^n = a$.

W szczególności, dla każdej liczby rzeczywistej $a$ prawdziwa jest równość:

Jeżeli $a < 0$ oraz liczba $n$ jest nieparzysta, to $\sqrt[n]{a}$ oznacza liczbę $b < 0$ taką, że $b^n = a$.

W zbiorze liczb rzeczywistych pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.

Niech $m, n$ będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy:

• dla $a \ne 0$: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ oraz $a^0 = 1$

• dla $a \ge 0$: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$

• dla $a > 0$: $a^{-\frac{m}{n}} = \dfrac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$

Niech $r, s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $b > 0$, to:

Jeżeli wykładniki $r, s$ są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb $a \ne 0$ i $b \ne 0$.

Niech $x, y$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeżeli $a \in (0, 1)$, to nierówność $a^x < a^y$ jest równoważna nierówności $x > y$. Jeżeli $a \in (1, +\infty)$, to nierówność $a^x < a^y$ jest równoważna nierówności $x < y$.

Niech $a > 0$ i $a \ne 1$. Logarytmem $\log_a b$ liczby $b > 0$ przy podstawie $a$ nazywamy wykładnik $c$ potęgi, do której należy podnieść $a$, aby otrzymać $b$:

Równoważnie:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x > 0$, $y > 0$ oraz $r$ prawdziwe są równości:

Wzór na zamianę podstawy logarytmu: jeżeli $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$, $b \ne 1$ oraz $c > 0$, to:

W szczególności:

Zapisy $\log x$ oraz $\lg x$ oznaczają $\log_{10} x$.

Silnią liczby całkowitej dodatniej $n$ nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od $1$ do $n$ włącznie:

Ponadto przyjmujemy umowę, że $0! = 1$.

Dla dowolnej liczby całkowitej $n \ge 0$ prawdziwa jest równość:

Dla liczb całkowitych $n, k$ spełniających warunki $0 \le k \le n$ definiujemy współczynnik dwumianowy $\binom{n}{k}$ (symbol Newtona):

Prawdziwe są równości:

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ oraz dla dowolnych liczb rzeczywistych $a, b$ mamy:

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ oraz dla dowolnych liczb rzeczywistych $a, b$ mamy:

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej $n$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $a, b$ mamy:

W szczególności:

Wyróżnikiem $\Delta$ trójmianu kwadratowego $ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$, $b, c \in \mathbb{R}$) zmiennej rzeczywistej $x$ nazywamy liczbę:

Postać ogólna funkcji kwadratowej:

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie:

Gdy $a < 0$, to ramiona paraboli skierowane są ku dołowi. Gdy $a > 0$, to ramiona paraboli skierowane są ku górze.

Na karcie: dwa wykresy $y = ax^2$ w układzie współrzędnych z zaznaczonymi $0$ i $1$ na osiach, oba z wierzchołkiem w $(0,0)$. Przy podpisie $a < 0$ parabola ma ramiona skierowane w dół, przy podpisie $a > 0$ — w górę.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f(x) = ax^2 + bx + c$ (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania kwadratowego $ax^2 + bx + c = 0$) zależy od wyróżnika $\Delta$:

• jeżeli $\Delta > 0$, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste):

  $$x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

• jeżeli $\Delta = 0$, to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste):

  $$x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a}$$

• jeżeli $\Delta < 0$, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych).

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:

Jeżeli $\Delta \ge 0$, to funkcję kwadratową można przedstawić w postaci iloczynowej:

Jeżeli $\Delta \ge 0$, to:

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla $n \ge 1$, o pierwszym wyrazie $a_1$ i różnicy $r$:

Wzory na sumę $S_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego:

Dla sąsiednich wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_n)$ prawdziwa jest równość:

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego $(a_n)$, określonego dla $n \ge 1$, o pierwszym wyrazie $a_1$ i ilorazie $q$:

Wzory na sumę $S_n$ początkowych $n$ wyrazów ciągu geometrycznego:

Dla sąsiednich wyrazów ciągu geometrycznego $(a_n)$ prawdziwa jest równość:

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla $n \ge 1$, o ilorazie $q$. Niech $(S_n)$ oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu $(a_n)$, to znaczy ciąg określony wzorem $S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$ dla $n \ge 1$. Jeżeli $|q| < 1$, to ciąg $(S_n)$ ma granicę równą:

Granicę tę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego $(a_n)$.

Jeżeli ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$, określone dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$, są zbieżne i $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = a$ oraz $\lim\limits_{n\to\infty} b_n = b$, to ciągi $(a_n + b_n)$, $(a_n - b_n)$, $(a_n \cdot b_n)$ są zbieżne, a ponadto:

Jeżeli ponadto $b_n \ne 0$ dla $n \ge 1$ oraz $b \ne 0$, to ciąg $\left(\frac{a_n}{b_n}\right)$ jest zbieżny i:

Jeżeli wyrazy ciągów $(a_n)$, $(b_n)$ i $(c_n)$, określonych dla $n \ge 1$, spełniają nierówność $a_n \le b_n \le c_n$ dla $n \ge 1$, a ciągi $(a_n)$ i $(c_n)$ są zbieżne do wspólnej granicy $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} c_n = g$, to ciąg $(b_n)$ jest zbieżny, a ponadto $\lim\limits_{n\to\infty} b_n = g$.

Jeżeli kapitał początkowy $K_0$ złożymy na okres $n$ lat na lokacie bankowej, której oprocentowanie wynosi $p\%$ w skali rocznej, a kapitalizacja odsetek następuje po upływie każdego roku trwania lokaty, to kapitał końcowy $K_n$ jest określony wzorem:

Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:

Na karcie: trójkąt prostokątny $ABC$ z kątem prostym przy $C$; $a = |BC|$ to przyprostokątna naprzeciw kąta $\alpha$, $b = |CA|$ to przyprostokątna przy kącie $\alpha$, $c = |AB|$ to przeciwprostokątna. Kąt $\alpha$ leży przy wierzchołku $A$.

Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta:

gdzie $r = |OM| = \sqrt{x^2 + y^2} > 0$.

Na karcie: układ współrzędnych i punkt $M(x, y)$ w II ćwiartce na końcowym ramieniu kąta $\alpha$ (kąt rozwarty, mierzony od dodatniej półosi $Ox$); zaznaczony odcinek $r = |OM|$ oraz rzuty $x$ i $y$ na osie.

Na karcie: wykresy $y = \sin x$, $y = \cos x$ i $y = \operatorname{tg} x$ na osi $x$ od ok. $-\pi$ do ok. $\tfrac{5}{2}\pi$, z podziałką $-\pi, -\tfrac12\pi, 0, \tfrac12\pi, \pi, \tfrac32\pi, 2\pi$ oraz $1$, $-1$ na osi $y$. Przy tangensie są asymptoty pionowe (linie przerywane) w $\pm\tfrac12\pi$ i $\tfrac32\pi$ oraz w $-\tfrac32\pi$.

Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta:

Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów:

Dla dowolnych kątów $\alpha$ oraz $\beta$ prawdziwe są równości:

Ponadto:

gdy $\alpha, \beta, \alpha+\beta \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$;

gdy $\alpha, \beta, \alpha-\beta \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

o ile $\operatorname{tg}\alpha$ istnieje i $\operatorname{tg}^2\alpha \ne 1$.

Wybrane wzory redukcyjne:

Dla każdego kąta $\alpha$ i liczby całkowitej $k$ prawdziwe są związki:

Ponadto jeżeli $\alpha \ne 90^\circ + m \cdot 180^\circ$ (gdzie $m \in \mathbb{Z}$), to:

$a, b, c$ – długości boków w trójkącie $ABC$; $\alpha, \beta, \gamma$ – miary kątów wewnętrznych trójkąta leżących, odpowiednio, przy wierzchołkach $A, B$ oraz $C$; $R, r$ – długości promieni okręgów, odpowiednio, opisanego i wpisanego w trójkąt $ABC$; $h_a, h_b, h_c$ – wysokości trójkąta opuszczone, odpowiednio, z wierzchołków $A, B$ i $C$; $p$ – połowa obwodu trójkąta $ABC$.

Na rysunku bok $a$ leży naprzeciw wierzchołka $A$ (między $B$ i $C$), bok $b$ między $A$ i $C$, bok $c$ między $A$ i $B$.

Jeżeli w trójkącie $ABC$ kąt $\gamma$ jest kątem prostym, to:

Jeżeli w trójkącie $ABC$ długości boków spełniają równość $a^2 + b^2 = c^2$, to kąt $\gamma$ jest kątem prostym.

Wzory na pole trójkąta $ABC$: